上海中考专题训练25题专题训练及答案

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上海中考专题训练25题专题训练及答案

‎1.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分)‎ 在Rt△中,,,Rt△绕着点按顺时针方向旋转,使点落在斜边上的点,设点 点重合,联结,过点作直线与射线垂直,交点为M.‎ ‎(1)若点与点重合如图10,求的值;‎ ‎(2)若点在边上如图11,设边长,,点与点不重合,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎(3)若,求斜边的长.‎ A C B(M)‎ E D 图10‎ A C B M E D 图11‎ ‎2.(本题满分14分,其中第(1)小题各4分,第(2)、(3)小题各5分)‎ 如图,已知在梯形ABCD中,AD // BC,AB = DC = 5,AD = 4.M、N分别是边AD、BC上的任意一点,联结AN、DN.点E、F分别在线段AN、DN上,且ME // DN,MF // AN,联结EF.‎ ‎(1)如图1,如果EF // BC,求EF的长;‎ ‎(2)如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的,求AM的长;‎ ‎(3)如果BC = 10,试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似?如果能,求AN的长;如果不能,请说明理由.‎ A BA C D M N E F ‎(图1)‎ A BA C D M N E F ‎(第25题图)‎ ‎3.(本题满分14分)‎ ‎ 如图,已知矩形ABCD,AB =12 cm,AD =10 cm,⊙O与AD、AB、BC三边都相切,与DC交于点E、F。已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发,沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动,点P、Q、R的运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s,当点Q到达点B时停止运动,P、R两点同时停止运动.设运动时间为t(单位:s).‎ ‎(1)求证: DE=CF;‎ ‎(2)设x = 3,当△PAQ与△QBR相似时,求出t的值;‎ 第25题图 ‎(3)设△PAQ关于直线PQ对称的图形是△PA'Q,当t和x分别为何值时,点A'与圆心O恰好重合,求出符合条件的t、x的值.‎ ‎ ‎ ‎4.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)‎ 如图,已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,AB=4,AD=3,,点P是对角线BD上一动点,过点P作PH⊥CD,垂足为H.‎ ‎(1)求证:∠BCD=∠BDC;‎ ‎(2)如图1,若以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时,求DP的长;‎ ‎(3)如图2,点E在BC延长线上,且满足DP=CE,PE交DC于点F,若△ADH和△ECF相似,求DP的长.‎ A B C H P D E F ‎(第25题图2)‎ A B C H P D ‎(第25题图1)‎ ‎、5.‎ ‎6、(本题满分14分,其中第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题4分)‎ 已知:⊙O的半径为3,弦,垂足为,点E在⊙O上,,射线 CE与射线相交于点.设 ‎ ‎(1)求与之间的函数解析式,并写出函数定义域; ‎ 第25题 O E F B C D A 备用图1‎ O O ‎(2)当为直角三角形时,求的长;‎ ‎(3)如果,求的长.‎ ‎(备用图2)‎ ‎(图七)‎ A ‎ B C D ‎7.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)‎ 已知:如图七,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A ‎=90°,AD=6,AB=8,sinC=,点P在射线DC上,‎ 点Q在射线AB上,且PQ⊥CD,设DP=x,BQ=y.‎ ‎(图八)‎ B P A C D Q ‎(1)求证:点D在线段BC的垂直平分线上;‎ ‎(2)如图八,当点P在线段DC上,且点Q在线 段AB上时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;‎ ‎(3)若以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C 为圆心、CP为半径的⊙C相切,求线段DP的长.‎ ‎(备用)‎ A B C D A C B(M)‎ E D ‎1.解:(1)当点与点重合,由旋转得:,,‎ ‎,∵∴‎ ‎∴…………1分 ‎∴∴‎ ‎∴ …………………………………1分 ‎∴‎ ‎∴ ……………………………1分 ‎∴………………1分 ‎(2)设与边交点为 由题意可知:,‎ 又,∴∵,‎ ‎∴,∵,∴△∽△‎ ‎∴…………………………………………1分 ‎∵,‎ A C B M E D G H ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴,∴…………………………1分 由题意可知:……………1分 ‎,‎ ‎∴……………………1分 ‎∴……………………1分 定义域为…………………………1分 ‎(3)当点在边上时,由旋转可知:,∴‎ 设,则,∵,分别延长、交于点 ‎∴,∵∴‎ 易得: ,‎ ‎∴,,∵,∴‎ ‎∴,∴△∽△,∴,又 ‎,∴,∴(负值舍去)‎ ‎∴…………………………2分 A C D E M B 当点在边的延长线上时,∵,‎ ‎∴∴∥∴‎ ‎∵∴‎ ‎∴,∵,‎ ‎∴…………………………2分 综上所述:或.‎ ‎2.解:(1)∵ AD // BC,EF // BC,∴ EF // AD.……………………………(1分)‎ 又∵ ME // DN,∴ 四边形EFDM是平行四边形.‎ ‎∴ EF = DM.…………………………………………………………(1分)‎ 同理可证,EF = AM.…………………………………………………(1分)‎ ‎∴ AM = DM.‎ ‎∵ AD = 4,∴ .……………………………(1分)‎ ‎(2)∵ ,∴ . ‎ 即得 .……………………………………………(1分)‎ ‎∵ ME // DN,∴ △AME∽△AND.‎ ‎∴ .……………………………………………………(1分)‎ 同理可证,△DMF∽△DNA.即得 .……………(1分)‎ 设 AM = x,则 .‎ ‎∴ .………………………………………………(1分)‎ 即得 .解得 ,.‎ ‎∴ AM 的长为1或 3.………………………………………………(1分)‎ ‎(3)△ABN、△AND、△DNC能两两相似. ……………………………(1分)‎ ‎∵ AD // BC,AB = DC,∴ ∠B =∠C.‎ 由 AD // BC,得 ∠DAN =∠ANB,∠ADN =∠DNC.‎ ‎∴ 当 △ABN、△AND、△DNC两两相似时,只有 ∠AND =∠B一种情况.……………………………………………………………………(1分)‎ 于是,由 ∠ANC =∠B +∠BAN,∠ANC =∠AND +∠DNC,‎ 得 ∠DNC =∠BAN.∴ △ABN∽△DNC.‎ 又∵ ∠ADN =∠DNC,∴ △AND∽△DNC.‎ ‎∴ △ABN∽△AND∽△DNC.‎ ‎∴ ,. ………………………………………(1分)‎ 设 BN = x,则 NC = 10 –x.∴ .‎ 即得 .解得 .……………………………(1分)‎ 经检验:x = 5是原方程的根,且符合题意.‎ ‎∴ . ∴ .‎ 即得 .……………………………………………………(1分)‎ ‎∴ 当△ABN、△AND、△DNC两两相似时,AN的长为.‎ ‎3.(本题满分14分)‎ ‎(1)证:作OH⊥DC于点H,设⊙O与BC边切于点G,联结OG. (1分)‎ 第25题图(1)‎ ‎∴∠OHC=90°‎ ‎∵⊙O与BC边切于点G ∴OG=6,OG⊥BC ‎ ‎∴∠OGC=90°‎ ‎∵矩形ABCD ∴∠C=90°‎ ‎∴四边形OGCH是矩形 ‎ ‎∴CH=OG ‎ ∵OG=6 ∴CH=6 (1分)‎ ‎ ∵矩形ABCD ∴AB=CD ‎∵AB=12 ∴CD=12 ‎ ‎∴DH=CD﹣CH=6 ∴DH= CH ‎ ‎ ∴O是圆心且OH⊥DC ∴EH=FH (2分)‎ ‎ ∴DE=CF. (1分)‎ ‎(2)据题意,设DP=t,PA=10-t,AQ=3t,QB=12-3t,BR=1.5t(0 < t < 4). (1分)‎ ‎ ∵矩形ABCD ∴∠A=∠B=90°‎ ‎ 若△PAQ与△QBR相似,则有 ‎ ① (2分)‎ ‎② 或(舍)(2分)‎ ‎(3)设⊙O与AD、AB都相切点M、N,联结OM、ON、OA.‎ 第25题图(2)‎ ‎ ∴OM⊥AD ON⊥AB 且OM=ON=6‎ 又∵矩形ABCD ∴∠A=90°‎ ‎ ∴四边形OMAN是矩形 ‎ ‎ 又∵ OM =ON ∴四边形OMAN是正方形 (1分)‎ ‎ ∴MN垂直平分OA ‎∵△PAQ与△PA'Q关于直线PQ对称 ‎ ‎∴PQ垂直平分OA ‎ ‎ ∴MN与PQ重合 (1分)‎ ‎ ∴ MA = PA = 10-t = 6 ∴ t = 4 (1分)‎ ‎ ∴AN = AQ = x t = 6 ∴x = (1分)‎ ‎ ∴当t = 4 和x =时点A'与圆心O恰好重合. ‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6.解:(1)过点O作OH⊥CE,垂足为H ‎ ∵在圆O中,OC⊥弦AB,OH⊥弦CE,AB=,CE=‎ ‎∴, ………………………………1分 ‎∵在Rt△ODB中,,OB=3 ∴OD= ………1分 ‎∵OC=OE ∴∠ECO=∠CEO ‎∵∠ECO=∠BOC ‎∴∠CEO=∠BOC 又∵∠ODB=∠OHE=90°,OE=OB ‎∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD …………………………1分 ‎ ∴ ‎ ‎∴……………………………………………………………………1分 函数定义域为(0<<6)………………………………………………………1分 ‎(2)当△OEF为直角三角形时,存在以下两种情况:‎ ‎ ①若∠OFE=90º,则∠COF=∠OCF=45º ‎ ‎ ∵∠ODB=90°, ∴∠ABO=45°‎ ‎ 又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°, ∴∠AOB=90°‎ ‎ ∴△OAB是等腰直角三角形 ‎ ∴…………………………………………………2分 ‎②若∠EOF=90º , 则∠OEF=∠COF=∠OCF=30º……………………1分 ‎   ∵∠ODB=90°, ∴∠ABO=60°‎ ‎   又∵OA=OB ‎   ∴△OAB是等边三角形 ‎∴AB=OB=3…………………………………………………………………2分 ‎(3)①当CF=OF=OB–BF=2时, ‎ 可得:△CFO∽△COE,CE=,‎ ‎∴EF=CE–CF=. ……………………………………………2分 ‎②当CF=OF=OB+BF=4时, ‎ 可得:△CFO∽△COE,CE=,‎ ‎∴EF=CF–CE=. ……………………………………………2分 ‎7、(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)‎ 解:(1)作DH⊥BC于H(见图①) …………(1分)‎ 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°, ‎ ‎∴∠B=90°, ∠BHD=90°‎ ‎∴四边形ABHD是矩形 ‎ ‎∴DH=AB,BH=AD …………(1分)‎ 又∵AD=6,AB=8‎ ‎∴DH=8,BH=6‎ 在Rt△DHC中, sinC=,可设DH=4k, DC=5k ‎∴DC=10, HC=,‎ ‎∴BH=HC=6 …………(1分)‎ 又∵DH⊥BC ‎ ‎∴点D在线段BC的垂直平分线上 …………(1分)‎ ‎(2)延长BA、CD相交于点S(见图②), …………(1分)‎ ‎∵AD∥BC且BC=12 ∴AD=BC ‎∴‎ ‎∴SD=DC=10,SA=AB=8‎ ‎∵DP=x,BQ=y, SP=x+10‎ 由△SPQ~△SAD得 ………(1分)‎ ‎∴ …………(1分)‎ ‎∴所求解析式为, …………(1分)‎ 定义域是0≤x≤ …………(1分)‎ ‎(说明:若用勾股定理列出:亦可,方法多样.) ‎ ‎(3)由图形分析,有三种情况:‎ ‎(ⅰ)当点P在线段DC上,且点Q在线段AB上时,只有可能两圆外切,‎ 由BQ+CP=BC,,解得 ‎ ‎(ⅱ)当点P在线段DC上,且点Q在线段AB的延长线上时,两圆不可能相切,‎ ‎ …………(2分)‎ ‎(ⅲ)当点P在线段DC的延长线上,且点Q在线段AB的延长线上时,‎ 此时, CP = x-10 …………(1分)‎ 若两圆外切,BQ+CP=BC,即,解得…………(1分)‎ 若两圆内切,,即 ‎ 解得 ‎ 解得(不合题意舍去)‎ ‎ …………(1分)‎ 综上所述,⊙B与⊙C相切时,线段DP的长为,或22 . ‎
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