上海中考专题训练25题专题训练及答案

上海中考专题训练25题专题训练及答案

‎1．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）‎ 在Rt△中，，，Rt△绕着点按顺时针方向旋转，使点落在斜边上的点，设点 点重合，联结，过点作直线与射线垂直，交点为M．‎ ‎（1）若点与点重合如图10，求的值；‎ ‎（2）若点在边上如图11，设边长，，点与点不重合，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）若，求斜边的长．‎ A C B(M)‎ E D 图10‎ A C B M E D 图11‎ ‎2．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）‎ 如图，已知在梯形ABCD中，AD // BC，AB = DC = 5，AD = 4．M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME // DN，MF // AN，联结EF．‎ ‎（1）如图1，如果EF // BC，求EF的长；‎ ‎（2）如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的，求AM的长；‎ ‎（3）如果BC = 10，试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．‎ A BA C D M N E F ‎（图1）‎ A BA C D M N E F ‎（第25题图）‎ ‎3．（本题满分14分）‎ ‎ 如图，已知矩形ABCD，AB =12 cm，AD =10 cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F。已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动.设运动时间为t（单位:s）.‎ ‎（1）求证: DE=CF；‎ ‎（2）设x = 3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；‎ 第25题图 ‎（3）设△PAQ关于直线PQ对称的图形是△PA'Q，当t和x分别为何值时，点A'与圆心O恰好重合，求出符合条件的t、x的值.‎ ‎ ‎ ‎4．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）‎ 如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，AB=4，AD=3，，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．‎ ‎（1）求证：∠BCD=∠BDC；‎ ‎（2）如图1，若以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，求DP的长；‎ ‎（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．‎ A B C H P D E F ‎（第25题图2）‎ A B C H P D ‎（第25题图1）‎ ‎、5.‎ ‎6、（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）‎ 已知：⊙O的半径为3，弦，垂足为，点E在⊙O上，，射线 CE与射线相交于点．设 ‎ ‎（1）求与之间的函数解析式，并写出函数定义域； ‎ 第25题 O E F B C D A 备用图1‎ O O ‎（2）当为直角三角形时，求的长；‎ ‎（3）如果，求的长．‎ ‎（备用图2）‎ ‎(图七)‎ A ‎ B C D ‎7．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）‎ 已知：如图七，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A ‎＝90°，AD＝6，AB＝8，sinC＝，点P在射线DC上，‎ 点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP＝x，BQ＝y．‎ ‎（图八）‎ B P A C D Q ‎（1）求证：点D在线段BC的垂直平分线上；‎ ‎（2）如图八，当点P在线段DC上，且点Q在线 段AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；‎ ‎（3）若以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C 为圆心、CP为半径的⊙C相切，求线段DP的长．‎ ‎(备用)‎ A B C D A C B(M)‎ E D ‎1.解：（1）当点与点重合，由旋转得：，，‎ ‎，∵∴‎ ‎∴…………1分 ‎∴∴‎ ‎∴ …………………………………1分 ‎∴‎ ‎∴ ……………………………1分 ‎∴………………1分 ‎（2）设与边交点为 由题意可知：，‎ 又，∴∵，‎ ‎∴，∵，∴△∽△‎ ‎∴…………………………………………1分 ‎∵，‎ A C B M E D G H ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴，∴…………………………1分 由题意可知：……………1分 ‎，‎ ‎∴……………………1分 ‎∴……………………1分 定义域为…………………………1分 ‎（3）当点在边上时，由旋转可知：，∴‎ 设，则，∵，分别延长、交于点 ‎∴，∵∴‎ 易得： ，‎ ‎∴，，∵，∴‎ ‎∴，∴△∽△，∴，又 ‎，∴，∴(负值舍去)‎ ‎∴…………………………2分 A C D E M B 当点在边的延长线上时，∵，‎ ‎∴∴∥∴‎ ‎∵∴‎ ‎∴，∵，‎ ‎∴…………………………2分 综上所述：或.‎ ‎2．解：（1）∵ AD // BC，EF // BC，∴ EF // AD．……………………………（1分）‎ 又∵ ME // DN，∴ 四边形EFDM是平行四边形．‎ ‎∴ EF = DM．…………………………………………………………（1分）‎ 同理可证，EF = AM．…………………………………………………（1分）‎ ‎∴ AM = DM．‎ ‎∵ AD = 4，∴ ．……………………………（1分）‎ ‎（2）∵ ，∴ ． ‎ 即得 ．……………………………………………（1分）‎ ‎∵ ME // DN，∴ △AME∽△AND．‎ ‎∴ ．……………………………………………………（1分）‎ 同理可证，△DMF∽△DNA．即得 ．……………（1分）‎ 设 AM = x，则 ．‎ ‎∴ ．………………………………………………（1分）‎ 即得 ．解得 ，．‎ ‎∴ AM 的长为1或 3．………………………………………………（1分）‎ ‎（3）△ABN、△AND、△DNC能两两相似． ……………………………（1分）‎ ‎∵ AD // BC，AB = DC，∴ ∠B =∠C．‎ 由 AD // BC，得 ∠DAN =∠ANB，∠ADN =∠DNC．‎ ‎∴ 当 △ABN、△AND、△DNC两两相似时，只有 ∠AND =∠B一种情况．……………………………………………………………………（1分）‎ 于是，由 ∠ANC =∠B +∠BAN，∠ANC =∠AND +∠DNC，‎ 得 ∠DNC =∠BAN．∴ △ABN∽△DNC．‎ 又∵ ∠ADN =∠DNC，∴ △AND∽△DNC．‎ ‎∴ △ABN∽△AND∽△DNC．‎ ‎∴ ，． ………………………………………（1分）‎ 设 BN = x，则 NC = 10 –x．∴ ．‎ 即得 ．解得 ．……………………………（1分）‎ 经检验：x = 5是原方程的根，且符合题意．‎ ‎∴ ． ∴ ．‎ 即得 ．……………………………………………………（1分）‎ ‎∴ 当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，AN的长为．‎ ‎3．（本题满分14分）‎ ‎（1）证:作OH⊥DC于点H，设⊙O与BC边切于点G，联结OG. （1分）‎ 第25题图(1)‎ ‎∴∠OHC=90°‎ ‎∵⊙O与BC边切于点G ∴OG=6，OG⊥BC ‎ ‎∴∠OGC=90°‎ ‎∵矩形ABCD ∴∠C=90°‎ ‎∴四边形OGCH是矩形 ‎ ‎∴CH=OG ‎ ∵OG=6 ∴CH=6 （1分）‎ ‎ ∵矩形ABCD ∴AB=CD ‎∵AB=12 ∴CD=12 ‎ ‎∴DH=CD﹣CH=6 ∴DH= CH ‎ ‎ ∴O是圆心且OH⊥DC ∴EH=FH （2分）‎ ‎ ∴DE=CF. （1分）‎ ‎（2）据题意，设DP=t，PA=10-t，AQ=3t，QB=12-3t，BR=1.5t（0 < t < 4）. （1分）‎ ‎ ∵矩形ABCD ∴∠A=∠B=90°‎ ‎ 若△PAQ与△QBR相似，则有 ‎ ① （2分）‎ ‎② 或（舍）（2分）‎ ‎（3）设⊙O与AD、AB都相切点M、N，联结OM、ON、OA.‎ 第25题图(2)‎ ‎ ∴OM⊥AD ON⊥AB 且OM=ON=6‎ 又∵矩形ABCD ∴∠A=90°‎ ‎ ∴四边形OMAN是矩形 ‎ ‎ 又∵ OM =ON ∴四边形OMAN是正方形 （1分）‎ ‎ ∴MN垂直平分OA ‎∵△PAQ与△PA'Q关于直线PQ对称 ‎ ‎∴PQ垂直平分OA ‎ ‎ ∴MN与PQ重合 （1分）‎ ‎ ∴ MA = PA = 10-t = 6 ∴ t = 4 （1分）‎ ‎ ∴AN = AQ = x t = 6 ∴x = （1分）‎ ‎ ∴当t = 4 和x =时点A'与圆心O恰好重合. ‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6．解：（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H ‎ ∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=，CE=‎ ‎∴， ………………………………1分 ‎∵在Rt△ODB中，，OB=3 ∴OD= ………1分 ‎∵OC=OE ∴∠ECO=∠CEO ‎∵∠ECO＝∠BOC ‎∴∠CEO=∠BOC 又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB ‎∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD …………………………1分 ‎ ∴ ‎ ‎∴……………………………………………………………………1分 函数定义域为（0＜＜6）………………………………………………………1分 ‎（2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：‎ ‎ ①若∠OFE＝90º，则∠COF＝∠OCF＝45º ‎ ‎ ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=45°‎ ‎ 又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°， ∴∠AOB=90°‎ ‎ ∴△OAB是等腰直角三角形 ‎ ∴…………………………………………………2分 ‎②若∠EOF＝90º ， 则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30º……………………1分 ‎ 　 ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=60°‎ ‎ 　 又∵OA=OB ‎ 　 ∴△OAB是等边三角形 ‎∴AB=OB=3…………………………………………………………………2分 ‎（3）①当CF＝OF＝OB–BF＝2时， ‎ 可得：△CFO∽△COE，CE＝，‎ ‎∴EF＝CE–CF＝． ……………………………………………2分 ‎②当CF＝OF＝OB+BF＝4时， ‎ 可得：△CFO∽△COE，CE＝，‎ ‎∴EF＝CF–CE＝． ……………………………………………2分 ‎7、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）‎ 解：（1）作DH⊥BC于H（见图①） …………（1分）‎ 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°， ‎ ‎∴∠B＝90°, ∠BHD=90°‎ ‎∴四边形ABHD是矩形 ‎ ‎∴DH=AB，BH=AD …………（1分）‎ 又∵AD＝6，AB＝8‎ ‎∴DH=8，BH=6‎ 在Rt△DHC中, sinC＝,可设DH=4k, DC=5k ‎∴DC=10, HC=，‎ ‎∴BH=HC=6 …………（1分）‎ 又∵DH⊥BC ‎ ‎∴点D在线段BC的垂直平分线上 …………（1分）‎ ‎（2）延长BA、CD相交于点S（见图②）， …………（1分）‎ ‎∵AD∥BC且BC＝12 ∴AD=BC ‎∴‎ ‎∴SD=DC=10，SA=AB=8‎ ‎∵DP＝x，BQ＝y, SP=x+10‎ 由△SPQ～△SAD得 ………（1分）‎ ‎∴ …………（1分）‎ ‎∴所求解析式为， …………（1分）‎ 定义域是0≤x≤ …………（1分）‎ ‎(说明：若用勾股定理列出：亦可，方法多样．) ‎ ‎（3）由图形分析，有三种情况：‎ ‎（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，‎ 由BQ+CP=BC，，解得 ‎ ‎（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，‎ ‎ …………（2分）‎ ‎（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，‎ 此时, CP = x-10 …………（1分）‎ 若两圆外切，BQ+CP=BC，即,解得…………（1分）‎ 若两圆内切，，即 ‎ 解得 ‎ 解得（不合题意舍去）‎ ‎ …………（1分）‎ 综上所述，⊙B与⊙C相切时，线段DP的长为，或22 ． ‎