【数学】2019届一轮复习北师大版离散型随机变量及其分布列学案

【数学】2019届一轮复习北师大版离散型随机变量及其分布列学案

12.4 离散型随机变量及其分布列 最新考纲 考情考向分析 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分 布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象 的重要性，会求某些取有限个值的离散型随 机变量的分布列． 2.了解超几何分布，并能进行简单的应用. 以理解离散型随机变量及其分布列的概念为 主，经常以频率分布直方图为载体，结合频 率与概率，考查离散型随机变量、离散型随 机变量分布列的求法．在高考中以解答题的 形式进行考查，难度多为中低档. 1．离散型随机变量的分布列 (1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机 变量． (2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机 变量． (3)设离散型随机变量 X 的取值为 a1，a2，…随机变量 X 取 ai 的概率为 pi(i＝1,2，…)，记作： P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)， 或把上式列表： X＝ai a1 a2 … P(X＝ai) p1 p2 … 称为离散型随机变量 X 的分布列． (4)性质： ①pi>0，i＝1,2，…； ②p1＋p2＋…＝1. 2．超几何分布 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M≤N)件次品．从中任取 n (n≤N)件产品，用 X 表示取 出的 n 件产品中次品的件数，那么 P(X＝ )＝CkMCn－kN－M CnN (其中 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ ) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (3)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名，其中女演员的人数 X 服从超几何分布．( √ ) (4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.( × ) (5)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ ) 题组二 教材改编 2．设随机变量 X 的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 1 12 1 6 1 3 1 6 p 则 p 为( ) A.1 6 B.1 3 C.1 4 D. 1 12 答案 C 解析 由分布列的性质知， 1 12 ＋1 6 ＋1 3 ＋1 6 ＋p＝1， ∴p＝1－3 4 ＝1 4. 3．有一批产品共 12 件，其中次品 3 件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品 数 X 的所有可能取值是____________． 答案 0,1,2,3 解析 因为次品共有 3 件，所以在取到合格品之前取到次品数为 0,1,2,3. 4．设随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 3 m 1 4 1 6 则 P(|X－3|＝1)＝________. 答案 5 12 解析 由1 3 ＋m＋1 4 ＋1 6 ＝1，解得 m＝1 4 ， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4) ＝1 4 ＋1 6 ＝ 5 12. 题组三 易错自纠 5．袋中有 3 个白球、5 个黑球，从中任取 2 个，可以作为随机变量的是( ) A．至少取到 1 个白球 B．至多取到 1 个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 答案 C 解析 选项 A，B 表述的都是随机事件；选项 D 是确定的值 2，并不随机；选项 C 是随机变 量，可能取值为 0,1,2. 6．随机变量 X 等可能取值 1,2,3，…，n，如果 P(X<4)＝0.3，则 n＝________. 答案 10 解析 由 P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1 n ＋1 n ＋1 n ＝3 n ＝0.3，得 n＝10. 7．一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回 盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X＝4)的值为______． 答案 27 220 解析 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球， 故 P(X＝4)＝C23C19 C312 ＝ 27 220. 题型一 离散型随机变量的分布列的性质 1．离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X＝n)＝ a nn＋1(n＝1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P 1 28，且 n∈N＋)， 其中女校友 6 位，组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出 2 位校友 代表，若选出的 2 位校友是一男一女，则称为“最佳组合”． (1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于1 2 ，求 n 的最大值； (2)当 n＝12 时，设选出的 2 位校友代表中女校友人数为 X，求随机变量 X 的分布列． 解 (1)由题意可知，所选 2 人为“最佳组合”的概率为 C1n－6C16 C2n ＝12n－6 nn－1 ， 则12n－6 nn－1 ≥1 2. 化简得 n2－25n＋144≤0， 解得 9≤n≤16， 故 n 的最大值为 16. (2)由题意可得，X 的可能取值为 0,1,2. 则 P(X＝0)＝ C26 C212 ＝ 5 22 ， P(X＝1)＝C16C16 C212 ＝ 6 11 ， P(X＝2)＝ C26 C212 ＝ 5 22 ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 5 22 6 11 5 22 15．设ξ为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0； 当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布 列是________． 答案 ξ 0 1 2 P 4 11 6 11 1 11 解析 ξ的可能取值为 0,1， 2. P(ξ＝0)＝8C23 C212 ＝ 4 11 ，P(ξ＝ 2)＝ 6 C212 ＝ 1 11. P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝ 2)＝1－ 4 11 － 1 11 ＝ 6 11. 16．盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球．规定取出 1 个 红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得－1 分．现从盒内任取 3 个球． (1)求取出的 3 个球中至少有 1 个红色球的概率； (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率； (3)设ξ为取出的 3 个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 解 (1)P＝1－C37 C39 ＝ 7 12. (2)记“取出 1 个红色球，2 个白色球”为事件 B，“取出 2 个红色球，1 个黑色球”为事件 C， 则 P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23 C39 ＋C22C14 C39 ＝ 5 42. (3)ξ可能的取值为 0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以 P(ξ＝ )＝Ck3C3－k6 C39 ， ＝0,1,2,3. 故 P(ξ＝0)＝C36 C39 ＝ 5 21 ，P(ξ＝1)＝C13C26 C39 ＝15 28 ， P(ξ＝2)＝C23C16 C39 ＝ 3 14 ，P(ξ＝3)＝C33 C39 ＝ 1 84. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 5 21 15 28 3 14 1 84