2013年泰州市中考数学试卷及答案(解析版)

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2013年泰州市中考数学试卷及答案(解析版)

江苏省泰州市2013年中考数学试卷 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分,在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上)‎ ‎1.(3分)(2013•泰州)﹣4的绝对值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4‎ B.‎ C.‎ ‎﹣4‎ D.‎ ‎±4‎ 考点:‎ 绝对值.‎ 分析:‎ 根据绝对值的概念:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案.‎ 解答:‎ 解:﹣4的绝对值是4,‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 此题主要考查了绝对值,关键是掌握绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2013•泰州)下列计算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4‎ B.‎ C.‎ ‎2=‎ D.‎ ‎3‎ 考点:‎ 二次根式的加减法;二次根式的性质与化简.‎ 分析:‎ 根据二次根式的化简及同类二次根式的合并,分别进行各选项的判断即可.‎ 解答:‎ 解:A、4﹣3=,原式计算错误,故本选项错误;‎ B、与不是同类二次根式,不能直接合并,故本选项错误;‎ C、2=,计算正确,故本选项正确;‎ D、3+2≠5,原式计算错误,故本选项错误;‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了二次根式的加减,解答本题的关键掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2013•泰州)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的方程是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ x2﹣3x+1=0‎ B.‎ x2+1=0‎ C.‎ x2﹣2x+1=0‎ D.‎ x2+2x+3=0‎ 考点:‎ 根的判别式.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 计算出各项中方程根的判别式的值,找出大于0的选项即可.‎ 解答:‎ 解:A、这里a=1,b=﹣3,c=1,‎ ‎∵△=b2﹣4ac=5>0,‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根,‎ 本选项符合题意;‎ B、这里a=1,b=0,c=1,‎ ‎∵△=b2﹣4ac=﹣4<0,‎ ‎∴方程没有实数根,‎ 本选项不合题意;‎ C、这里a=1,b=﹣2,c=1,‎ ‎∵△=b2﹣4ac=0,‎ ‎∴方程有两个相等的实数根,‎ 本选项不合题意;‎ D、这里a=1,b=2,c=3,‎ ‎∵△=b2﹣4ac=﹣5<0,‎ ‎∴方程没有实数根,‎ 本选项不合题意;‎ 故选A 点评:‎ 此题考查了一元二次方程根的判别式,根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于0,方程没有实数根.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2013•泰州)下列标志图中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 中心对称图形;轴对称图形.‎ 分析:‎ 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.‎ 解答:‎ 解:A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误;‎ B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;‎ C、此图形旋转180°后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;‎ D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项错误.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2013•泰州)由一个圆柱体与一个长方体组成的几何体如图所示,这个几何体的左视图是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 简单组合体的三视图.‎ 分析:‎ 找到从左面看所得到的图形即可.‎ 解答:‎ 解:从左面可看到一个长方形和上面的中间有一个小长方形.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2013•泰州)事件A:打开电视,它正在播广告;事件B:抛掷一个均匀的骰子,朝上的点数小于7;事件C:在标准大气压下,温度低于0℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P(A)、P(B)、P(C),则P(A)、P(B)、P(C)的大小关系正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ P(C)<P(A)=P(B)‎ B.‎ P(C)<P(A)<P(B)‎ C.‎ P(C)<P(B)<P(A)‎ D.‎ P(A)<P(B)<P(C)‎ 考点:‎ 概率的意义;随机事件.‎ 分析:‎ 根据随机事件,必然事件,不可能事件分别求出P(A)、P(B)、P(C),然后排序即可得解.‎ 解答:‎ 解:事件A:打开电视,它正在播广告是随机事件,0<P(A)<1;‎ 事件B:抛掷一个均匀的骰子,朝上的点数小于7是必然事件,P(B)=1;‎ 事件C:在标准大气压下,温度低于0℃时冰融化是不可能事件,P(C)=0,‎ 所以,P(C)<P(A)<P(B).‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了概率的意义,必然发生的事件就是一定发生的事件,因而概率是1.不可能发生的事件就是一定不会发生的事件,因而概率为0.不确定事件就是随机事件,即可能发生也可能不发生的事件,发生的概率>0并且<1.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。)‎ ‎7.(3分)(2013•泰州)9的平方根是 ±3 .‎ 考点:‎ 平方根.‎ 分析:‎ 直接利用平方根的定义计算即可.‎ 解答:‎ 解:∵±3的平方是9,‎ ‎∴9的平方根是±3.‎ 点评:‎ 此题主要考查了平方根的定义,要注意:一个非负数的平方根有两个,互为相反数,正值为算术平方根.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2013•泰州)计算:3a•2a2= 6a3 .‎ 考点:‎ 单项式乘单项式.‎ 分析:‎ 根据单项式与单项式相乘,把他们的系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式,计算即可.‎ 解答:‎ 解:3a•2a2=3×2a•a2=6a3.‎ 故答案为:6a3.‎ 点评:‎ 本题考查了单项式与单项式相乘,熟练掌握运算法则是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2013•泰州)2013年第一季度,泰州市共完成工业投资22300000000元,22300000000这个数可用科学记数法表示为 2.23×1010 .‎ 考点:‎ 科学记数法—表示较大的数.‎ 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ 解答:‎ 解:22 300 000 000=2.23×1010.‎ 故答案为:2.23×1010.‎ 点评:‎ 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2013•泰州)命题“相等的角是对顶角”是 假 命题(填“真”或“假”).‎ 考点:‎ 命题与定理.‎ 分析:‎ 对顶角相等,但相等的角不一定是对顶角,从而可得出答案.‎ 解答:‎ 解:对顶角相等,但相等的角不一定是对顶角,‎ 从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题.‎ 故答案为:假.‎ 点评:‎ 此题考查了命题与定理的知识,属于基础题,在判断的时候要仔细思考.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2013•泰州)若m=2n+1,则m2﹣4mn+4n2的值是 1 .‎ 考点:‎ 完全平方公式.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 所求式子利用完全平方公式变形,将已知等式变形后代入计算即可求出值.‎ 解答:‎ 解:∵m=2n+1,即m﹣2n=1,‎ ‎∴原式=(m﹣2n)2=1.‎ 故答案为:1‎ 点评:‎ 此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2013•泰州)某校九年级(1)班40名同学中,14岁的有1人,15岁的有21人,16岁的有16人,17岁的有2人,则这个班同学年龄的中位数是 15 岁.‎ 考点:‎ 中位数.‎ 分析:‎ 根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数,即可得出答案.‎ 解答:‎ 解:∵该班有40名同学,‎ ‎∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数,‎ ‎∵15岁的有21人,‎ ‎∴这个班同学年龄的中位数是15岁;‎ 故答案为:15.‎ 点评:‎ 此题考查了中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),熟练掌握中位数的定义是本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2013•泰州)对角线互相 垂直 的平行四边形是菱形.‎ 考点:‎ 菱形的判定.‎ 分析:‎ 菱形的判定定理有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形,②对角线互相垂直的平行四边形是菱形,③四条边都相等的四边形是菱形,根据以上内容填上即可.‎ 解答:‎ 解:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,‎ 故答案为:垂直.‎ 点评:‎ 本题考查了对菱形的判定的应用,注意:菱形的判定定理有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形,②对角线互相垂直的平行四边形是菱形,③四条边都相等的四边形是菱形.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2013•泰州)如图,△ABC中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分线l与AC相交于点D,则△ABD的周长为 6 cm.‎ 考点:‎ 线段垂直平分线的性质.‎ 专题:‎ 数形结合.‎ 分析:‎ 根据中垂线的性质,可得DC=DB,继而可确定△ABD的周长.‎ 解答:‎ 解:∵l垂直平分BC,‎ ‎∴DB=DC,‎ ‎∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm.‎ 故答案为:6.‎ 点评:‎ 本题考查了线段垂直平分线的性质,注意掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2013•泰州)如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,﹣3),△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形,且O′的坐标为(﹣1,0),则点B′的坐标为 (,﹣4) .‎ 考点:‎ 位似变换;坐标与图形性质.‎ 分析:‎ 根据位似图形的性质画出图形,利用对应边之间的关系得出B′点坐标即可.‎ 解答:‎ 解:过点B作BE⊥x轴于点E,B′作B′F⊥x轴于点F,‎ ‎∵点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,﹣3),△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形,且O′的坐标为(﹣1,0),‎ ‎∴==,AE=1,EO=2,BE=3,‎ ‎∴==,‎ ‎∴=,‎ 解得:AF=,‎ ‎∴EF=,‎ ‎∴FO=2﹣=,‎ ‎∵=,‎ 解得:B′F=4,‎ 则点B′的坐标为:(,﹣4).‎ 故答案为:(,﹣4).‎ 点评:‎ 此题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质,根据已知得出对应边之间的关系是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2013•泰州)如图,⊙O的半径为4cm,直线l与⊙O相交于A、B两点,AB=4cm,P为直线l上一动点,以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点.设PO=dcm,则d的范围是 d>5cm或2cm≤d<3cm .‎ 考点:‎ 圆与圆的位置关系.‎ 分析:‎ 根据两圆内切和外切时,求出两圆圆心距,进而得出d的取值范围.‎ 解答:‎ 解:连接OP,‎ ‎∵⊙O的半径为4cm,1cm为半径的⊙P,⊙P与⊙O没有公共点,‎ ‎∴d>5cm时,两圆外离,‎ 当两圆内切时,过点O作OD⊥AB于点D,‎ O′P=4﹣1=3cm,OD==2(cm),‎ ‎∴以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时,2cm≤d<3cm,‎ 故答案为:d>5cm或2cm≤d<3cm.‎ 点评:‎ 此题主要考查了圆与圆的位置关系,根据图形进行分类讨论得出是解题关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共10小题,满分102分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(12分)(2013•泰州)(1)计算:()﹣1+|3tan30°﹣1|﹣(π﹣3)0;‎ ‎(2)先化简,再求值:,其中x=﹣3.‎ 考点:‎ 分式的化简求值;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)根据负指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂的定义解答即可;‎ ‎(2)将括号内的部分通分,再将除法转化为乘法,然后代入求值.‎ 解答:‎ 解:(1)原式=+|3×﹣1|﹣1‎ ‎=2+|﹣1|﹣1‎ ‎=1+﹣1‎ ‎=;‎ ‎(2)原式=÷()‎ ‎=÷‎ ‎=•‎ ‎=.‎ 当x=﹣3时,‎ 原式===.‎ 点评:‎ ‎(1)本题考查了实数的运算,涉及负指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂的定义,是一道简单的杂烩题;‎ ‎(2)本题考查了分式的化简求值,熟悉通分、约分和分式的加减是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(8分)(2013•泰州)解方程:.‎ 考点:‎ 解分式方程.‎ 分析:‎ 观察可得最简公分母是2(x﹣2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.‎ 解答:‎ 解:原方程即:﹣=,‎ 方程两边同时乘以x(x﹣2)得:2(x+1)(x﹣2)﹣x(x+2)=x2﹣2,‎ 化简得:﹣4x=2,‎ 解得:x=﹣,‎ 把x=﹣代入x(x﹣2)=≠0,‎ 故方程的解是:x=﹣.‎ 点评:‎ 本题考查了分式方程的解法:(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.(2)解分式方程一定注意要验根.‎ ‎ ‎ ‎19.(8分)(2013•泰州)保障房建设是民心工程,某市从2008年开始加快保障房建设进程,现统计了该市2008年到2012年5月新建保障房情况,绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图.‎ ‎(1)小丽看了统计图后说:“该市2011年新建保障房的套数比2010年少了.”你认为小丽说法正确吗?请说明理由;‎ ‎(2)求补全条形统计图;‎ ‎(3)求这5年平均每年新建保障房的套数.‎ 考点:‎ 折线统计图;条形统计图;算术平均数.‎ 分析:‎ ‎(1)根据2011年新建保障房的增长率比2010年的增长率减少,并不是建设住房减少,即可得出答案;‎ ‎(2)根据住房建设增长率求出2008年和2011年建设住房的套数,即可得出答案;‎ ‎(3)根据(2)中所求求出平均数即可.‎ 解答:‎ 解:(1)该市2011年新建保障房的增长率比2010年的增长率减少了,‎ 但是保障房的总数在增加,故小丽的说法错误;‎ ‎(2)2011年保障房的套数为:750×(1+20%)=900(套),‎ ‎2008年保障房的套数为:x(1+20%)=600,则x=500,‎ 如图所示:‎ ‎(3)这5年平均每年新建保障房的套数为:(500+600+750+900+1170)÷5=784(套),‎ 答:这5年平均每年新建保障房的套数为784套.‎ 点评:‎ 此题主要考查了条形图与折线图的综合应用,正确由两图得出正确信息是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2013•泰州)从甲、乙、丙、丁4名选手中随机抽取两名选手参加乒乓球比赛,请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果,并求甲、乙两名选手恰好被抽到的概率.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法.‎ 分析:‎ 首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两名选手恰好被抽到的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:画树状图得:‎ ‎∵共有12种等可能的结果,甲、乙两名选手恰好被抽到的有2种情况,‎ ‎∴甲、乙两名选手恰好被抽到的概率为:=.‎ 点评:‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎21.(10分)(2013•泰州)某地为了打造风光带,将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成,共用时20天,已知甲工程队每天整治24m,乙工程队每天整治16m.求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.‎ 考点:‎ 一元一次方程的应用.‎ 分析:‎ 设甲队整治了x天,则乙队整治了(20﹣x)天,由两队一共整治了360m为等量关系建立方程求出其解即可.‎ 解答:‎ 解:设甲队整治了x天,则乙队整治了(20﹣x)天,由题意,得 ‎24x+16(20﹣x)=360,‎ 解得:x=5,‎ ‎∴乙队整治了20﹣5=15天,‎ ‎∴甲队整治的河道长为:24×5=120m;‎ 乙队整治的河道长为:16×15=240m.‎ 答:甲、乙两个工程队分别整治了120m,240m.‎ 点评:‎ 本题是一道工程问题,考查了列一元一次方程解实际问题的运用,设间接未知数解应用题的运用,解答时设间接未知数是解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)(2013•泰州)如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.75)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ 专题:‎ 应用题.‎ 分析:‎ 根据楼高和山高可求出EF,继而得出AF,在Rt△AFC中表示出CF,在Rt△ABD中表示出BD,根据CF=BD可建立方程,解出即可.‎ 解答:‎ 解:如图,过点C作CF⊥AB于点F.‎ 设塔高AE=x,‎ 由题意得,EF=BE﹣CD=56﹣27=29m,AF=AE+EF=(x+29),‎ 在Rt△AFC中,∠ACF=36°52′,AF=(x+29),‎ 则CF===x+,‎ 在Rt△ABD中,∠ADB=45°,AB=x+56,‎ 则BD=AB=x+56,‎ ‎∵CF=BD,‎ ‎∴x+56=x+,‎ 解得:x=52,‎ 答:该铁塔的高AE为52米.‎ 点评:‎ 本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,注意利用方程思想求解,难度一般.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)(2013•泰州)如图,AB为⊙O的直径,AC、DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,∠APD=30°.‎ ‎(1)求证:DP是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.‎ 考点:‎ 切线的判定;扇形面积的计算.‎ 分析:‎ ‎(1)连接OD,求出∠AOD,求出∠DOB,求出∠ODP,根据切线判定推出即可;‎ ‎(2)求出OP、DP长,分别求出△DOB和三角形ODP面积,即可求出答案.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:连接OD,‎ ‎∵∠ACD=60°,‎ ‎∴由圆周角定理得:∠AOD=2∠ACD=120°,‎ ‎∴∠DOP=180°﹣120°=60°,‎ ‎∵∠APD=30°,‎ ‎∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°,‎ ‎∴OD⊥DP,‎ ‎∵OD为半径,‎ ‎∴DP是⊙O切线;‎ ‎(2)解:∵∠P=30°,∠ODP=90°,OD=3cm,‎ ‎∴OP=6cm,由勾股定理得:DP=3cm,‎ ‎∴图中阴影部分的面积S=S△ODP﹣S扇形DOB=×3×3﹣=(﹣π)cm2‎ 点评:‎ 本题考查了扇形面积,三角形面积,切线的判定,圆周角定理等知识点的应用,主要考查学生的推理和计算能力.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)(2013•泰州) 如图,在平面直角坐标系中直线y=x﹣2与y轴相交于点A,与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B(m,2).‎ ‎(1)求反比例函数的关系式;‎ ‎(2)将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C,且△ABC的面积为18,求平移后的直线的函数关系式.‎ 考点:‎ 反比例函数与一次函数的交点问题.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)设反比例解析式为y=,将B坐标代入直线y=x﹣2中求出m的值,确定出B坐标,将B坐标代入反比例解析式中求出k的值,即可确定出反比例解析式;‎ ‎(2)过C作CD垂直于y轴,过B作BE垂直于y轴,设y=x﹣2平移后解析式为y=x+b,C坐标为(a,a+b),三角形ABC面积=梯形BEDC面积+三角形ABE面积﹣三角形ACD面积,由已知三角形ABC面积列出关系式,将C坐标代入反比例解析式中列出关系式,两关系式联立求出b的值,即可确定出平移后直线的解析式.‎ 解答:‎ 解:(1)将B坐标代入直线y=x﹣2中得:m﹣2=2,‎ 解得:m=4,‎ 则B(4,2),即BE=4,OE=2,‎ 设反比例解析式为y=,‎ 将B(4,2)代入反比例解析式得:k=8,‎ 则反比例解析式为y=;‎ ‎(2)设平移后直线解析式为y=x+b,C(a,a+b),‎ 对于直线y=x﹣2,令x=0求出y=﹣2,得到OA=2,‎ 过C作CD⊥y轴,过B作BE⊥y轴,‎ 将C坐标代入反比例解析式得:a(a+b)=8,‎ ‎∵S△ABC=S梯形BCDE+S△ABE﹣S△ACD=18,‎ ‎∴×(a+4)×(a+b﹣2)+×(2+2)×4﹣×a×(a+b+2)=18,‎ 解得:b=7,‎ 则平移后直线解析式为y=x+7.‎ 点评:‎ 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:一次函数与坐标轴的交点,待定系数法求函数解析式,三角形、梯形的面积求法,以及坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎25.(12分)(2013•泰州)如图,在矩形ABCD中,点P在边CD上,且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,M为PQ中点.‎ ‎(1)求证:△ADP∽△ABQ;‎ ‎(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动,设DP=x,BM2=y,求y与x的函数关系式,并求线段BM的最小值;‎ ‎(3)若AD=10,AB=a,DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化.当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围.‎ 考点:‎ 相似形综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)由对应两角相等,证明两个三角形相似;‎ ‎(2)如解答图所示,过点M作MN⊥QC于点N,由此构造直角三角形BMN,利用勾股定理求出y与x的函数关系式,这是一个二次函数,求出其最小值;‎ ‎(3)如解答图所示,当点M落在矩形ABCD外部时,须满足的条件是“BE>MN”.分别求出BE与MN的表达式,列不等式求解,即可求出a的取值范围.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:∵∠QAP=∠BAD=90°,‎ ‎∴∠QAB=∠PAD,‎ 又∵∠ABQ=∠ADP=90°,‎ ‎∴△ADP∽△ABQ.‎ ‎(2)解:∵△ADP∽△ABQ,‎ ‎∴,即,解得QB=2x.‎ ‎∵DP=x,CD=AB=20,∴PC=CD﹣DP=20﹣x.‎ 如解答图所示,过点M作MN⊥QC于点N,‎ ‎∵MN⊥QC,CD⊥QC,点M为PQ中点,∴点N为QC中点,MN为中位线,‎ ‎∴MN=PC=(20﹣x)=10﹣x,‎ BN=QC﹣BC=(BC+QB)﹣BC=(10+2x)﹣10=x﹣5.‎ 在Rt△BMN中,由勾股定理得:BM2=MN2+BN2=(10﹣x)2+(x﹣5)2=x2﹣20x+125,‎ ‎∴y=x2﹣20x+125(0≤x≤20).‎ ‎∵y=x2﹣20x+125=(x﹣4)2+45,‎ ‎∴当x=4即DP=4时,y取得最小值为45,BM的最小值为=.‎ ‎(3)解:设PQ与AB交于点E.‎ 如解答图所示,点M落在矩形ABCD外部,须满足的条件是BE>MN.‎ ‎∵△ADP∽△ABQ,‎ ‎∴,即,解得QB=a.‎ ‎∵AB∥CD,∴△QBE∽△QCP,‎ ‎∴,即,解得BE=.‎ ‎∵MN为中位线,∴MN=PC=(a﹣8).‎ ‎∵BE>MN,∴>(a﹣8),解得a>12.5.‎ ‎∴当点M落在矩形ABCD外部时,a的取值范围为:a>12.5.‎ 点评:‎ 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解一元一次不等式等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.解题关键是:第(2)问中,由BM2=y,容易联想到直角三角形与勾股定理;由最值容易联想到二次函数;第(3)问中需要明确“点M落在矩形ABCD外部”所要满足的条件.‎ ‎ ‎ ‎26.(14分)(2013•泰州)已知:关于x的二次函数y=﹣x2+ax(a>0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.‎ ‎(1)y1=y2,请说明a必为奇数;‎ ‎(2)设a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;‎ ‎(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由.‎ 考点:‎ 二次函数综合题.‎ 专题:‎ 综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式,利用y1=y2得到用n表示a的式子,即可得到答案;‎ ‎(2)将a=11代入解析式后,由题意列出不等式组,求得此不等式组的正整数解;‎ ‎(3)本问为存在型问题.如解答图所示,可以由三角形全等及等腰三角形的性质,判定点B为抛物线的顶点,点A、C关于对称轴对称.于是得到n+1=,从而可以求出n=﹣1.‎ 解答:‎ 解:(1)∵点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在二次函数y=﹣x2+ax(a>0)的图象上,‎ ‎∴y1=﹣n2+an,y2=﹣(n+1)2+a(n+1)‎ ‎∵y1=y2,‎ ‎∴﹣n2+an=﹣(n+1)2+a(n+1)‎ 整理得:a=2n+1‎ ‎∴a必为奇数;‎ ‎(2)当a=11时,∵y1≤y2≤y3‎ ‎∴﹣n2+11n≤﹣(n+1)2+11(n+1)≤﹣(n+2)2+11(n+2)‎ 化简得:0≤10﹣2n≤18﹣4n,‎ 解得:n≤4,‎ ‎∵n为正整数,‎ ‎∴n=1、2、3、4.‎ ‎(3)假设存在,则AB=AC,如右图所示.‎ 过点B作BN⊥x轴于点N,过点A作AD⊥BN于点D,CE⊥BN于点E.‎ ‎∵xA=n,xB=n+1,xC=n+2,‎ ‎∴AD=CE=1.‎ 在Rt△ABD与Rt△CBE中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△CBE(HL).‎ ‎∴∠BAD=∠CBE,即BN为顶角的平分线.‎ 由等腰三角形性质可知,点A、C关于BN对称,‎ ‎∴BN为抛物线的对称轴,点B为抛物线的顶点,‎ ‎∴n+1=,‎ ‎∴n=﹣1.‎ ‎∴存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形,n=﹣1.‎ 点评:‎ 本题考查了二次函数的综合知识,涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点,有一定的难度,是一道好题.‎
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