【数学】2020届一轮复习（文）通用版 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件 作业
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
A 组 基础题组
1.命题“若函数 f(x)=ex-mx 在[0,+∞)上是减函数,则 m>1”的否命题是( )
A.若函数 f(x)=ex-mx 在[0,+∞)上不是减函数,则 m≤1
B.若函数 f(x)=ex-mx 在[0,+∞)上是减函数,则 m≤1
C.若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在[0,+∞)上是减函数
D.若 m≤1,则函数 f(x)=ex-mx 在[0,+∞)上不是减函数
答案 A “若 p,则 q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定,故选 A.
2.“若 x,y∈R,x2+y2=0,则 x,y 全为 0”的逆否命题是( )
A.若 x,y∈R,x,y 全不为 0,则 x2+y2≠0
B.若 x,y∈R,x,y 全不为 0,则 x2+y2=0
C.若 x,y∈R,x,y 不全为 0,则 x2+y2≠0
D.若 x,y∈R,x,y 全为 0,则 x2+y2≠0
答案 C 依题意得,原命题的条件为若 x2+y2=0,结论为 x,y 全为 0.其逆否命题是若 x,y 不全为 0,
则 x2+y2≠0,故选 C.
3.有下列几个命题:
①“若 a>b,则1
푎>1
푏”的否命题;
②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题;
③“若 x2<4,则-2
0”是“logam>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B (m-1)(a-1)>0 等价于{푚 > 1,
푎 > 1 或{푚 < 1,
푎 < 1, 而 logam>0 等价于{푚 > 1
푎 > 1 或{0 < 푚 < 1,
0 < 푎 < 1, 所以具
有必要性,但不具有充分性,比如 m=0,a=0 时,不能得出 logam>0.
6.如果 x,y 是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C 设集合 A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则 A 的补集 C={(x,y)|x=y},B 的补
集 D={(x,y)|cos x=cos y},显然 C⫋D,所以 B⫋A,于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充
分条件.
7.(2018 西安八校联考)在△ABC 中,“퐴퐵·퐵퐶>0”是“△ABC 是钝角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 由퐴퐵·퐵퐶>0,得퐵퐴·퐵퐶<0,所以∠B>90°,则△ABC 是钝角三角形;当△ABC 为钝角三
角形时,∠B 不一定是钝角.所以“퐴퐵·퐵퐶>0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件,故
选 A.
8.(2018 北京,6,5 分)设 a,b 均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断.
|a-3b|=|3a+b|⇔|a-3b|2=|3a+b|2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔2a2+3a·b-2b2=0,又∵
|a|=|b|=1,∴a·b=0⇔a⊥b,故选 C.
9.“a=0”是“函数 f(x)=sin x-1
푥+a 为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当 a=0 时,f(x)=sin x-1
푥,f(-x)=sin(-x)- 1
-푥
=-sin x+1
푥=-(sin푥 - 1
푥)=-f(x),故 f(x)为奇函数;
反之,当 f(x)=sin x-1
푥+a 为奇函数时, f(-x)+f(x)=0,
又 f(-x)+f(x)=sin(-x)- 1
-푥+a+sin x-1
푥+a=2a,所以 a=0,
所以“a=0”是“函数 f(x)=sin x-1
푥+a 为奇函数”的充要条件,故选 C.
10.(2019 江西南昌模拟)“a2+b2=1”是“asin θ+bcos θ≤1 恒成立”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 因为 asin θ+bcos θ= 푎2 + 푏2sin(θ+φ)≤ 푎2 + 푏2,所以由 a2+b2=1 可推得 asin
θ+bcos θ≤1 恒成立.反之,取 a=2,b=0,θ=30°,满足 asin θ+bcos θ≤1,但不满足 a2+b2=1,
即由 asin θ+bcos θ≤1 推不出 a2+b2=1,故“a2+b2=1”是“asin θ+bcos θ≤1 恒成立”的充
分不必要条件.故选 A.
B 组 提升题组
1.(2019 抚州七校联考)A,B,C 三个学生参加了一次考试,A,B 的得分均为 70 分,C 的得分为 65 分.
已知命题 p:若及格分低于 70 分,则 A,B,C 都没有及格.则下列四个命题中为 p 的逆否命题的是
( )
A.若及格分不低于 70 分,则 A,B,C 都及格
B.若 A,B,C 都不及格,则及格分不低于 70 分
C.若 A,B,C 至少有一人及格,则及格分不低于 70 分
D.若 A,B,C 至少有一人及格,则及格分高于 70 分
答案 C
2.设集合 A={x|x>-1},B={x|x≥1},则“x∈A 且 x∉B”成立的充要条件是( )
A.-1-1 D.-12
答案 B 若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线 kx-y-3=0 的距离 d= | - 3|
푘2 + 1≤1,即 푘2 + 1≥3,
∴k2+1≥9,即 k2≥8,∴k≥2 2或 k≤-2 2,∴由选项知圆 x2+y2=1 与直线 y=kx-3 有公共点的充分
不必要的条件是 k≤-2 2,故选 B.
4.“若 a≤b,则 ac2≤bc2”,则原命题及其逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数
是 .
答案 2
解析 原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.
5.若命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是 .
答案 [-3,0]
解析 由题意知 ax2-2ax-3≤0 恒成立,当 a=0 时,-3≤0 成立;当 a≠0 时,有{푎 < 0,
훥 = 4푎2 + 12a ≤ 0,
解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.
6.已知命题 p:a≤x≤a+1,命题 q:x2-4x<0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围
是 .
答案 (0,3)
解析 令 M={x|a≤x≤a+1},
N={x|x2-4x<0}={x|0 0,
푎 + 1 < 4,解得 0
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