浙江中考数学专题训练——解答题4

浙江中考数学专题训练——解答题4

浙江中考数学专题训练——解答题4‎ ‎1．（1）计算：（2）解方程：‎ ‎2．如图，AB∥CD，连结AD，点E是AD的中点，连结BE并延长交CD于F点．‎ ‎（1）请说明△ABE≌△DFE的理由；‎ ‎（2）连结CE，AC,若CB⊥CD，AC=CD,∠D=30°，CD=2，求BF的长．‎ ‎3．规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在8×10的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．‎ ‎（1）在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形ABCD，且它的面积为16；‎ ‎（2）在图乙中画出一个以AB为对角线的菱形AEBF，且它的周长为整数．‎ ‎4．瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：‎ ‎（元）‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎30‎ ‎（件）‎ ‎62‎ ‎60‎ ‎58‎ ‎40‎ ‎（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式．（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．‎ ‎（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？‎ ‎5．如图，直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，且顶点Q在直线AB上．‎ ‎（1）求a，b的值．‎ ‎（2）点P是第四象限内抛物线上的点，连结OP、AP、BP，设点P的横坐标为t，△OAP的面积为s1，△OBP的面积为s2，记s＝s1+s2，试求s的最值．‎ ‎6．如图，已知A、B、C是⊙O上三点，其中，过点B画BD⊥OC于点D.‎ ‎(1)求证:AB＝2BD；‎ ‎(2)若AB＝，CD＝1，求图中阴影部分的面积.‎ ‎7．为喜迎 “五一” 佳节，某食品公司推出一种新礼盒，每盒成本10元，在 “五一” 节前进行销售后发现，该礼盒的日销售量y（盒）与销售价x（元/盒）的关系如下表:‎ 销售价x(元/盒)‎ ‎∙∙∙‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎∙∙∙‎ 日销售量y(盒)‎ ‎∙∙∙‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎∙∙∙‎ 同时，销售过程中每日的其他开支（不含进价）总计100元.‎ ‎(1)以x作为点的横坐标，y作为点的纵坐标，把表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，观察顺次连结各点所得图形，判断y与x的函数关系，并求出y（盒）与x（元/盒）的函数解析式:‎ ‎(2)请计算销售价格为多少元/盒时，该公司销售这种礼盒的日销售利润w（元）最大，最大日销售利润是多少？‎ ‎(3)“五一” 当天，销售价格（元/盒）比（2）的销售价格降低m元（m＞0），日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元，求m的值.‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线AC的函数解析式为.‎ ‎(1)求该抛物线的函数关系式与B点坐标；‎ ‎(2)已知点D (m，0)是线段OA上的一个动点，过点作x轴的垂线l分别与直线AC和抛物线交于E、F两点，当m为何值时，△CEF恰好是以EF为底边的等腰三角形？‎ ‎(3)在(2)问条件下，当△CEF恰好是以EF为底边的等腰三角形时，若P是直线AC上的一个动点，设P的横坐标为x，‎ ‎①连接FP，求最小值；‎ ‎②若∠APF不小于45°，请直接写出x的取值范围.‎ ‎9．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，当其自变量的值为m时，其函数值等于﹣m，则称﹣m为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零．‎ 例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n等于5．‎ ‎（1）分别判断函数y＝﹣x+1，y＝，y＝x2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；‎ ‎（2）对于函数y＝x2﹣b2x，‎ ‎①若其反向距离为零，求b的值；‎ ‎②若﹣1≤b≤3，求其反向距离n的取值范围；‎ ‎（3）若函数y＝请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出相应m的取值范围．‎ ‎10．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线l与AB所在直线垂直，垂足为C，OC＝3，P是圆上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交l于M、N两点．‎ ‎（1）当∠A＝30°时，MN的长是　 ；‎ ‎（2）求证：MC•CN是定值；‎ ‎（3）MN是否存在最大或最小值，若存在，请写出相应的最值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）以MN为直径的一系列圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置，若不是，请说明理由．‎ 参考答案 ‎1．（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简，再计算；(π-3.14)0=1，=2，〡1-〡=-1;‎ ‎（2）通过先配方，后解方程.‎ ‎【详解】‎ 原式=1+2+-1=3‎ ‎（2）配方得（x-1）2=3 ‎ ‎ 解得x1=1-或1+.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是化简计算和方程求解，熟练掌握这两点是解题的关键.‎ ‎2．（1）见解析；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可得∠BAE=∠EDF，AE=ED，∠AEB=∠FED，则根据ASA可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得CE⊥AD，求出CE=1，证明BF=2CE，则BF可求出．‎ ‎【详解】‎ 证明：∵AB∥CD ∴∠BAE=∠EDF ‎ ‎ ∵点E是AD的中点 ∴AE=ED ‎ ‎ 又∵∠AEB=∠FED ‎ ‎ ∴△ABE≌△DFE（ASA） ‎ ‎（2）解：∵AC=CD 且E为AD中点 ∴CE⊥AD ‎ ‎ ∵∠D=30°且CD=2 ∴CE=1 ‎ ‎ 又∵CB⊥CD且BE=EF ∴BF=2CE ‎ ‎ ∴BF=2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全等三角形的判定，含30°直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三 角形全等的判定方法是解题的关键．‎ ‎3．答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平行四边形的性质画出符合题意的图形.‎ 利用菱形的性质画出符合题意得图形即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是根据平行四边形和菱形的性质正确作图即可.‎ ‎4．（1）y＝﹣2x+100，w＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）当销售单价为34元时，每日能获得最大利润，最大利润是512元；（3）制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b．列方程组得到y关于x的函数表达式y＝﹣2x+100，根据题意得到w＝﹣2x2+136x﹣1800；‎ ‎（2）把w＝﹣2x2+136x﹣1800配方得到w＝﹣2（x﹣34）2+512．根据二次函数的性质即可得到结论；‎ ‎（3）根据题意列方程即可得到即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b．‎ 则，解得，‎ ‎∴y＝﹣2x+100，‎ ‎∴y关于x的函数表达式y＝﹣2x+100，‎ ‎∴w＝（x﹣18）•y＝（x﹣18）（﹣2x+100）∴w＝﹣2x2+136x﹣1800；‎ ‎（2）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512．‎ ‎∴当销售单价为34元时，‎ ‎∴每日能获得最大利润512元；‎ ‎（3）当w＝350时，350＝﹣2x2+136x﹣1800，‎ 解得x＝25或43，‎ 由题意可得25≤x≤32，‎ 则当x＝32时，18（﹣2x+100）＝648，‎ ‎∴制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出函数关系式．‎ ‎5．（1）；（2）当t＝3时，s取得最大值，最大值为18．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由二次函数的对称性可得出抛物线的对称轴为直线x＝2，利于一次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线的顶点Q的坐标，由点A，P的坐标，利用待定系数法即可求出a，b的值；‎ ‎（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，利用三角形的面积公式可找出s1，s2，进而可得出s关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，‎ ‎∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣8）．‎ ‎∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，点O，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x＝2．‎ 当x＝2时，y＝2x﹣8＝﹣4，‎ ‎∴抛物线顶点Q的坐标为（2，﹣4）．‎ 将A（4，0），Q（2，﹣4）代入y＝ax2+bx，得：‎ ‎，解得：．‎ ‎（2）由（1）得：抛物线解析式为y＝x2﹣4x，‎ ‎∵点P的横坐标为t，‎ ‎∴点P的坐标为（t，t2﹣4t），‎ ‎∴s1＝×4×（4t﹣t2）＝8t﹣2t2，s2＝×8×t＝4t，‎ ‎∴s＝s1+s2＝﹣2t2+12t＝﹣2（t﹣3）2+18．‎ ‎∵﹣2＜0，且0＜t＜4，‎ ‎∴当t＝3时，s取得最大值，最大值为18．‎ ‎【点睛】‎ 本題考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、一次的数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是:(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次数解析式;(2)利用三角形的面积公式，找出s关于t的数关系式.‎ ‎6．（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）如图，延长BD交⊙O于E，根据垂径定理得到BE=2BD，弧BE=2弧BC，求得弧AB=弧BE，于是得到结论； （2）如图，连接OB，设⊙O 的半径为r，根据勾股定理列方程得到r=2，根据三角函数的定义得到∠BOC=60°，根据扇形和三角形的面积公式即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）如图，延长交于点，‎ ‎∵于，‎ ‎∴，弧BE=2弧BC，‎ ‎∵弧AB=2弧BC，‎ ‎∴弧AB=弧BE，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）如图，连接，设的半径为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 在中，，解得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴阴影部分的面积为.‎ 故答案为（1）证明见解析；（2） .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆周角定理，垂径定理，扇形的面积，勾股定理，解题的关键是正确的作出辅助线．‎ ‎7．（1）y=-x+70.（2）当销售价格为40元/盒时，日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元.（3）m的值为20.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）画出图形可知该礼盒的日销售量y（盒）与销售价x（元/盒）的关系是一次函数的关系，然后用待定系数法求解即可；‎ ‎（2）列出关于销售利润w（元）的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可；‎ ‎（3）根据日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，并连结各点所得图形为：‎ 观察图象可知，y是关于x的一次函数，设y=kx+b，代入(20, 50)，(30, 40)，得 ‎，解得，‎ 故y（盒）与x（元/盒）的函数解析式为：y=-x+70.‎ ‎(2)依题意可得，w=(x-10)(-x+70)-100=-x2+80x-800=-(x-40)2+800，当x=40时，w取得最大值800，‎ 所以当销售价格为40元/盒时，日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元.‎ ‎(3)依题意，可得(40-m)[-(40-m)+70]=800+200，‎ 整理，得m2-10m-200=0，‎ 解得m=20或m=-10(舍).‎ 所以m的值为20.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了描点法画函数图像，待定系数法求函数解析式，二次函数的应用及一元二次方程的应用.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确列出函数关系式是解（2）的关键，根据题意列出一元二次方程是解（3）的关键.‎ ‎8．（1）；B (1, 0).（2）当m= -1时，△CEF恰好是以EF为底边 的等腰三角形.（3）①最小值为.②.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由求出点A与点B的坐标，代入即可求出该抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）过点C作CM⊥l于M.由等腰三角形的性质知M为EF的中点，易知M(m, )，E(m, )，根据中点公式表示出点F的坐标，代入二次函数解析式即可求出m的值；‎ ‎（3）①过点P作PG⊥x轴于G，连结FG. 在Rt△AOC中，根据tan∠CAO=求出∠CAO=30°.从而=PF+PG，根据垂线段最短即可求出最小值；②当∠APF=45°时，过点F作FS⊥FP交直线AP于点S，设此时P的坐标为，S的坐标为.过点F作x轴的平行线，分别过P、S两点作该平行线的垂线，垂足分别记为M、N.易证△SNF≌△FMP，x的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 解：依题意，可得A(-3, 0)，B(0, 3)，代入抛物线解析式，有：‎ ‎，‎ 解得,,‎ ‎∴抛物线的解析式为，令y=0, 得，‎ 解得，‎ ‎∴B (1, 0).‎ ‎(2) 如图，过点C作CM⊥l于M.‎ ‎∵△CEF是以EF为底边的等腰三角形，‎ ‎∴M为EF的中点.‎ 易知M(m, )，E(m, )，‎ 则由M为EF的中点，可得F(m, )，‎ 将F的坐标代入抛物线解析式，得=，‎ 整理，得，解得，‎ 而题意可知，，则m= -1.‎ 当m= -1时，△CEF恰好是以EF为底边的等腰三角形.‎ ‎(3) ①如图，过点P作PG⊥x轴于G，连结FG.‎ 在Rt△AOC中，tan∠CAO=，‎ ‎∴∠CAO=30°.‎ 在Rt△PAG中，∠PAG=30°，‎ ‎∴PG=，‎ ‎∴=PF+PG≥FG≥FD =,‎ ‎∴最小值为.‎ ‎②.‎ 如图，当∠APF=45°时，过点F作FS⊥FP交直线AP于点S，设此时P的坐标为，S的坐标为.‎ 显然△PSF为等腰Rt三角形，其中FP=FS，∠PFS=90°.‎ 过点F作x轴的平行线，分别过P、S两点作该平行线的垂线，垂足分别记为M、N.‎ 易证△SNF≌△FMP，然后表示出S点坐标，代入求出x0的值，结合图像即可求出 ‎∴SN=FM=，‎ FN=PM=.‎ ‎∴，.‎ 将S点坐标带入中，有：‎ ‎，‎ 解得.‎ 结合图象可知，要使得∠APF不小于45，则x必须满足，‎ ‎∴x的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与抛物线的交点，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，30°角的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，全等三角形的判定与性质及数形结合的数学思想，难度较大，属中考压轴题.‎ ‎9．（1）y＝−有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2）①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；‎ ‎(2)①根据题意可以求得相应的b的值；‎ ‎②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；‎ ‎(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可得，‎ 当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，‎ 当﹣m＝时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝有反向值，反向距离为2，‎ 当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；‎ ‎(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，‎ 解得，m＝0或m＝b2﹣1，‎ ‎∵反向距离为零，‎ ‎∴|b2﹣1﹣0|＝0，‎ 解得，b＝±1；‎ ‎②令﹣m＝m2﹣b2m，‎ 解得，m＝0或m＝b2﹣1，‎ ‎∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，‎ ‎∵﹣1≤b≤3，‎ ‎∴0≤n≤8；‎ ‎(3)∵y＝，‎ ‎∴当x≥m时，‎ ‎﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，‎ ‎∴n＝2﹣0＝2，‎ ‎∴m＞2或m≤﹣2；‎ 当x＜m时，‎ ‎﹣m＝﹣m2﹣3m，‎ 解得，m＝0或m＝﹣4，‎ ‎∴n＝0﹣(﹣4)＝4，‎ ‎∴﹣2＜m≤2，‎ 由上可得，当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，‎ 当﹣2＜m≤2时，n＝4．‎ ‎【点睛】‎ 本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．‎ ‎10．（1）；（2）MC•NC＝5；（3）a+b的最小值为2；（4）以MN为直径的一系列圆经过定点D，此定点D在直线AB上且CD的长为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意得AO＝OB＝2、OC＝3、AC＝5、BC＝1，根据MC＝ACtan∠A＝ 、CN＝可得答案；‎ ‎(2)证△ACM∽△NCB得，由此即可求得答案；‎ ‎(3)设MC＝a、NC＝b，由(2)知ab＝5，由P是圆上异于A、B的动点知a＞0，可得b＝(a＞0)，根据反比例函数的性质得a+b不存在最大值，当a＝b时，a+b最小，据此求解可得；‎ ‎(4)设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，证△MDC∽△DNC得，即MC•NC ‎＝DC2＝5，即DC＝，据此知以MN为直径的一系列圆经过定点D，此顶点D在直线AB上且CD的长为．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)如图所示，根据题意知，AO＝OB＝2、OC＝3，‎ 则AC＝OA+OC＝5，BC＝OC﹣OB＝1，‎ ‎∵AC⊥直线l，‎ ‎∴∠ACM＝∠ACN＝90°，‎ ‎∴MC＝ACtan∠A＝5×＝，‎ ‎∵∠ABP＝∠NBC，‎ ‎∴∠BNC＝∠A＝30°，‎ ‎∴CN＝，‎ 则MN＝MC+CN＝+＝，‎ 故答案为：；‎ ‎(2)∵∠ACM＝∠NCB＝90°，∠A＝∠BNC，‎ ‎∴△ACM∽△NCB，‎ ‎∴，‎ 即MC•NC＝AC•BC＝5×1＝5；‎ ‎(3)设MC＝a、NC＝b，‎ 由(2)知ab＝5，‎ ‎∵P是圆上异于A、B的动点，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∴b＝(a＞0)，‎ 根据反比例函数的性质知，a+b不存在最大值，当a＝b时，a+b最小，‎ 由a＝b得a＝，解之得a＝(负值舍去)，此时b＝，‎ 此时a+b的最小值为2；‎ ‎(4)如图，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，‎ ‎∵MN为直径，‎ ‎∴∠MDN＝90°，‎ 则∠MDC+∠NDC＝90°，‎ ‎∵∠DCM＝∠DCN＝90°，‎ ‎∴∠MDC+∠DMC＝90°，‎ ‎∴∠NDC＝∠DMC，‎ 则△MDC∽△DNC，‎ ‎∴，即MC•NC＝DC2，‎ 由(2)知MC•NC＝5，‎ ‎∴DC2＝5，‎ ‎∴DC＝，‎ ‎∴以MN为直径的一系列圆经过定点D，此定点D在直线AB上且CD的长为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是圆的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用、反比例函数的性质等知识点．‎