【数学】2019届一轮复习北师大版数列中的最值问题学案

【数学】2019届一轮复习北师大版数列中的最值问题学案

‎ 数列中的最值问题在高考中出现的频率较高，注意考查 等差数列前n项和的最值问题和数列与函数、不等式的结合。等差数列前n项和的最值问题是高考考查的热点之一，考查形式为选择或填空小题，也可以是解答题的一个小题，是中档题；数列与函数、不等式的结合，是高考考查的重点和热点，重点考查利用数列的相关知识和函数、不等式知识求数列的最值或已知不等式成立求参数取值范围或是证明不等式，为解答题的一个小题，难度为中档偏上试题.‎ ‎1 等差数列中的最值问题 ‎ 求等差数列前n项和的最值问题的方法 ‎ ‎ （1）二次函数法 将看成关于n的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合思想，使问题得到解决，注意项数n是正整数这一条件. ‎ ‎ （2）通项公式法 若是等差数列，求前项和的最值时，‎ ‎ ①若，，且满足，则前项和最大;‎ ‎ ②若，，且满足，则前项和最小.‎ ‎ （3）不等式法 借助取最大值时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应的值（即为的最值）.‎ 例1【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】在等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（ ）‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B 例2已知数列是等差数列，，则前项和 中最大的是（ ）‎ ‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】由已知，，由 ‎ 得，所以，，，所以是中的最大值．故选B．‎ ‎2.数列与函数、不等式的结合中的最值问题 ‎ (1)求数列的前n项和的最值，主要是两种思路 ①研究数列的项的情况，判断的最值；②直接研究的通项公式，即利用类型2的思路求的最值.‎ ‎ (2) 求数列的最值，主要有两种方法 ①从函数角度考虑，利用函数的性质，求数列的最值；②利用数列离散的特点，考察或，然后判断数列的最值情况.‎ ‎ (3)对数列不等式恒成立问题，主要有两种方法 ①通过参变分离法转化为数列的最值问题求解；②通过分类讨论，解决恒成立.学 ‎ 例3 设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）[ 学 ]‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D 例4【2018届天津市耀华中学高三上第三次月考】已知单调递增的等比数列满足，且是与的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若， ，‎ ‎①求；‎ ‎②求使成立的最小正整数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）①②5.‎ 设，‎ 则，‎ 得 ，‎ ‎∴，‎ ‎②要使成立，‎ 即，即，‎ ‎∵， ，且是单调递增函数，‎ ‎∴满足条件的的最小值为5.学！ ‎ 例5【2018届贵州省遵义市高三上学期第二次联考】已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若时， ，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设数列的通项，证明 .‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎∵，‎ ‎∴，且 ‎①若，则当时， ， 单调递增，‎ ‎∴．不合题意．‎ ‎②若，则当时， ， 单调递增，‎ 所以当时， ．不合题意．‎ ‎③若，则当时， ， 单调递减， ‎ 所以当时， ．符合题意．‎ ‎……‎ ‎．‎ 以上各式两边分别相加可得 ‎ ‎ ‎，‎ 即 ‎ ‎，‎ 所以．‎ 例6在数列中，已知，．‎ ‎（1）求证 数列为等比数列；‎ ‎（2）记，且数列的前项和为,若为数列中的最小项，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2） 学 ！ ‎ ‎【解析】（‎ 当时，恒成立,‎ 对恒成立. ‎ 令，则对恒成立,‎ 在时为单调递增数列.‎ ‎，即. ‎ 综上，.‎ ‎【反思提升】数列的综合问题涉及到的数学思想 函数与方程思想(如 求最值或基本量)、转化与化归思想(如 求和或应用)、特殊到一般思想(如 求通项公式)、分类讨论思想(如 等比数列求和， 或 )等.已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个 （1）将和转化为项,即利用将和转化为项.（2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式．‎