高考理数　直线与圆锥曲线的位置关系

高考理数　直线与圆锥曲线的位置关系

§10.4 　直线与圆锥曲线的位置关系 高考理数 ( 课标专用) 考点　直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2018课标Ⅰ,8,5分)设抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点为 F ,过点(-2,0)且斜率为   的直线与 C 交于 M , N 两 点,则   ·   =   (　　) A.5　    B.6　    C.7　    D.8 A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案    D 　本题主要考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积的运算. 设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ).由已知可得直线的方程为 y =   ( x +2),即 x =   y -2,由   得 y 2 -6 y +8=0. 由根与系数的关系可得 y 1 + y 2 =6, y 1 y 2 =8,∴ x 1 + x 2 =   ( y 1 + y 2 )-4=5, x 1 x 2 =   =4,∵ F (1,0),∴   ·   =( x 1 -1)·( x 2 -1)+ y 1 y 2 = x 1 x 2 -( x 1 + x 2 )+1+ y 1 y 2 =4-5+1+8=8,故选D. 2. (2017课标Ⅰ,10,5分)已知 F 为抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l 1 , l 2 ,直线 l 1 与 C 交于 A , B 两点,直线 l 2 与 C 交于 D , E 两点,则| AB |+| DE |的最小值为   (　　) A.16　    B.14　    C.12　    D.10 答案    A　 本题考查抛物线的方程与几何性质以及最值的求解,考查学生的逻辑思维能力和 运算求解能力以及数形结合思想的应用. 解法一:由抛物线的方程可知焦点 F 的坐标为(1,0),设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), D ( x 3 , y 3 ), E ( x 4 , y 4 ),过点 F 的直 线 l 1 的方程为 x = my +1( m ≠ 0),由   得 y 2 -4 my -4=0,所以 y 1 + y 2 =4 m , y 1 y 2 =-4,所以| y 1 - y 2 |=   =4   ,所以| AB |=   | y 1 - y 2 |=4(1+ m 2 );同理可得| DE |=4   ,因此| AB |+| DE |=4(1+ m 2 )+4   ≥ 16,当且仅当 m = ± 1时,等号成立.所以| AB |+| DE |的最小值为16,故选A. 解法二:由题意知焦点 F 的坐标为(1,0),直线 l 1 , l 2 的斜率不存在时,不合题意. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), D ( x 3 , y 3 ), E ( x 4 , y 4 ),过 F 的直线 l 1 的方程为 y = k 1 ( x -1),直线 l 2 的方程为 y = k 2 ( x -1),则 k 1 k 2 =-1,联立直线 l 1 的方程与抛物线方程,得   ,消去 y ,得   x 2 -2   x -4 x +   =0,所以 x 1 + x 2 =   .同理,直线 l 2 与抛物线的交点满足 x 3 + x 4 =   . 由抛物线定义可知| AB |+| DE |= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 +2 p =   +   +4=   +   +8 ≥ 2   +8=16,当 且仅当 k 1 =- k 2 =1或-1时,取得等号.所以| AB |+| DE |的最小值为16,故选A. 解法三:不妨设 A 在第一象限,如图所示,设直线 AB 的倾斜角为 θ ,过 A , B 分别作准线的垂线,垂足 为 A 1 , B 1 ,   则| AF |=| AA 1 |,| BF |=| BB 1 |,过点 F 向 AA 1 引垂线 FG ,得   =   =cos θ , 则| AF |=   ,同理,| BF |=   , 则| AB |=| AF |+| BF |=   ,即| AB |=   , 因 l 1 与 l 2 垂直,故直线 DE 的倾斜角为 θ +   或 θ -   , 则| DE |=   ,则| AB |+| DE |=   +   =   =   =   , 则易知| AB |+| DE |的最小值为16.故选A. 方法总结 　利用几何方法求抛物线的焦半径. 如图,在抛物线 y 2 =2 px ( p >0)中, AB 为焦点弦,若 AF 与抛物线对称轴的夹角为 θ ,   则在△ FEA 中,cos θ =cos∠ EAF =   =   , 则可得到焦半径| AF |=   ,同理,| BF |=   , 熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:   +   =   等的帮助很大. 3. (2014课标Ⅱ,10,5分,0.262)设 F 为抛物线 C : y 2 =3 x 的焦点,过 F 且倾斜角为30 ° 的直线交 C 于 A , B 两点, O 为坐标原点,则△ OAB 的面积为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    D 　易知直线 AB 的方程为 y =     ,与 y 2 =3 x 联立并消去 x 得4 y 2 -12   y -9=0.设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则 y 1 + y 2 =3   , y 1 y 2 =-   . S △ OAB =   | OF |·| y 1 - y 2 |=   ×     =     =   .故选D. 思路分析 　根据已知条件写出直线方程,与抛物线方程联立,消元后利用韦达定理得等量关系, 进而求解面积. 一题多解　 利用抛物线焦点弦的相关结论可得| AB |=| AF |+| BF |=   +   =   =   =12.又点 O 到直线 AB 的距离 d =| OF |·sin 30 ° =   p =   ,∴ S △ AOB =   | AB |· d =   × 12 ×   =   ,故选D. B组    自主命题·省(区、市)卷题组 考点　直线与圆锥曲线的位置关系 1. (2014辽宁,10,5分)已知点 A (-2,3)在抛物线 C : y 2 =2 px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相 切于点 B ,记 C 的焦点为 F ,则直线 BF 的斜率为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    D 　易知 p =4,直线 AB 的斜率存在,抛物线方程为 y 2 =8 x ,与直线 AB 的方程 y -3= k ( x +2)联立, 消去 x 整理得 ky 2 -8 y +16 k +24=0,由题意知 Δ =64-4 k (16 k +24)=0,解得 k =-2或 k =   .因为直线与抛物 线相切于第一象限,故舍去 k =-2,故 k =   ,可得 B (8,8), 又 F (2,0),故 k BF =   =   ,故选D. 2. (2018天津,19,14分)设椭圆   +   =1( a > b >0)的左焦点为 F ,上顶点为 B .已知椭圆的离心率为   ,点 A 的坐标为( b ,0),且| FB |·| AB |=6   . (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l : y = kx ( k >0)与椭圆在第一象限的交点为 P ,且 l 与直线 AB 交于点 Q .若   =   sin∠ AOQ ( O 为原点),求 k 的值. 解析 　本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法 研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设椭圆的焦距为2 c ,由已知有   =   , 又由 a 2 = b 2 + c 2 ,可得2 a =3 b . 由已知可得,| FB |= a ,| AB |=   b , 由| FB |·| AB |=6   ,可得 ab =6,从而 a =3, b =2. 所以,椭圆的方程为   +   =1. (2)设点 P 的坐标为( x 1 , y 1 ),点 Q 的坐标为( x 2 , y 2 ). 由已知有 y 1 > y 2 >0,故| PQ |sin∠ AOQ = y 1 - y 2 . 又因为| AQ |=   ,而∠ OAB =   ,故| AQ |=   y 2 . 由   =   sin∠ AOQ ,可得5 y 1 =9 y 2 . 由方程组   消去 x ,可得 y 1 =   . 易知直线 AB 的方程为 x + y -2=0, 由方程组   消去 x ,可得 y 2 =   . 由5 y 1 =9 y 2 ,可得5( k +1)=3   ,两边平方, 整理得56 k 2 -50 k +11=0, 解得 k =   ,或 k =   . 所以, k 的值为   或   . 解题关键 　利用平面几何知识将   =   sin∠ AOQ 转化为点 P 、 Q 坐标间的关系是解决第 (2)问的关键. 方法归纳　 求椭圆标准方程的基本方法 (1)定义法:根据椭圆的定义,确定 a 2 , b 2 的值,结合焦点位置写出椭圆方程; (2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①根据已知条件判断焦点的位置;② 根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于 a 、 b 、 c 的方程组,注意 c 2 = a 2 - b 2 的应用;④解方程组,求得 a 、 b 的值,从而得出椭圆的方程. 3. (2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 过点   ,焦点 F 1 (-   ,0), F 2 (   , 0),圆 O 的直径为 F 1 F 2 . (1)求椭圆 C 及圆 O 的方程; (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P . ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; ②直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点.若△ OAB 的面积为   ,求直线 l 的方程.   解析 　本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性 质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力. 解法一:(1)因为椭圆 C 的焦点为 F 1 (-   ,0), F 2 (   ,0), 所以可设椭圆 C 的方程为   +   =1( a > b >0). 又点   在椭圆 C 上, 所以   解得   因此,椭圆 C 的方程为   + y 2 =1. 因为圆 O 的直径为 F 1 F 2 ,所以其方程为 x 2 + y 2 =3. (2)①设直线 l 与圆 O 相切于 P ( x 0 , y 0 )( x 0 >0, y 0 >0),则   +   =3. 所以直线 l 的方程为 y =-   ( x - x 0 )+ y 0 ,即 y =-   x +   . 由   消去 y ,得 (4   +   ) x 2 -24 x 0 x +36-4   =0.(*) 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 Δ =(-24 x 0 ) 2 -4(4   +   )(36-4   )=48   (   -2)=0. 因为 x 0 , y 0 >0,所以 x 0 =   , y 0 =1. 因此,点 P 的坐标为(   ,1). ②因为三角形 OAB 的面积为   , 所以   AB · OP =   ,从而 AB =   . 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 由(*)得 x 1,2 =   , 所以 AB 2 =( x 1 - x 2 ) 2 +( y 1 - y 2 ) 2 =   ·   . 因为   +   =3, 所以 AB 2 =   =   ,即2   -45   +100=0. 解得   =   (   =20舍去),则   =   ,因此 P 的坐标为   . 则直线 l 的方程为 y =-   x +3   . 解法二:(1)由题意知 c =   ,所以圆 O 的方程为 x 2 + y 2 =3,因为点   在椭圆上, 所以2 a =   +   =4, 所以 a =2. 因为 a 2 = b 2 + c 2 ,所以 b =1, 所以椭圆 C 的方程为   + y 2 =1. (2)①由题意知直线 l 与圆 O 和椭圆 C 均相切,且切点在第一象限,所以直线 l 的斜率 k 存在且 k <0, 设直线 l 的方程为 y = kx + m ( k <0, m >0), 将直线 l 的方程代入圆 O 的方程,得 x 2 +( kx + m ) 2 =3, 整理得( k 2 +1) x 2 +2 kmx + m 2 -3=0, 因为直线 l 与圆 O 相切,所以 Δ =(2 km ) 2 -4( k 2 +1)( m 2 -3)=0,整理得 m 2 =3 k 2 +3, 将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程,得   +( kx + m ) 2 =1, 整理得(4 k 2 +1) x 2 +8 kmx +4 m 2 -4=0, 因为直线 l 与椭圆 C 相切, 所以 Δ =(8 km ) 2 -4(4 k 2 +1)(4 m 2 -4)=0, 整理得 m 2 =4 k 2 +1, 所以3 k 2 +3=4 k 2 +1,因为 k <0,所以 k =-   ,则 m =3, 将 k =-   , m =3代入( k 2 +1) x 2 +2 kmx + m 2 -3=0, 整理得 x 2 -2   x +2=0, 解得 x 1 = x 2 =   ,将 x =   代入 x 2 + y 2 =3, 解得 y =1( y =-1舍去),所以点 P 的坐标为(   ,1). ②设 A ( x 1 , kx 1 + m ), B ( x 2 , kx 2 + m ), 由①知 m 2 =3 k 2 +3,且 k <0, m >0, 因为直线 l 和椭圆 C 相交,所以结合②的过程知 m 2 <4 k 2 +1,解得 k <-   , 将直线 l 的方程和椭圆 C 的方程联立可得(4 k 2 +1) x 2 +8 kmx +4 m 2 -4=0, 解得 x 1,2 =   , 所以| x 1 - x 2 |=   , 因为 AB =   =| x 1 - x 2 |   =   ·   , O 到 l 的距离 d =   =   , 所以 S △ OAB =   ·   ·   ·   =   ·   ·   ·   =   , 解得 k 2 =5,因为 k <0,所以 k =-   ,则 m =3   , 即直线 l 的方程为 y =-   x +3   . 解后反思　 (1)常用待定系数法求圆锥曲线方程. (2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可 设出直线方程求解. ②因为△ AOB 的面积为   ,而△ AOB 的高为   ,所以解题关键是求 AB 的长,可利用弦长公式 AB =   =   ·   =   ·| x 1 - x 2 |( x 1 、 x 2 分别为 A 、 B 的横坐标)求解. 4. (2017天津,19,14分)设椭圆   +   =1( a > b >0)的左焦点为 F ,右顶点为 A ,离心率为   .已知 A 是抛 物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点, F 到抛物线的准线 l 的距离为   . (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设 l 上两点 P , Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B ( B 异于点 A ),直线 BQ 与 x 轴相交于点 D . 若△ APD 的面积为   ,求直线 AP 的方程. 解析 　本题主要考查椭圆、抛物线的标准方程和几何性质,直线方程等基础知识.考查用代数 方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设 F 的坐标为(- c ,0).依题意,   =   ,   = a , a - c =   ,解得 a =1, c =   , p =2,于是 b 2 = a 2 - c 2 =   . 所以,椭圆的方程为 x 2 +   =1,抛物线的方程为 y 2 =4 x . (2)设直线 AP 的方程为 x = my +1( m ≠ 0),与直线 l 的方程 x =-1联立,可得点 P   ,故 Q   .将 x = my +1与 x 2 +   =1联立,消去 x ,整理得(3 m 2 +4) y 2 +6 my =0,解得 y =0或 y =   .由点 B 异于点 A ,可 得点 B   .由 Q   ,可得直线 BQ 的方程为   ( x +1)-     =0,令 y =0,解得 x =   ,故 D   .所以| AD |=1-   =   .又因为△ APD 的 面积为   ,故   ×   ×   =   ,整理得3 m 2 -2   | m |+2=0,解得| m |=   ,所以 m = ±   . 所以,直线 AP 的方程为3 x +   y -3=0或3 x -   y -3=0. 方法总结 　1.利用待定系数法求圆锥曲线标准方程的三个步骤:(1)作判断:根据焦点位置设方 程;(2)找等量关系;(3)解方程得结果. 2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的基本策略:(1)巧设直线方程:当已知直线与 x 轴交点固 定时,常设为 x = my + b 的形式,这样可避免对斜率是否存在的讨论;(2)注意整体代入思想的应用, 利用根与系数的关系可以简化运算,提高运算的效率和正确率. 5.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l : x - y -2=0,抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0). (1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点,求抛物线 C 的方程; (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q . ①求证:线段 PQ 的中点坐标为(2- p ,- p ); ②求 p 的取值范围.   解析 　(1)抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0)的焦点为   , 由点   在直线 l : x - y -2=0上,得   -0-2=0,即 p =4. 所以抛物线 C 的方程为 y 2 =8 x . (2)设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ),线段 PQ 的中点 M ( x 0 , y 0 ). 因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称,所以直线 l 垂直平分线段 PQ , 于是直线 PQ 的斜率为-1,则可设其方程为 y =- x + b . ①由   消去 x 得 y 2 +2 py -2 pb =0.   (*) 因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点,所以 y 1 ≠ y 2 , 从而 Δ =(2 p ) 2 -4 × (-2 pb )>0,化简得 p +2 b >0. 方程(*)的两根为 y 1,2 =- p ±   ,从而 y 0 =   =- p . 因为 M ( x 0 , y 0 )在直线 l 上,所以 x 0 =2- p . 因此,线段 PQ 的中点坐标为(2- p ,- p ). ②因为 M (2- p ,- p )在直线 y =- x + b 上, 所以- p =-(2- p )+ b ,即 b =2-2 p . 由①知 p +2 b >0,于是 p +2(2-2 p )>0,所以 p <   . 因此, p 的取值范围是   . 评析　 本小题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力 及推理论证能力. 6. (2015湖南,20,13分)已知抛物线 C 1 : x 2 =4 y 的焦点 F 也是椭圆 C 2 :   +   =1( a > b >0)的一个焦点, C 1 与 C 2 的公共弦的长为2   . (1)求 C 2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C 1 相交于 A , B 两点,与 C 2 相交于 C , D 两点,且   与   同向. (i)若| AC |=| BD |,求直线 l 的斜率; (ii)设 C 1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M ,证明:直线 l 绕点 F 旋转时,△ MFD 总是钝角三角形. 解析　(1)由 C 1 : x 2 =4 y 知其焦点 F 的坐标为(0,1).因为 F 也是椭圆 C 2 的一个焦点,所以 a 2 - b 2 =1.① 又 C 1 与 C 2 的公共弦的长为2   , C 1 与 C 2 都关于 y 轴对称,且 C 1 的方程为 x 2 =4 y ,由此易知 C 1 与 C 2 的公 共点的坐标为   ,所以   +   =1.② 联立①,②得 a 2 =9, b 2 =8.故 C 2 的方程为   +   =1. (2)如图,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ), D ( x 4 , y 4 ).   (i)因   与   同向,且| AC |=| BD |,所以   =   ,从而 x 3 - x 1 = x 4 - x 2 ,即 x 1 - x 2 = x 3 - x 4 ,于是( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 =( x 3 + x 4 ) 2 -4 x 3 x 4 .③ 设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y = kx +1. 由   得 x 2 -4 kx -4=0.而 x 1 , x 2 是这个方程的两根,所以 x 1 + x 2 =4 k , x 1 x 2 =-4.④ 由   得(9+8 k 2 ) x 2 +16 kx -64=0.而 x 3 , x 4 是这个方程的两根,所以 x 3 + x 4 =-   , x 3 x 4 =-   . ⑤ 将④,⑤代入③,得16( k 2 +1)=   +   , 即16( k 2 +1)=   , 所以(9+8 k 2 ) 2 =16 × 9,解得 k = ±   ,即直线 l 的斜率为 ±   . (ii)由 x 2 =4 y 得 y '=   ,所以 C 1 在点 A 处的切线方程为 y - y 1 =   ( x - x 1 ),即 y =   -   . 令 y =0,得 x =   ,即 M   ,所以   =   .而   =( x 1 , y 1 -1),于是   ·   =   - y 1 +1=   +1>0, 因此∠ AFM 是锐角,从而∠ MFD =180 ° -∠ AFM 是钝角. 故直线 l 绕点 F 旋转时,△ MFD 总是钝角三角形. 考点　直线与圆锥曲线的位置关系 1. (2013课标Ⅰ,10,5分,0.589)已知椭圆 E :   +   =1( a > b >0)的右焦点为 F (3,0),过点 F 的直线交 E 于 A , B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为   (　　) A.   +   =1　    B.   +   =1 C.   +   =1　    D.   +   =1 C组    教师专用题组 答案    D　 解法一:直线 AB 的斜率 k =   =   , 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则   ①-②得   =-   ·   . 则 k =-   ×   , ∴   =   .　　　　　　 ③ 又 a 2 - b 2 = c 2 =9,　　④ 由③④得 a 2 =18, b 2 =9. 所以椭圆 E 的方程为   +   =1,故选D. 解法二:由题意可知直线的斜率不为0,所以设直线的方程为 x = my +3. 由   消去 x ,得( b 2 m 2 + a 2 ) y 2 +6 mb 2 y +9 b 2 - a 2 b 2 =0, 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则 y 1 + y 2 =-   =-2,(*) x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2 )+6=-2 m +6=2, ∴ m =2,则由(*)得 a 2 =2 b 2 , ∴ c 2 = a 2 - b 2 = b 2 =9,∴ a 2 =18, ∴椭圆 E 的方程为   +   =1,故选D. 思路分析 　根据题意利用点差法或韦达定理法构造出关于 a 2 与 b 2 的方程,结合 a 2 - b 2 = c 2 =9可解 得 a 2 、 b 2 的值,进而得椭圆 E 的方程. 方法点拨 　在解决有关圆锥曲线的弦中点问题时,常采用的方法为点差法和韦达定理法. 2. (2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x 2 - y 2 =1右支上的一个动点.若点 P 到直 线 x - y +1=0的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 　　　     . 答案        解析 　双曲线 x 2 - y 2 =1的一条渐近线为直线 y = x ,显然直线 y = x 与直线 x - y +1=0平行,且两直线之间 的距离为   =   .因为点 P 为双曲线 x 2 - y 2 =1的右支上一点,所以点 P 到直线 y = x 的距离恒 大于0,结合图形可知点 P 到直线 x - y +1=0的距离恒大于   ,结合已知可得 c 的最大值为   . 3. (2015天津,19,14分)已知椭圆   +   =1( a > b >0)的左焦点为 F (- c ,0),离心率为   ,点 M 在椭圆上 且位于第一象限,直线 FM 被圆 x 2 + y 2 =   截得的线段的长为 c ,| FM |=   . (1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于   ,求直线 OP ( O 为原点)的斜率的取值范围. 解析　 (1)由已知有   =   ,又由 a 2 = b 2 + c 2 ,可得 a 2 =3 c 2 , b 2 =2 c 2 . 设直线 FM 的斜率为 k ( k >0),则直线 FM 的方程为 y = k ( x + c ).由已知,有   +   =   ,解得 k =   . (2)由(1)得椭圆方程为   +   =1,直线 FM 的方程为 y =   ( x + c ),两个方程联立,消去 y ,整理得3 x 2 +2 cx -5 c 2 =0,解得 x =-   c 或 x = c .由点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为   . 由| FM |=   =   ,解得 c =1, 所以椭圆的方程为   +   =1. (3)设点 P 的坐标为( x , y ),直线 FP 的斜率为 t ,得 t =   ,即 y = t ( x +1)( x ≠ -1),与椭圆方程联立得   消去 y ,整理得2 x 2 +3 t 2 ( x +1) 2 =6.又由已知,得 t =   >   ,解得-   < x <-1,或-1< x <0. 设直线 OP 的斜率为 m ,得 m =   ,即 y = mx ( x ≠ 0),与椭圆方程联立,整理可得 m 2 =   -   . ①当 x ∈   时,有 y = t ( x +1)<0,因此 m >0,于是 m =   ,得 m ∈   . ②当 x ∈(-1,0)时,有 y = t ( x +1)>0,因此 m <0,于是 m =-   ,得 m ∈   . 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是   ∪   . 评析　 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位 置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能 力以及用函数与方程思想解决问题的能力. 4 .(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F (1,0)的距离比它到 y 轴的距离多1.记 点 M 的轨迹为 C . (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P (-2,1).求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个 公共点时 k 的相应取值范围. 解析 　(1)设点 M ( x , y ),依题意得| MF |=| x |+1, 即   =| x |+1, 化简整理得 y 2 =2(| x |+ x ). 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 =   (2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C 1 : y 2 =4 x , C 2 : y =0( x <0), 依题意,可设直线 l 的方程为 y -1= k ( x +2). 由方程组   可得 ky 2 -4 y +4(2 k +1)=0.   ① (i)当 k =0时,此时 y =1.把 y =1代入轨迹 C 的方程,得 x =   . 故此时直线 l : y =1与轨迹 C 恰好有一个公共点   . (ii)当 k ≠ 0时,方程①的判别式为 Δ =-16(2 k 2 + k -1).   ② 设直线 l 与 x 轴的交点为( x 0 ,0),则 由 y -1= k ( x +2),令 y =0,得 x 0 =-   .   ③ 1 ° 若   由②③解得 k <-1或 k >   . 即当 k ∈(- ∞ ,-1) ∪   时,直线 l 与 C 1 没有公共点,与 C 2 有一个公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点. 2 ° 若   或   则由②③解得 k ∈   或-   ≤ k <0. 即当 k ∈   时,直线 l 与 C 1 只有一个公共点,与 C 2 有一个公共点. 当 k ∈   时,直线 l 与 C 1 有两个公共点,与 C 2 没有公共点. 故当 k ∈   ∪   时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 3 ° 若   则由②③解得-1< k <-   或0< k <   . 即当 k ∈   ∪   时,直线 l 与 C 1 有两个公共点,与 C 2 有一个公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 综合(i)(ii)可知,当 k ∈(- ∞ ,-1) ∪   ∪ {0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点;当 k ∈   ∪   时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k ∈   ∪   时,直线 l 与轨迹 C 恰好有 三个公共点. 评析     本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了数形结合的方法,灵活地利用判别式是 求解的关键.盲目利用抛物线的定义而漏掉射线 y =0( x <0)就会造成错解而失分. 5. (2013课标Ⅱ,20,12分,0.14)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M :   +   =1( a > b >0)右焦点的直线 x + y -   =0交 M 于 A , B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为   . (1)求 M 的方程; (2) C , D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ⊥ AB ,求四边形 ACBD 面积的最大值. 解析 　(1)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), P ( x 0 , y 0 ),则   +   =1,   +   =1,   =-1, 由此可得   =-   =1. 因为 x 1 + x 2 =2 x 0 , y 1 + y 2 =2 y 0 ,   =   , 所以 a 2 =2 b 2 . 又由题意知, M 的右焦点为(   ,0),故 a 2 - b 2 =3. 因此 a 2 =6, b 2 =3. 所以 M 的方程为   +   =1. (2)由   解得   或   因此| AB |=   . 由题意可设直线 CD 的方程为 y = x + n   , 设 C ( x 3 , y 3 ), D ( x 4 , y 4 ). 由   得3 x 2 +4 nx +2 n 2 -6=0. 于是 x 3,4 =   . 因为直线 CD 的斜率为1, 所以| CD |=   | x 4 - x 3 |=     . 由已知得,四边形 ACBD 的面积 S =   | CD |·| AB |=     . 当 n =0时, S 取得最大值,最大值为   .所以四边形 ACBD 面积的最大值为   . 思路分析　 (1)采用点差法得出 a 2 与 b 2 的关系,结合 a 2 - b 2 = c 2 =3解得 a 2 、 b 2 的值,进而得椭圆 M 的方 程;(2)由题知四边形 ACBD 的面积 S =   | CD || AB |,分别联立相关直线与椭圆方程可求得| AB |和| CD |,进而利用函数思想求出四边形 ACBD 面积的最大值. 名师点拨　 本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了解析几何中的中点问题和最值问题,计 算量大,综合性较强.应充分重视方程思想和函数思想在解题中的作用. 考点　直线与圆锥曲线的位置关系 1. (2018山东聊城二模,6)已知直线 l 与抛物线 C : y 2 =4 x 相交于 A , B 两点,若线段 AB 的中点为(2,1),则 直线 l 的方程为   (　　) A. y = x -1　    B. y =-2 x +5　    C. y =- x +3　    D. y =2 x -3 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案    D　 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则有   ①-②得   -   =4( x 1 - x 2 ),由题可知 x 1 ≠ x 2 .∴   =   =   =2,即 k AB =2,∴直线 l 的方程为 y -1=2( x -2),即2 x - y -3=0.故选D. 2. (2018湖北武汉4月调研,7)已知直线 y = kx -1与双曲线 x 2 - y 2 =4的右支有两个交点,则 k 的取值范 围为   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   答案    D　 由题意知 k >0,联立   整理得(1- k 2 ) x 2 +2 kx -5=0,因为直线 y = kx -1与双曲线 x 2 - y 2 =4的右支有两个交点,则联立所得方程有两个不同的正实数根 x 1 , x 2 ,所以   解得1< k <   ,即 k ∈   ,故选D. 3. (2018湖北武汉2月调研,6)已知不过原点 O 的直线交抛物线 y 2 =2 px 于 A , B 两点,若 OA , AB 的斜率 分别为 k OA =2, k AB =6,则 OB 的斜率为   (　　) A.3　    B.2　    C.-2　    D.-3 答案    D 　由题意可知,直线 OA 的方程为 y =2 x ,与抛物线方程 y 2 =2 px 联立得   得   即 A   ,则直线 AB 的方程为 y - p =6   ,即 y =6 x -2 p ,与抛物线方程 y 2 =2 px 联立得   得   或   所以 B   ,所以直线 OB 的斜率为 k OB =   =-3.故选D. 4. (2018河南郑州一模,10)设抛物线 y 2 =4 x 的焦点为 F ,过点 M (   ,0)的直线与抛物线相交于 A , B 两 点,与抛物线的准线相交于 C 点,| BF |=3,则△ BCF 与△ ACF 的面积之比   =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    D 　不妨设点 A 在第一象限, B 在第四象限,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),直线 AB 的方程为 x = my +   . 由 y 2 =4 x 得 p =2,因为| BF |=3= x 2 +   = x 2 +1,所以 x 2 =2,则   =4 x 2 =4 × 2=8,所以 y 2 =-2   ,由   得 y 2 -4 my -4   =0,由根与系数的关系,得 y 1 y 2 =-4   ,所以 y 1 =   ,由   =4 x 1 ,得 x 1 =   .过点 A 作 AA '垂 直于准线 x =-1,垂足为 A ',过点 B 作 BB '垂直于准线 x =-1,垂足为 B ',易知△ CBB '∽△ CAA ',所以   =   =   .又| BB '|=| BF |=3,| AA '|= x 1 +   =   +1=   ,所以   =   =   .故选D. 5. (2018湖南益阳、湘潭调研,10)如图,过抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A , B , 交其准线 l 于点 C ,若 F 是 AC 的中点,且| AF |=4,则线段 AB 的长为   (　　)   A.5　    B.6　    C.   　    D.   答案    C 　如图,设 l 与 x 轴交于点 M ,过点 A 作 AD ⊥ l 交 l 于点 D ,由抛物线的定义知,| AD |=| AF |=4,由 F 是 AC 的中点,知| AD |=2| MF |=2 p ,所以2 p =4,解得 p =2,所以抛物线的方程为 y 2 =4 x . 解法一:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则| AF |= x 1 +   = x 1 +1=4,所以 x 1 =3,可得 y 1 =2   ,所以 A (3,2   ),又 F (1,0), 所以直线 AF 的斜率 k =   =   ,所以直线 AF 的方程为 y =   ( x -1),代入抛物线方程 y 2 =4 x 得3 x 2 -10 x +3=0,所以 x 1 + x 2 =   ,| AB |= x 1 + x 2 + p =   .故选C.   解法二:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则| AF |= x 1 +   = x 1 +1=4,所以 x 1 =3,又 x 1 x 2 =   =1,所以 x 2 =   ,所以| AB |= x 1 + x 2 + p =   .故选C. 解法三:因为   +   =   ,| AF |=4,所以| BF |=   ,所以| AB |=| AF |+| BF |=4+   =   .故选C. 6. (2016江西五市八校二模,10)已知直线 y =1- x 与双曲线 ax 2 + by 2 =1( a >0, b <0)的渐近线交于 A 、 B 两点,且过原点和线段 AB 中点的直线的斜率为-   ,则   的值为   (　　) A.-   　    B.-   　    C.-   　    D.-   答案    A 　由双曲线 ax 2 + by 2 =1知其渐近线方程为 ax 2 + by 2 =0,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则有 a   + b   =0 ①, a   + b   =0②,由①-②得 a (   -   )=- b (   -   ),整理得   ·   =-   ,设 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ),则 k OM =   =   =   =-   ,又知 k AB =-1,∴-   × (-1)=-   ,∴   =-   ,故选A. 7 .(2017福建龙岩二模,14)过抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A , B ,若| AF |=4| BF |,则直 线 l 的斜率是 　     . 答案      ±   解析 　抛物线 C 的方程为 y 2 =4 x ,焦点 F 的坐标为(1,0),∴设直线 l 的方程为 y = k ( x -1),由   消去 x 得   y 2 - y - k =0,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则   ① ∵| AF |=4| BF |,∴ y 1 +4 y 2 =0,可得 y 1 =-4 y 2 ,代入①得-3 y 2 =   ,且-4   =-4,∴   =1,即 y 2 = ± 1,∴ k = ±   . 8. (2017福建四地六校4月模拟,15)已知抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点为 F ,直线 l 过点 F 与抛物线 C 交于 A , B 两点,且| AB |=6,若 AB 的垂直平分线交 x 轴于 P 点,则 P 点的坐标为 　　     . 答案 　(4,0) 解析 　由抛物线 y 2 =4 x ,得 p =2,易知直线 l 的斜率存在,设经过点 F 的直线 l : y = k ( x -1), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 将 y = k ( x -1)代入 y 2 =4 x ,得 k 2 x 2 -(2 k 2 +4) x + k 2 =0,∴ x 1 + x 2 =2+   ,利用抛物线定义得, x 1 + x 2 =| AB |- p =6-2 =4,即2+   =4,∴ k = ±   ,∵ AB 中点坐标为(2, k ),∴ AB 的垂直平分线方程为 y - k =-   ·( x -2),令 y =0,得 x =4,即 P 点的坐标为(4,0). 9. (2018河北衡水中学4月调研,20)已知椭圆   +   =1( a > b >0)经过点(0,   ),离心率为   ,左,右焦 点分别为 F 1 (- c ,0), F 2 ( c ,0). (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l : y =-   x + m 与椭圆交于 A , B 两点,与以 F 1 F 2 为直径的圆交于 C , D 两点,且满足   =   , 求直线 l 的方程.   解析 　(1)由题设知   解得 a =2, b =   , c =1, ∴椭圆的方程为   +   =1. (2)由(1)知,以 F 1 F 2 为直径的圆的方程为 x 2 + y 2 =1, ∴圆心到直线 l 的距离 d =   ,由 d <1得| m |<   .(*) ∴| CD |=2   =2   =     . 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),由   得 x 2 - mx + m 2 -3=0,由根与系数的关系可得 x 1 + x 2 = m , x 1 x 2 = m 2 -3. ∴| AB |=   =     . 由   =   得   =1,解得 m = ±   ,满足(*). ∴直线 l 的方程为 y =-   x +   或 y =-   x -   . 1. (2018河北石家庄二模,11)倾斜角为   的直线经过椭圆   +   =1( a > b >0)的右焦点 F ,与椭圆交 于 A 、 B 两点,且   =2   ,则该椭圆的离心率为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   B组  2016—2018年高考模拟·综合题组 (时间:40分钟　　分值:60分) 一、选择题(每题5分,共20分) 答案    B　 由题可知,直线的方程为 y = x - c ,与椭圆方程联立得   ∴( b 2 + a 2 ) y 2 +2 b 2 cy - b 4 =0, 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则   又   =2   ,∴( c - x 1 ,- y 1 )=2( x 2 - c , y 2 ),∴- y 1 =2 y 2 ,可得   ∴   =   ,∴ e =   ,故选B. 2.( 2018河南郑州二模,11)如图,已知抛物线 C 1 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,且过点(2,4),圆 C 2 : x 2 + y 2 -4 x +3=0,过圆心 C 2 的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P , Q , M , N ,则| PN |+4| QM |的最小值为   (　　)   A.23　    B.42　    C.12　    D.52 答案    A 　由题意可设抛物线 C 1 的方程为 y 2 =2 px ( p >0),因为抛物线 C 1 过点(2,4),所以16=2 p × 2,得 p =4,所以 y 2 =8 x .圆 C 2 : x 2 + y 2 -4 x +3=0,整理得( x -2) 2 + y 2 =1,可得圆心 C 2 (2,0)恰好是抛物线 y 2 =8 x 的焦 点,设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ),当直线 l 的斜率不存在时, l : x =2,所以 P (2,4), Q (2,-4),所以| PN |+4| QM |=| PC 2 |+| C 2 N |+4| QC 2 |+4| C 2 M |=| PC 2 |+4| QC 2 |+5=4+4 × 4+5=25. 当直线 l 的斜率存在且不为零时,可设 l 的方程为 y = k ( x -2),联立   可得 k 2 ( x -2) 2 =8 x ,整理 得 k 2 x 2 -(4 k 2 +8) x +4 k 2 =0, Δ >0,则 x 1 x 2 =4,故 x 2 =   ,所以| PN |+4| QM |=| PC 2 |+4| QC 2 |+5= x 1 +   +4 x 2 +4 ×   + 5= x 1 +4 x 2 +15= x 1 +   +15 ≥ 2   +15=8+15=23   当且仅当 x 1 =   ,即 x 1 =4时取“=”   .因为23< 25,所以| PN |+4| QM |的最小值为23.故选A. 一题多解　 由抛物线过定点(2,4),得抛物线方程为 y 2 =8 x ,焦点为 F (2,0).因为圆的标准方程为( x - 2) 2 + y 2 =1,所以圆心为(2,0),半径 r =1.由于直线过焦点,所以有   +   =   =   ,又| PN |+4| QM |=(| PF |+1)+(4| QF |+4)=| PF |+4| QF |+5=2(| PF |+4| QF |)   +5=2   5+   +     +5 ≥ 23, 当且仅当| PF |=2| QF |时,等号成立,故选A. 思路分析 　首先求出抛物线 C 1 的方程,从而可得圆 C 2 的圆心与 C 1 的焦点重合,设出直线方程与 抛物线方程,联立得出交点横坐标之间的关系,从而将| PN |+4| QM |表示成点 P 横坐标的函数,最 后利用基本不等式求其最小值,注意对直线斜率不存在情况的讨论. 3. (2017山西太原一模,10)已知抛物线 y 2 =4 x 的焦点为 F ,过焦点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,若△ AOB 的面积为   ,则| AB |=   (　　) A.6　    B.8　    C.12　    D.16 答案    A 　解法一:由题意知抛物线 y 2 =4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0),易知当直线 AB 垂直于 x 轴时, △ AOB 的面积为2,不满足题意,所以可设直线 AB 的方程为 y = k ( x -1)( k ≠ 0),与 y 2 =4 x 联立,消去 x 得 ky 2 -4 y -4 k =0,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),所以 y 1 + y 2 =   , y 1 y 2 =-4,所以| y 1 - y 2 |=   ,所以△ AOB 的面积为   × 1 ×   =   ,解得 k = ±   ,所以| AB |=   | y 1 - y 2 |=6,故选A. 解法二:设过焦点 F 的直线 AB 的倾斜角为 θ ,不妨设 A 点在 x 轴上方,由抛物线焦点弦的性质可知| AF |=   ,| BF |=   ,∴| AB |=| AF |+| BF |=   , 如图,过 O 作 OM ⊥ AB ,在Rt△ OMF 中, OM =1·sin θ =sin θ , ∴ S △ AOB =   ·| AB |·| OM |=   ·   ·sin θ =   , 由题知 S △ AOB =   ,即   =   ,∴sin θ =   . ∴| AB |=   =   =6,故选A. 4. (2017河北百校联盟2月联考,11)已知抛物线 y 2 =4 x ,过其焦点 F 的直线 l 与抛物线分别交于 A , B 两点( A 在第一象限内),   =3   ,过 AB 的中点且垂直于 l 的直线与 x 轴交于点 G ,则三角形 ABG 的 面积为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    C 　设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),因为   =3   ,所以 y 1 =-3 y 2 ,设直线 l 的方程为 x = my +1,由   消去 x 得 y 2 -4 my -4=0,∴ y 1 y 2 =-4,∴   ∴ y 1 + y 2 =4 m =   ,∴ m =   ,∴ x 1 + x 2 =   , AB 的中点坐 标为   ,过 AB 中点且垂直于直线 l 的直线方程为 y -   =-     ,令 y =0,可得 x =   ,所以 S △ ABG =   ×   ×   =   . 思路分析 　设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ).由   =3   得 y 1 =-3 y 2 .设出直线 l 的方程,与抛物线方程联立,进而 得出 y 1 、 y 2 的值,从而求出 AB 的中点坐标,然后写出过 AB 中点且垂直于直线 l 的直线的方程,求 出其与 x 轴的交点 G 的横坐标,利用三角形面积公式求得结果. 举一反三 　直线与圆锥曲线的位置关系问题常转化为方程组问题,最终转化为一元二次方程 问题,进而用根与系数的关系及判别式求解,该方法是解决圆锥曲线问题的重要方法之一,尤其 是弦中点、弦长问题. 二、填空题(每题5分,共15分) 5. (2018湖南六校4月联考,15)设抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点为 F ,过点 P (-1,0)作直线 l 与抛物线 C 交 于 A 、 B 两点.若 S △ ABF =   ,且| AF |<| BF |,则   = 　　　     . 答案        解析　 设直线 l 的方程为 x = my -1,将直线方程代入抛物线 C : y 2 =4 x 的方程得 y 2 -4 my +4=0,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则0<   <1, y 1 + y 2 =4 m , y 1 · y 2 =4,又 S △ ABF =   ,所以 S △ BPF - S △ APF =| y 2 - y 1 |=   ,因此   +   =10,所 以   =   =   ,从而   =   ,又由抛物线的定义与相似三角形可知   =   =   ,∴   =   =   . 思路分析　 由题意设出直线 l 的方程,与抛物线方程联立,得出 y 1 + y 2 与 y 1 y 2 ,利用 S △ ABF =   得   +   =10,结合 y 1 y 2 =4求得   的值,进而利用相似关系求得   . 6. (2018河南洛阳二模,16)已知直线 y =2 x +2与抛物线 y = ax 2 ( a >0)交于 P , Q 两点,过线段 PQ 的中点 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 A ,若|   +   |=|   -   |,则 a = 　　　     . 答案 　2 解析 　由   得 ax 2 -2 x -2=0,设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ),则 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =-   ,设 PQ 的中点为 M ,则 x M = x A =   , y A = a   =   ,由|   +   |=|   -   |可得   ·   =0,即 AP ⊥ AQ ,又 M 是线段 PQ 的中点,∴2| AM |=| PQ |,由于 MA ⊥ x 轴,∴| MA |=   =   +2,又| PQ |=   | x 1 - x 2 |=   ·   =   ·   ,∴4   =5   ,解得 a =2,此时满足 Δ >0成立.故 a =2. 思路分析 　将直线方程与抛物线方程联立消 y 得 x 的一元二次方程,由|   +   |=|   -   |得 AP ⊥ AQ ,从而利用根与系数的关系及| PQ |=2| AM |列出关于 a 的方程,解方程求得 a 值. 解题关键 　根据|   +   |=|   -   |得 AP ⊥ AQ ,从而得出| PQ |=2| AM |是求解本题的关键. 7. (2016湖南四地3月联考,14)若抛物线 y =2 x 2 上两点 A ( x 1 , y 1 )、 B ( x 2 , y 2 )关于直线 y = x + m 对称,且 x 1 x 2 =-   ,则实数 m 的值为 　　　     . 答案        解析 　由题意可设直线 AB 的方程为 y =- x + b , 代入 y =2 x 2 得2 x 2 + x - b =0, ∴ x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =   =-   , ∴ b =1,即直线 AB 的方程为 y =- x +1. 设 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ), 则 x 0 =   =-   ,代入 y 0 =- x 0 +1, 得 y 0 =   ,则 M   , 又 M   在直线 y = x + m 上,∴   =-   + m .∴ m =   . 思路分析 　设出直线 AB 的方程,代入抛物线方程,利用 x 1 x 2 =-   确定直线 AB 方程中的参数,进而 得出直线 AB 的具体方程,再利用对称知识求解. 方法总结 　在解决点关于直线对称问题时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂 直,二是两对称点的中点在对称轴上,即抓住“垂直”与“平分”,由此可列方程(组)求解. 三、解答题(共25分) 8. (2018湖北武汉4月调研,19)已知椭圆 Γ :   +   =1,过点 P (1,1)作倾斜角互补的两条不同直线 l 1 , l 2 ,设 l 1 与椭圆 Γ 交于 A 、 B 两点, l 2 与椭圆 Γ 交于 C , D 两点. (1)若 P (1,1)为线段 AB 的中点,求直线 AB 的方程; (2)若直线 l 1 与 l 2 的斜率都存在,记 λ =   ,求 λ 的取值范围. 解析 　(1)解法一(点差法): 由题意可知直线 AB 的斜率存在. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则   两式作差得   =-   ·   =-   ·   =-   , ∴直线 AB 的方程为 y -1=-   ( x -1),即 x +2 y -3=0. 解法二:由题意可知直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB 的斜率为 k , 则其方程为 y -1= k ( x -1),代入 x 2 +2 y 2 =4中, 得 x 2 +2[ kx -( k -1)] 2 -4=0. ∴(1+2 k 2 ) x 2 -4 k ( k -1) x +2( k -1) 2 -4=0. Δ =[-4( k -1) k ] 2 -4(2 k 2 +1)[2( k -1) 2 -4]=8(3 k 2 +2 k +1)>0. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则   ∵ AB 中点为(1,1), ∴   ( x 1 + x 2 )=   =1,则 k =-   . ∴直线 AB 的方程为 y -1=-   ( x -1),即 x +2 y -3=0. (2)由(1)可知| AB |=   | x 1 - x 2 |=   ·   =   . 设直线 CD 的方程为 y -1=- k ( x -1)( k ≠ 0). 同理可得| CD |=   . ∴ λ =   =   ( k ≠ 0), λ >0. ∴ λ 2 =1+   =1+   . 令 t =3 k +   ,则 t ∈(- ∞ ,-2   ] ∪ [2   ,+ ∞ ), 令 g ( t )=1+   , t ∈(- ∞ ,-2   ] ∪ [2   ,+ ∞ ), ∵ g ( t )在(- ∞ ,-2   ],[2   ,+ ∞ )上单调递减, ∴2-   ≤ g ( t )<1或1< g ( t ) ≤ 2+   . 故2-   ≤ λ 2 <1或1< λ 2 ≤ 2+   . ∴ λ ∈   ∪   . 思路分析 　(1)解法一:利用点差法得直线 AB 的斜率,进而得直线 AB 的方程. 解法二:设出直线 AB 的方程,与椭圆方程联立并消元,利用根与系数的关系及 AB 中点的坐标建 立斜率 k 的方程,从而求得 k ,得直线 AB 方程. (2)利用弦长公式求得| AB |与| CD |,进而将 λ =   表示成关于 k 的函数,结合函数特征及函数性质 求得 λ 的取值范围. 方法点拨 　解决直线与圆锥曲线的弦中点问题常利用点差法或根与系数的关系,两者都需要 对直线斜率是否存在进行讨论,同时也都用到整体代换的求解方法. 9. (2017江西赣州二模,20)设离心率为   的椭圆 E :   +   =1( a > b >0)的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ,点 P 是 E 上一点, PF 1 ⊥ PF 2 ,△ PF 1 F 2 内切圆的半径为   -1. (1)求 E 的方程; (2)矩形 ABCD 的两顶点 C 、 D 在直线 y = x +2上, A 、 B 在椭圆 E 上,若矩形 ABCD 的周长为   ,求 直线 AB 的方程. 解析 　(1)直角三角形 PF 1 F 2 内切圆的半径 r =   (| PF 1 |+| PF 2 |-| F 1 F 2 |)= a - c , 依题意有 a - c =   -1.   (2分) 又   =   ,则 a =   , c =1,从而 b =1.   (3分) 故椭圆 E 的方程为   + y 2 =1.   (4分) (2)设直线 AB 的方程为 y = x + m , 代入椭圆 E 的方程,整理得3 x 2 +4 mx +2 m 2 -2=0, 由 Δ >0得-   < m <   .   (5分) 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则 x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =   .   (6分) | AB |=   | x 2 - x 1 |=   .   (7分) 易知| BC |=   ,则由-   < m <   知| BC |=   ,   (8分) 所以由已知可得| AB |+| BC |=   ,即   +   =   , 整理得41 m 2 +30 m -71=0, 解得 m =1或 m =-   (均满足-   < m <   ).   (10分) 所以直线 AB 的方程为 y = x +1或 y = x -   .   (13分) 思路分析 　(1)利用△ PF 1 F 2 内切圆半径可得 a - c =   -1,结合   =   解得 a , c 的值,进而得 b 的值,从 而写出 E 的方程;(2)设出直线 AB 的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系及弦长公式求得| AB |, 由两平行线间的距离公式得| BC |,从而由| AB |+| BC |=   求得直线 AB 方程中的参数,从而得直 线 AB 的方程. 名师点拨　 求曲线方程常用的方法为待定系数法,即选择合适的参数设出曲线方程,构造关于 参数的方程或方程组进行求解.