高考数学必做60道圆锥曲线问题

高考数学必做60道圆锥曲线问题

1 高考数学必做 61 道圆锥曲线问题 ——圆锥曲线性质大全 一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双 02．距离定比，三线统一 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法 04．焦点切线，射影是圆 05．焦半径圆，切于大圆 06．焦点弦圆，准线定位 07．焦三角形，内心轨迹 三、焦点之弦，相关问题 08．焦点半径，倒和定值 09．正交焦弦，倒和定值 10．焦弦中垂，焦交定长 11．焦弦投影，连线截中 12．焦弦长轴，三点共线 13．对焦连线，互相垂直 14．相交焦弦，轨迹准线 15．相交焦弦，角分垂直 16．定点交弦，轨迹直线 17．焦弦直线，中轴分比 18．对偶焦弦，比和定值 2 四、相交之弦，蝴蝶特征 19．横点交弦，竖之蝴蝶 20．纵点交弦，横之蝴蝶 21．蝴蝶定理，一般情形 五、切点之弦，相关问题 22．主轴分割，等比中项 23．定点割线，倒和两倍 24．定点割线，内外定积 25．主轴交点，切线平行 六、定点之弦，张角问题 26．焦点之弦，张角相等 27．定点之弦，张角仍等 28．对称之点，三点共线 29．焦点切点，张角相等 30．倾角互补，连线定角 七、动弦中点，相关问题 31．动弦中点，斜积定值 32．切线半径，斜积仍定 33．动弦中垂，范围特定 34．定向中点，轨迹直径 35．定点中点，轨迹同型 八、向量内积，定值问题 36．焦弦张角，内积定值 3 37．存在定点，内积仍定 九、其它重要性质 38．光线反射，路径过焦 39．切线中割，切弦平行 40．直周之角，斜过定点 41．正交半径，斜切定圆 42．直径端点，斜积定值 43．垂弦端点，交轨对偶 44．准线动点，斜率等差 45．焦点切线，距离等比 46．共轭点对，距离等积 47．正交中点，连线定点 48．顶点切圆，切线交准 49．平行焦径，交点轨迹 50．内接内圆，切线永保 51．切线正交，顶点轨迹 52．斜率定值，弦过定点 53．直线动点，切弦定点 54．与圆四交，叉连互补 55．交弦积比，平行方等 56．补弦外圆，切于同点 57、焦点切长，张角相等 58．斜率积定，连线过定 4 59．切点连线，恒过定点 60.焦点准线，斜率等差 1 61.焦点准线，斜率等差 2 5 1．距离和差，轨迹椭双 问题探究 1 已知动点Q 在圆 A： 22( ) 4xy   上运动，定点 ( ,0)B  ，则 （1）线段QB 的垂直平分线与直线QA的交点 P 的轨迹是什么？ （2）若 BM tMQ ，直线l 过点 M 与直线QA的交于点 P ，且 0BM MP，则点Q 的 实验成果 动态课件 定圆上一动点与圆内一定点 的垂直平分线与其半径的交 点的轨迹是椭圆 。 定圆上一动点与圆外一定点 的垂直平分线与其半径所在 直线的交点的轨迹是双曲线 。 定直线（无穷大定圆）上一动 点与圆外一定点的垂直平分 线与其半径所在直线的交点 的轨迹是抛物线 。 6 轨迹又是什么？ 2．距离定比，三线统一 问题探究 2 已知定点 ( 1,0)A  ，定直线 1l ： 3x  ，动点 N 在直线 上，过点 N 且与 垂直的直 实验成果 动态课件 动点到一定点与到一定直线 的距离之比为小于 1 的常数， 则动点的轨迹是椭圆━━━ 。 动点到一定点与到一定直线 的距离之比为大于 1 的常数， 则动点的轨迹是双曲线 。 动点到一定点与到一定直线 的距离之比为等于 1 的常数， 则动点的轨迹是抛物线 。 7 线 2l 上有一动点 P，满足 PA PN  ，请讨论点 P 的轨迹类型。 3．切线焦径，准线作法 问题探究 3 已知两定点 ( 1,0), (1,0)AB ，动点 P 满足条件 8PA PB，另一动点 Q 满足 0, ( ) 0PA PBQB PB QP PA PB    ，求动点 Q 的轨迹方程。 实验成果 动态课件 椭圆上的一点处的切线与该 点的焦半径的过相应焦点的 垂线的交点的轨迹为椭圆相 应之准线 双曲线上的一点处的切线与 该点的焦半径的过相应焦点 的垂线的交点的轨迹为双曲 线相应之准线 抛物线上的一点处的切线与 该点的焦半径的过相应焦点 的垂线的交点的轨迹为抛物 线之准线 。 8 4．焦点切线，射影是圆 问题探究 4 已知两定点 ( 2,0), (2,0)AB ， 动 点 P 满足条件 2PA PB， 动 点 Q 满足 ( ) 0PA PBQB PA PB ， ( ) 0PA PBQP PA PB    ，求动点 Q 的轨迹方程。 实验成果 动态课件 焦点在椭圆切线上的射影 轨迹是以长轴为直径的圆 。 焦点在双曲线切线上的射 影轨迹是以实轴为直径的 圆 。 焦点在抛物线切线上的射 影轨迹是切抛物线于顶点 处的直线（无穷大圆） 。 9 5．焦半径圆，切于大圆 问题探究 5 1．已知动点 P 在椭圆 22 143 xy上，F 为椭圆之焦点， 0PM FM，探究2 OM PF 是否为定值 2．已知点 P 在双曲线 22 143 xy上，F 为双曲线之焦点， ，探究 实验成果 动态课件 以焦半径为直径的圆必与 长轴为直径的圆（此圆（简 称“大圆”）与椭圆内切，） 相切 以焦半径为直径的圆必与 实轴为直径的圆（此圆（此 圆（简称“小圆”）与双曲 线外切）相切 。 以焦半径为直径的圆必与 切于抛物线顶点处的直线 （此圆无穷大（实为顶点处 的切线）与曲线外切）相切 10 2 OM PF 是否为定值 6．焦点弦圆，准线定位 问题探究 6 过抛物线 yx 42  上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P 点， .0PBPA （1）求点 P 的轨迹方程； 实验成果 动态课件 椭圆中以焦点弦为直径的 圆必与准线相离 双曲线中以焦点弦为直径 的圆必与准线相交 。 抛物线中以焦点弦为直径 的圆必与准线相切 。 11 （2）已知点 F（0，1），是否存在实数 使得 0)( 2  FPFBFA  ？若存在， 求出 的值，若不存在，请说明理由. 7．焦三角形，内心轨迹 问题探究 7 1．已知动点 P 在椭圆 22 143 xy上， 12,FF为椭圆之左右焦点，点G 为 12F PF 的内 心，试求点 的轨迹方程。 2．已知动点 P 在双曲线 22 143 xy上， 为双曲线之左右焦点，圆 是 实验成果 动态课件 椭圆焦点三角形的内切圆圆心 轨迹是以原焦点为顶点的椭圆 双曲线焦点三角形的内切圆圆 心轨迹是以过双曲线实顶点的 两条平行且垂直于实轴的开线 段(长为 2b) 抛物线焦点三角形(另一焦点在 无穷远处)的内切圆圆心轨迹是 以原抛物线焦点为顶点的抛物 线 12 的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之。 8．焦点半径，倒和定值 问题探究 8 已知椭圆 22 143 xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 的直线交椭圆于 A，B 两点，是 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径 倒数之和为常数 1 BF1 + 1 AF1 = 2 ep 双曲线的焦点弦的两个焦半 径倒数之和为常数 AB在同支 11 1 1 2||| | | |AF BF ep AB在异支 11 1 1 2||| | | |AF BF ep 。 抛物线的焦点弦的两个焦半 径倒数之和为常数 1 BF + 1 AF = 2 ep 13 否存在实常数 ，使 AB FA FB 恒成立。并由此求 AB 的最小值。（借用柯西不 等式） 9．正交焦弦，倒和定值 问题探究 9 已知椭圆 22 143 xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 的直线 12,ll分别交椭圆于 A，B 两点，和 C，D 两点，且 12ll ，是否存在实常数 ，使 AB CD AB CD 恒成 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之 和为常数 ep e CDAB 2 2 || 1 || 1 2 。 双曲线互相垂直的焦点弦倒数 之和为常数 ep e CDAB 2 |2| || 1 || 1 2 抛物线互相垂直的焦点弦倒数 之和为常数 14 立。并由此求四边形ABCD面积的最小值和最大值。 10．焦弦中垂，焦交定长 问题探究 10 已知椭圆 22 143 xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 的直线交椭圆于 A，B 两点，AB 中垂线交 x 轴于点 D，是否存在实常数 ，使 1AB F D 恒成立。 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦 AB 的中垂 线与长轴的交点为 D，则 FD 与 AB 之比是离心率 的一半。 设双曲线焦点弦 AB 的中 垂线与焦点所在轴的交 点为 D，则 与 之 比是离心率的一半 设抛物线焦点弦 AB 的中 垂线与对称轴的交点为 D，则 与 之比是离 心率的一半 。 15 11．焦弦投影，连线截中 问题探究 11 已知椭圆 22 143 xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 的直线 1l 交椭圆于 A，B 两点， 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的端点在相 应准线上的投影与焦点弦 端点的交叉连线与对称轴 的交点平分焦点与准线和 对称轴的交点线段．。 双曲线的焦点弦的端点在 相应准线上的投影与焦点 弦端点的交叉连线与对称 轴的交点平分焦点与准线 和对称轴的交点线段．。 抛物线的焦点弦的端点在 相应准线上的投影与焦点 弦端点的交叉连线与对称 轴的交点平分焦点与准线 与对称轴的交点线段．。 16 直线 2l 4x  交 x 轴于点 G，点 ,AB在直线 上的射影分别是 ,NM，设直线 ,AM BN 的交点为 D，，是否存在实常数 ，使 1GD DF 恒成立。 12．焦弦长轴，三点共线 问题探究 12 实验成果 动态课 件 椭圆焦点弦端点 A、B 与 长轴顶点 D 连线与相应准 线的交点 N、M，则 N、C、 B 三点共线，M、C、A 三 点共线 双曲线焦点弦端点 A、B 与实轴顶点 D 连线与相应 准线的交点 N、M，则 N、 C、B 三点共线，M、C、 A 三点共线 抛物线焦点弦端点 A、B 与顶点 D（D 在无穷远处） 连线与准线的交点 N、M， 则 N、C、B 三点共线，M、 C、A 三点共线 17 已知椭圆 22 143 xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 的直线 1l 交椭圆于 A，B 两点， ,CD分别为椭圆的左右顶点，动点 P 满足 ,,PA AD PC CB试探究点 的轨迹。 13．对焦连线，互相垂直 问题探究 13 实验成果 动态课件 椭圆左焦点弦端点 A、B 与 右顶点 D 连线 AD，BD 交相 应准线于 点 N 、 M ，则 11NF MF 双曲线左焦点弦端点 A、B 与右顶点 D 连线 AD，BD 交 相应准线于点 N、M，则 抛物线焦点弦端点 A、B 与 顶点 D（无穷远处）连线交 相应准线于点 N、M，则 NF MF 18 已知双曲线 22 131 xy， 1F 为双曲线之左焦点，过点 的直线 1l 交双曲线于 A，B 两点， ,CD分别为双曲线的左右顶点，动点 P 满足 11,,PA AD PC CB动点Q 满 足 22,,QA AC QB BD试探究 1PFQ 是否为定值。 14．相交焦弦，轨迹准线 问题探究 14 实验成果 动态课件 椭圆的任意两焦点弦端点所在直 线交点的轨迹是准线 本性质还可解释圆也有准线（在无 穷远处）， 因为当焦点逐步向中心靠拢时准 线逐步外移 双曲线的任意两焦点弦端点所在 直线交点的轨迹是准线 抛物线的任意两焦点弦端点所在 直线交点的轨迹是准线 19 已知椭圆 22 143 xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 的直线 12,ll分别交椭圆于 A，B 两点，和 C，D 两点，直线 3l 4x  ，直线 AD 交直线 于点 P，试判断点 P、B、C 是否三点共线，并证明之。 15．相交焦弦，角分垂直 问题探究 15 实验成果 动态课件 椭圆的任意两焦点弦 AB，CD 端点所在直线 AD 和 BC 交点 P 必在准线上且交点 P 与焦点 2F 的连线平分角 2BF D 双曲线的任意两焦点弦 AB， CD 端点所在直线 AD 和 BC 交 点 P 必在准线上且交点 P 与焦 点 1F 的连线平分角 1AFC 抛物线的任意两焦点弦 AB， CD 端点所在直线 AC 和 BD 交 点 P 必在准线上且交点 P 与焦 点 F 的连线平分角 AFD 20 已知椭圆 22 143 xy， 1F 为椭圆之左焦点，过点 的直线 12,ll分别交椭圆于 A，B 两点，和 C，D 两点，直线 3l 4x  ，直线 AD 交直线 3l 于点 P，试证明 11PF A PF D   。 16．定点交弦，轨迹直线 问题探究 16 实验成果 动态课件 过椭圆长轴直线上任意一点 N （ 0,t ）的两条弦端点的直线的交 点的轨迹是一定直线 t ax 2  。 过双曲线实轴直线上任意一点 N（ ）的两条弦端点的直线的 交点的轨迹是一定直线 t ax 2  。 过抛物线对称轴上任意一定点 N（ ）的两条弦端点的直线的 交点的轨迹是一定直线 tx  21 已知椭圆 22 184 xy，过点 (2,0)N 的直线 12,ll分别交椭圆于 A，B 两点，和 C，D 两 点，设直线 AD 与直线 CB 交于点 P，试证明点 P 的轨迹为直线 4x  ， 17．焦弦直线，中轴分比 问题探究 17 已知椭圆 ，点 1F 为椭圆之左焦点，过点 的直线 1l 分别交椭圆于 A，B 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦所在直线被曲 线及短轴直线所分比之和为 定值。 双曲线的焦点弦所在直线被 曲线及虚轴直线所分比之和 为定值。 过抛物线的焦点弦所在直线 被曲线及顶点处的切线所分 比之和为定值。 22 两点，设直线 AB 与 y 轴于点 M ， 11,,MA AF MB BF试求 的值。 18．对偶焦弦，比和定值 23 问题探究 18 已 知 方 向 向 量 为 (1, 3)e  的直线l 过点 (0, 2 3)A  和椭圆 22 22:1xyC ab( 0)ab 的焦点， 且椭圆 C 的中心O 和椭圆的右准线上的点 B 满 足： 0,OB e AB AO。⑴求椭圆C 的方程；⑵ 设 E 为椭圆C 上任一点，过焦点 12,FF的弦分别 为 ,ES ET ,设 1 1 1 ,EF F S 2 2 2EF F T ，求 12 的 值。 19．横点交弦，竖之蝴蝶 实验成果 动态课件 过椭圆上任一点 A 作两焦点 的焦点弦 AC 和 AB，其共线 向量模的比之和为定值．即 1 1 1 2 2 2 2 12 2 121 AF m F B AF m F B emm e      为定值 。 过双曲线上任一点 A 作两焦 点的焦点弦 AC 和 AB，其共 线向量模的比之和为定值．即 1 1 1 2 2 2 2 12 2 121 AF m F B AF m F B emm e      为定值 。 （注：图中测算不是向量，故 中间一式用的是差） 由于抛物线的开放性，焦点只 有一个，故准线相应地替换了 焦点，即 PA=m1AF PB=m2BF 。 m1+m2=0 24 问题探究 19 已知抛物线 2 2yx ，过点 (2,0)T 的动直线l 交抛物线于A,B 两点，过 分别作切线 12,ll ，点 P 在抛物线上，且 PT x轴， 3l 是抛物线在 P 处的切线，若 4l 过点T 且 43ll交 于 N，M，交抛物线于 ,CD，试 探索 CN DM 是否成立。 20．纵点交弦，横之蝴蝶 实验成果 动态课 件 过椭圆长轴所在直线上任意一点 T（ 0,t ）的两条弦 AB 和 CD 端点 的直线 AD 和 BC 截过 T 点的垂 线段 NM（ 12NM F F ）相等，即 NT＝TM 过双曲线实轴所在直线上任意一 点 T（ ）的两条弦 AB 和 CD 端点 的直线 AD 和 BC 截过 T 点的垂 线段 NM（ ）相等，即 NT＝TM。 过抛物线对称轴上任意一点 T （ ）的两条弦 AB 和 CD 端点 的直线 AC 和 BD 截过 T 点的垂 线段 NM（ NM FT ）相等，即 NT＝TM。 25 问题探究 20 已知椭圆 22 184 xy，过点T(1,0) 的直线 12,ll分别交椭圆于 A，B 两点，和 C，D 两 点，设直线 3l 过点 T 且 3lx 轴，交 ,AC BDll于点 N，M，试证明 TN TM＝ 。 实验成果 动态课件 过椭圆短轴上任意一点 M 的两条 弦端点作两条直线,一定截过 M 点与对称轴垂直的直线为相等的 线段 PM=MQ 过双曲线虚轴上任意一点 N（ 0,t ） 的两条弦端点作两条直线,一定截 过 N 点与对称轴垂直的直线为相 等的线段 PM=MQ 过抛物线对称轴上任意一点 N （ ）的两条弦端点作两条直线, 一定截过 N 点与对称轴垂直的直 线为相等的线段 PM=MQ 26 21．蝴蝶定理，一般情形 实验成果 动态课件 过椭圆直径所在直线上任意一点T作的两条弦 AB，CD，过其端点作两条直线 AC 和 BD,截 过 T 点与 N 点切线平行的直线段，被 T 点平 分，即 MT=TR（N 点为主轴 OT 与曲线的交 点） 过双曲线直径所在直线上任意一点T作的两条 弦 AB，CD，过其端点作两条直线 AC 和 BD, 截过 T 点与 N 点切线平行的直线段，被 T 点 平分，即 MT=TR（N 点为主轴 OT 与曲线的 交点） 过平行于抛物线对称轴的直线上任意一点T作 两条弦 AB，CD，过其端点作两条直线 AC， BD，截过 T 点与 N 点切线平行的直线段，被 T 点平分，即 MT=TR（N 点为主轴 NT 与曲线 的交点） 27 22．主轴分割，等比中项 问题探究 22 已知椭圆 22 184 xy，过原点 (0,0)O ，点 T(2,1) 的直线l 交椭圆于点 N，过点 T 的中 点弦为 AB，过 A，B 分别作切线 12,ll且交于点 P，求证： 2| || | | |OT OP ON 实验成果 动态课件 过椭圆中心 O 与点 00( , )P x y 的连线交椭圆于 N，交切 点弦于点 Q，则， 2| || | | |OQ OP ON 。且 Q 点平分切 点弦 AB。（无论点 P 在曲线的什么位置，上述结论均 成立）。且点 P 与直线 001Ax x By y沿直线 PO 作 反向运动。 双曲线中心 O 与点 的连线交双曲线于 N，交 切点弦于点 Q，则， 。 且 Q 点平分切点弦 AB。（无论点 P 在曲线的什么位置， 上述结论均成立）。且点 P 与直线 沿 直线 PO 作反向运动。 设过点 P 与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的 无穷远处)的直线交抛物线于 N，交切点弦于点 Q，则， 2| || | | |O Q O P O N   。且 Q 点平分切点弦 AB。（无 论点 P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。且点 P 与直线 00()y y p x x作反向运动。 28 23．定点割线，倒和两倍 问题探究 22 过抛物线 2yx 外一点 (2,0)P 作抛物线的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，另 一直线l 过点 P 与抛物线交于两点 C、D，与直线 AB 交于点 Q，试探求 || PQ PQ PC PD 的 值是否为定值。 实验成果 动态课件 过 椭圆 221Ax By外 一 点 00( , )P x y 的任一直线与椭圆的两个 交点为 C 、 D ， 与 椭 圆 切 点 弦 001Ax x By y的交点为 Q，，则 1 1 2 | | | |PC PD PQ成 立。反之亦 然。 双曲线 外 一 点 的任一直线与双曲线的两 个交点为 C、D，与双曲线切点弦 的交点为 Q，，则 成 立。反之亦 然。 2 2PA PB bKK a   过抛物线外一点 P 的任一直线与抛 物线的两个交点为 C、D，与抛物线 切 点 弦 的 交 点 为 Q ，， 则 成 立。反之亦 然。 29 24．定点割线，内外定积 问题探究 23 过椭圆 22 143 xy外一点 (2,2)P 作直线l 与椭圆交于两点 C、D，点 Q 在线段 CD 上， 且满足 CP QD PD CQ 试探求点 Q 的轨迹。 实验成果 动态课件 过椭圆 221Ax By外一点P的任一直 线与椭圆的两个交点为 C、D，点 Q 是此 直 线 上 另 一 点 ， 且 满 足 则点 Q 的轨迹即为 切点弦 001Ax x By y，反之亦然。 过双曲线 外一点P的任一 直线与双曲线的两个交点为 C、D，点 Q 是 此 直 线 上 另 一 点 ， 且 满 足 则点 Q 的轨迹即为 切点弦 ，反之亦然。 过抛物线外一点 P 的任一直线与抛物线 的两个交点为 C、D，点 Q 是此直线上另 一点，且满足 则点 Q 的轨迹即为切点弦，反之亦然。 30 25．主轴交点，切线平行 问题探究 24 过抛物线 2yx 外一点 (2,0)P 作抛物线的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，另 一直线l ： 2x  与抛物线交于点 N，与直线 AB 交于点 Q，求证：（1）N 点处的切 线与直线 AB 平行，（2） AQ QB 。 实验成果 动态课件 椭圆 221Ax By中心 O 与椭 圆外一点 00( , )P x y 的直线与椭 圆的交点处的切线平行于椭圆 的切点弦 001Ax x By y。 。 双曲线 中心 O 与 双曲线外一点 的直线 与双曲线的交点处的切线平行 于双曲线的切点弦 。 。 过抛物线中心 O（这中心在无穷 远处）与抛物线外一点 的直线与抛物线的交点处的切 线平行于抛物线的切点弦 。 31 26．焦点之弦，张角相等 问题探究 26 已知椭圆 22 184 xy，点 1F 为椭圆之左焦点，过点 的直线 1l 分别交椭圆于 A，B 两点，问是否在 x 轴上存在一点 P。使得斜率 0PA PBkk。 实验成果 动态课 件 椭圆准线与长轴的交点 G 与 焦半径端点 A、B 连线 AG、 BG 所成角 AGB 被长轴平分 双曲线准线与长轴的交点 G 与焦半径端点 A、B 连线 AG、 BG 所成角 被长轴平分 抛物线准线与长轴的交点 G 与焦半径端点 A、B 连线 AG、 BG 所成角 被长轴平分 32 27．定点之弦，张角仍等 问题探究 27 已知双曲线 22 131 xy，过 ( ,0)Nt 点的直线 1l 交双 曲线于 A，B 两点，问是否在 x 轴上存在一点 P。使得斜率 0PA PBkk。 实验成果 动态课件 过椭圆长轴上任意一定点N（ 0,t ） 的一条弦 AB，端点与对应点 2 ( ,0)aG t 的连线所成角 AGB 必被 对称轴（NG 所在直线）平分。 过实轴所在直线上任意一定点 N （ ）的一条弦 AB，端点与对 应点 2 ( ,0)aG t 的连线所成角 被对称轴（NG 所在直线）平分。 过对称轴上任意一定点 N（ ） 的一条弦 AB，端点与对应点 ( ,0)Gt 的连线所成角 被对 称轴（NG 所在直线）平分。 33 28．对称之点，三点共线 问题探究 28 抛物线 2 4yx ，直线l 过点 ( ,0)Ft 并交抛物线于 M、N，若 )0(   FNMF ，直线 xt 与 x 轴交于点 E，试探究： ENEMEF 与 的夹角是否为定值。 实验成果 动态课件 过点 Q(t,0)的直线交椭圆于 AB 两点，点 A 关于 x 轴的对称点 A’,则点 A’，B， 2 ( ,0)aP t 三点共线。 过点 Q(t,0)的直线交双曲线于 AB 两点， 点 A 关于 x 轴的对称点 A’,则点 A’，B， 三点共线。 过点P(t,0)的任一直线交椭圆于AB两点， 点 A 关于 x 轴的对称点 A’,则点 A’，B， P’(-t,0)三点共线。 。 34 29．焦点切点，张角相等 问题探究 29 过点 (2,0)P 作抛物线 2 4xy 的切线 PA（斜率不为 0）， F 为焦点，研究斜率 PF PA PBk k k与 、 的关系。 实验成果 动态课件 过椭圆外一点 P 作椭圆的两 条切线 PA、PB，点 P 与焦点 连线 12,PF PF ，则 12APF BPF   过双曲线外一点 P 作双曲线 的两条切线 PA、PB，点 P 与 焦点连线 ，则 过抛物线外一点 P 作抛物线 的两条切线 PA、PB，点 P 与 焦点连线 （另一焦点在 无 穷 远 处 ） ， 则 。 35 30．倾角互补，连线定角 问题探究 30 过点 (1,2)P 作直线 PA、PB，分别交抛物线 2 4yx 于 A、B 两点，且斜率 0PB PAkk+ ， （1）探究直线 AB 的斜率是否为定值，（2）试研究三角形 PAB 的面积是否有 最大值。 实验成果 动态课件 过椭圆上一定点倾角互补的两直线与椭圆的 另两交点的连线的倾角为定值 过双曲线上一定点倾角互补的两直线与椭圆 的另两交点的连线的倾角为定值 过抛物线上一定点倾角互补的两直线与椭圆 的另两交点的连线的倾角为定值 36 31．动弦中点，斜积定值 问题探究 31 已知椭圆 22 184 xy的动弦 AB 的中点为 M，试研究斜率 AB OMkk 是否为定值（O 为 原点）。 实验成果 动态课件 圆的弦的斜率与其中点和圆中 心连线的斜率积为定值 1PA PBKK   椭圆的弦的斜率与其中点和椭 圆中心连线的斜率积为定值 2 2PA PB bKK a   双曲线的弦的斜率与其中点和 双曲线中心连线的斜率积为定 值 2 2PA PB bKK a 37 32．切线半径，斜积仍定 问题探究 32 已知点 P 为椭圆 22 184 xy上的动点，设点 P 的切线斜率为k ，试研究斜率 OPkk是 否为定值（O 为原点）。 实验成果 动态课件 圆切线与切线处半径的斜率积 为定值 1PO LKK   椭圆切线与切点和中心连线的 斜率积为定值 2 2PO L bKK a   双曲线切线与切点和中心连线 的斜率积为定值 2 2PO L bKKa 38 33．动弦中垂，范围特定 问题探究 33 已知椭圆 22 184 xy的动弦 AB 的中垂线交 x 轴于点 0( ,0)Px ，试研究 0x 的取值范围。 实验成果 动态课件 椭圆的动弦 AB 的中垂线 MQ 必 不过焦点（AB 不垂直于长轴） 若设 ( ,0)Qt ，则必有 ce t ce   （e 为离心率，c 为半焦距） 双曲线的动弦 AB 的中垂线 MQ 必不过焦点（AB不垂直于长轴） 若设 ，则必有 （e 为离心率，c 为半焦距） 抛物线的动弦 AB 的中垂线 MQ 必不过焦点（AB 不垂直于对称 轴） 若设 ，则必有tp （P 为焦准距） 39 34．定向中点，轨迹直径 问题探究 34 1． 对于给定的椭圆，怎样用圆规和直尺找出椭圆的中心、对称轴、顶点、焦点、准线。 2． 对于给定的双曲线，怎样用圆规和直尺找出双曲线的中心、对称轴、顶点、焦点、准线、 渐近线。 3．对于给定的抛物线，怎样用圆规和直尺找出抛物线的对称轴、顶点、焦点、准线。 实验成果 动态课件 椭圆的定向弦 AB 的中点轨迹 是过椭圆中心的线段。 双曲线的定向弦 AB 的中点轨 迹是过双曲线中心的直线。 抛物线的定向弦 AB 的中点轨 迹为平行于抛物线对称轴的 射线。 40 35．定点中点，轨迹同型 问题探究 35 过点 00( , )P x y 的直线交抛物线 2 2yx 于 AB 两点，试探求 AB 中点的轨迹 实验成果 动态课件 椭圆的定点弦 AB 的中 点轨迹为原椭圆内的 椭圆弧 双曲线的定点弦 AB 的 中点轨迹为双曲线 抛物线的定点弦 AB 的 中点轨迹为抛物线。 41 36．焦弦张角，内积定值 问题探究 36 已知椭圆 22 143 xy，直线过焦点F(1,0)交椭圆于 A、B 两点，是否存在一定点 P 使 PA PB   为定值 实验成果 动态课件 在椭圆焦点所在直线上必存在一定点，它与 焦点弦端点所张的向量点积为定值．且在椭 圆 、 情 形 下 定 点 坐 标 为 2(3 )( ,0)2 ce ． ce为半焦距， 为离心率 2 24(1 ) 4 cCA CB e e   ＝ － － 在双曲线焦点所在直线上必存在一定点，它 与焦点弦端点所张的向量点积为定值．且在 双曲线情形下定点坐标为 ． ce为焦点坐标， 离心率 2 24(1 )4 cCA CB e e      在抛物线对称轴上必存在一定点，它与焦点 弦端点所张的向量点积为定值．在抛物线 2 2y px 情形下定点 C 恰为顶点 23 4 pCA CB     42 37．存在定点，内积仍定 问题探究 37 已知椭圆 22 141 xy，直线过点Q(1,0)交椭圆于 A、B 两点，是否存在一定点 P 使 PA PB   为定值。 实验成果 动态课件 过椭圆长轴直线上任一定点 ( ,0)Pn 的直线交椭圆于 A、B 两 点 ， 则 必 存 在 一 定 点 22 ( (1 ) ,0)22 ceQnn  ，它与 AB 弦端点所张的向量点积为 定值．．。 ce为焦点坐标， 离心率 过双曲线实轴直线上任一定点 的直线交双曲线于 A、 B 两点，则必存在一定点 ，它与 AB 弦端点所张的向量点积为 定值．． 过抛物线 2 2y px 对称轴直 线上任一定点 ( ,0)Pn 的直线 交抛物线于 A、B 两点，则必 存在一定点定点 C 恰为顶点 23 4 pCA CB     43 38．光线反射，路径过焦 问题探究 38 要测试一只音响的声音效果，请你设计出一个测试房间，使测试效果尽可能准 确 实验成果 动态课件 由焦点发出的光线经椭圆曲 面反射后的光线必过另一焦 点 由焦点发出的光线经双曲面 反射后的光线所在直线必过 另一焦点 由焦点发出的光线经抛物面 反射后的光线必过另一焦点 （另一焦点在无穷远处，故 反射光线会平行于对称轴） 44 39．切线中割，切弦平行 问题探究 39 抛物线 2yx 上一点 (1,1)H ，点 P 是以 H 为切点的切线上一点，点 M 满足 PM MH ，过点 P 的直线 1l 交曲线于 ,AD两点，过 M，D 的直线 2l 交曲线于C 点，过 P，C 的直线 3l 交曲线于 B 点，求证： ( 0)AB PH 实验成果 动态课件 过椭圆外一定点与切点连线的中 点的任一直线交椭圆于两点,这 两点分别与定点的连线交椭圆于 另两点,这两点连线的斜率与切 线斜率相等 过双曲线外一定点与切点连线的 中点的任一直线交双曲线于两 点,这两点分别与定点的连线交 双曲线于另两点,这两点连线的 斜率与切线斜率相等 过抛物线外一定点与切点连线的 中点的任一直线交抛物线于两 点,这两点分别与定点的连线抛 物线于另两点,这两点连线的斜 率与切线斜率相等 45 40．直周之角，斜过定点 问题探究 40 抛物线 2yx 上一点 P(1,1) ，A,B 是抛物线上另两点，且 PA PB=0 ， PQ PA PB。 （1） 试探求点 Q 的轨迹。（2）试探求直线 AB 是否过定点。 实验成果 动态课件 以椭圆上一定点 00( , )P x y 为直角顶点的 椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且 定点恰在斜边的中点轨迹上。 若直角顶点在椭圆上运动时,其对应的定 点 2 2 2 2 002 2 2 2( , )a b a bG x ya b a b  在一新的 椭圆上运动. 以双曲线上一定点 为直角顶点 的双曲线内接直角三角形的斜边必过定 点,且定点恰在斜边的中点轨迹上。 若直角顶点在双曲线上运动时,其对应的 定点 2 2 2 2 002 2 2 2( , )a b a bG x ya b a b  在一新 的双曲线上运动. 以抛物线上一定点 为直角顶点 的抛物线内接直角三角形的斜边必过定 点,且定点在斜边的中点轨迹上。 若直角顶点在抛物线上运动时,其对应的 定点 00( 2 , )G x p y在一新的抛物线上 运动. 46 41．正交半径，斜切定圆 问题探究 41 1.设椭圆 E: 22 221xy ab（a,b>0）过 M（2， 2 ） ，N( 6 ,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA OB ？若 存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 2.已知双曲线 22 22: 1( 0, 0)xyC a bab    的离心率为 3 ，右准线方程为 3 3x  （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线l 是圆 22:2O x y上动点 0 0 0 0( , )( 0)P x y x y  处的切线，l 与双曲线C 交于不同的 两点 ,AB，证明 AOB 的大小为定值. 实验成果 动态课件 直角三角形的直角顶点在中心，斜边的 端点在椭圆上,则中心在斜边上的射影 轨迹是圆 直角三角形的直角顶点在中心，斜边的 端点在双曲线上,则中心在斜边上的射 影轨迹是圆 47 42．直径端点，斜积定值 问题探究 42 已知定点 ( 3,0), (3,0)AB ，P 为动点且满足：PA，PB 的斜率 1 2PA PBkk ，试探求点 P 的轨迹 实验成果 动态课件 圆上动点对直径端点的斜率积 为定值 1PA PBKK   椭圆上动点对直径端点的斜率 积为定值 2 2PA PB bKK a   双曲线上动点对直径端点的斜 率积为定值 2 2PA PB bKK a 48 43．垂弦端点，交轨对偶 问题探究 43 已知椭圆 22 184 xy的动弦 MN 垂直交 x 轴于点 0( ,0)Px ，椭圆的长轴端点分别为 12,BB，试探求直线 1B N B M2与 交点的轨迹。 实验成果 动态课件 椭圆 22 221xy ab中垂直于长轴的弦的端 点对长轴顶点的连线交点轨迹为与椭圆 共顶点的双曲线 22 221xy ab。 双曲线 22 221xy ab中垂直于实轴的弦的 端点对实轴顶点的连线交点轨迹为与双 曲线共顶点的椭圆 22 221xy ab 抛物线 2 2y px 中垂直于对称轴的弦的 端点对顶点的连线交点轨迹为与抛物线 共顶点的抛物线 2 2y px 。 49 44．准线动点，斜率等差 问题探究 44 过抛物线 2 2(y px p0 ) 的对称轴上的定点 ( ,0)( 0)M m m  ，作直线 AB 与抛物线相交于 ,AB两点. （Ⅰ）试证明 两点的纵坐标之积为定值； （Ⅱ）若点 N 是定直线 :l x m 上的任意一点，分别记直线 ,,AN MN BN 的斜率为 321 kkk 、、 ，试探 求 321 kkk 、、 之间的关系，并给出证明. 实验成果 动态课件 过 x 轴上一定点 Q(t，0)的直线交椭圆 22 221xy ab于 两点 A，B， 则在 直线 2ax t 上任一点 P 对弦AB 端点及定点 Q 的连线的斜率成等差。 过 x 轴上一定点 Q(t，0)的直线交双曲线 22 221xy ab于 两点 A，B， 则在 直线 上任一点 P 对弦AB 端点及定点 Q 的连线的斜率成等差 过 x 轴上一定点 M(t，0)的直线交抛物线 2 2y px 于两点 A，B，则在直线 xt 上任一点 P 对弦 AB 端点及定点 M 的连 线的斜率成等差。 50 45．焦点切线，距离等比 问题探究 45 已知直线l 是过椭圆 22 182 xy上一点 (2,1)P 的切线，（1） 求两焦点 12,FF到切线 的距离积。 （2）当 是椭圆的任一切线时，试问两焦点 到切线 的距离积是否为定值。 实验成果 动态课件 椭圆 22 221xy ab的两焦点到任一切线的 距离积为定值，且定值为 2b 。 。 双曲线 22 221xy ab的两焦点到任一切线 的距离积为定值，且定值为 。 。 抛物线还未找到相应性质 51 46．共轭点对，距离等积 问题探究 46 设椭圆 22 141 xy的右焦点弦 AB，点 B 关于 x 轴的对称点为 'B ， 直线 'AB 交 x 轴于点 P 。 （1）求 2OF OP 的值。 （2）若点 Q(t,0)是对称轴上任一定点，动弦 CD 所在直线过点 Q， 端点 B 关于 x 轴的对称点为 'D ，直线 'CD 交 x 轴于点 R ，试研究 OQ OR 是否为定值，其定值与椭圆 的几何量有何关系？ 实验成果 动态课件 过椭圆 22 221xy ab对称轴上一定点 Q(t,0)的动弦 AB，一端点 B 与另一 端点 A 关于坐标轴的对称点 'A 的连 线 'BA 交 对 称 轴 于 点 P ，则 2OQ OP a 定值。 。 过双曲线 22 221xy ab对称轴上一定 点 Q(t,0)的动弦 AB，一端点 B 与另 一端点 A 关于坐标轴的对称点 的 连线 交对称轴于点 P ，则 定值。 。 。 抛物线还未找到相应性质 52 47．正交中点，连线定点 问题探究 47： 已知直线 12,ll过抛物线 2 4yx 的焦点 F ，分别交抛物线于 A，B 和 C，D 四点，且 12ll ，直线l 分别过 AB 和 CD 的中点， 问直线 是否过定点？ 实验成果 动态课件 椭圆中互相垂直的焦点弦中 点连线必过定点 。 双曲线中互相垂直的焦点弦 中点连线必过定点 。 抛物线中互相垂直的焦点弦 中点连线必过定点 。 53 48．顶点切圆，切线交准 问题探究 48： 设点 P 为圆 22 1 2C x y： 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q ．动点 M 满足 2MQ PQ （其中 ， 不重合）．（Ⅰ）求点 M 的轨迹 2C 的方程；（Ⅱ）过直线 2x  上的动点T 作圆 1C 的两条切 线，设切点分别为 ,AB．若直线 AB 与（Ⅰ）中的曲线 2C 交于 ,CD两 点，求 AB CD 的取值范围． 实验成果 动态课件 过椭圆中心 O 的直线 OH 垂 直于 1FQ并与大圆在 Q 点处 的切线相交于点 P，则点 P 的轨迹是与焦点对应的准 线。 。 过双曲线中心 O 的直线 OH 垂直于 2FQ并与小圆在Q点 处的切线相交于点 P，则点 P 的轨迹是与焦点对应的准 线。 。 y -2 x B A O T 54 49．平行焦径，交点轨迹 问题探究 49： 已知椭圆 22 143 xy， 12,FF为椭圆的左右焦点， A，B 分别为椭圆上两点， 12AF BF ，请探求 21AF BF与 交点的轨迹。 实验成果 动态课件 椭圆同侧平行的两焦半径对 角连线的交点轨迹是椭圆 。 双曲线同侧平行的两焦半径 对角连线的交点轨迹是椭圆 。 55 50．内接内圆，切线永恒 问题探究 50 若点 P 是曲线 C： 2yx 上的动点，过点 P 与圆： 22( ) 1x t y的切线为 1l ， 2l 交曲线 C 于另 两点 A 、B，问是否存在t ，使对任意的动点 P，直线 AB 必与圆相切。 实验成果 动态课件 过椭圆上任一点 A 引椭圆内 接三角形 UVW 的内切（旁 切）圆 G 的切线交椭圆于另 两点 BC，则这另两点的连线 BC 必是圆 G 的切线。 。 过双曲线上任一点 A 引双曲 线内接三角形 UVW 的内切 （旁切）圆 G 的切线交双曲 线于另两点 BC，则这另两点 的连线BC必是圆G的切线。 。 过抛物线上任一点 A 引抛物 线内接三角形 UVW 的内切 （旁切）圆 G 的切线交抛物 线于另两点 BC，则这另两点 的连线BC必是圆G的切线。 。 56 51．切线正交，顶点轨迹 问题探究 51： 已知直线 12,ll分别切抛物线 2 4yx 于 A，B 两点，且 12ll ，请探求 12ll与 交点的轨迹。 实验成果 动态课件 椭圆的两条正交切线的交点 轨迹是圆。 。 双曲线的两条正交切线的交 点轨迹是圆。 。 抛物线的两条正交切线的交 点轨迹是准线（无穷大圆）。 。 57 52．斜率定值，弦过定点 问题探究 52： 已知椭圆 22 141 xy，过点 (2,1)P 的直线交椭圆于 BA、 两点，过点 B 作斜率为 1 2 的直线交椭圆 于另一点C ，试探求直线 AC 是否过定点。 实验成果 动态课件 过椭圆外一点 P 任作一直线交椭圆于 AB 两点，过点 A 作斜率为定值 k 的直 线交椭圆于另一点 C，则弦 BC 必过定 点 G。（ 为直线 OP 与椭圆交点 N 处切 线的斜率）。 00 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 G( , )xy x y x y a b a b 。 过双曲线外一点 P 任作一直线交双曲线 于 AB 两点，过点 A 作斜率为定值 的 直线交双曲线于另一点 C，则弦 BC 必 过定点 G。（ 为直线 OP 与双曲线交点 N 处切线的斜率） 00 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 G( , )xy x y x y a b a b 过抛物线外一点 P 任作一直线交抛物线 于 AB 两点，过点 A 作斜率为定值 的 直线交抛物线于另一点 C，则弦 BC 必 过定点 G。（ 为直线 OP 与抛物线交点 N 处切线的斜率） 2 0 00( , )yG x yp  58 53．直线动点，切弦定点 问题探究 53： 动点 00( , )P x y 在直线 2 6 0xy   上，由 P 引抛物线 2 2yx 的两条切线，切点分别是 A、B，请 探究直线 AB 是否过定点。 实验成果 动态课件 直线 0Ax By c   上一 动点Q 引 椭 圆 两 切 线 ,QA QB ，则过两切点的直 线 AB 必过定点 G 直线 上一 动点 引 双 曲 线 两 切 线 ，则过两切点的直 线 AB 必过定点 G 直线 上一 动点 引 抛 物 线 两 切 线 ，则过两切点的直 线 AB 必过定点 G 。 59 54．与圆四交，叉连互补 实验成果 动态课件 若椭圆与圆有四个交点，四 点两两连线，则对应边直线 的斜率必互为相反数。 。 若双曲线与圆有四个交点， 四点两两连线，则对应边直 线的斜率必互为相反数。 。 若抛物线与圆有四个交点， 四点两两连线，则对应边直 线的斜率必互为相反数。 。 60 55．交弦积比，平行方等 实验成果 动态课件 设椭圆的两条相交弦，则两 弦各自被分成两段的乘积与 平行半径的平方成比例。 。 设双曲线的两条相交弦，则 两弦各自被分成两段的乘积 与平行半径的平方成比例。 。 61 56．补弦外圆，切于同点 实验成果 动态课件 设椭圆的两条共轭弦，则其 三角形的外接圆与椭圆必相 切于 P 点。 。 设双曲线的两条共轭弦，则 其三角形的外接圆与双曲线 必相切于 P 点。 。 设抛物线的两条共轭弦，则 其三角形的外接圆与抛物线 必相切于 P 点。 62 57、焦点切长，张角相等 实验成果 动态课件 设 Q 是椭圆外一点，过 Q 向 椭圆引两条切线 QA、QB， 切点分别为 A、B，则 22AF Q BF Q   。 。 设 Q 是双曲线外一点，过 Q 向双曲线引两条切线 QA、 QB，切点分别为 A、B，则 11AFQ BFQ   。 。 设 Q 是抛物线外一点，过 Q 向抛物线引两条切线 QA、 QB，切点分别为 A、B，则 AFQ BFQ   。 63 58．斜率积定，连线过定 问题探究 58 已知 P(0,1)点 ,A、B 是椭圆 C： 22 131 xy上两个动点，且 2 3PA PBkk  ，求三角形 PAB 面积的最大值。 实验成果 动态课件 设 00( , )P x y 是椭圆上一定点，若 过 P 的两条弦 PA、PB 的斜率积 为定值 PA PBk k m ，则直线 AB 必过定点 2 2 2 2 00 2 2 2 2 ( ) ( )( , )x a m b y a m b a m b a m b     设 是双曲线上一定点， 若过 P 的两条弦 PA、PB 的斜率 积为定值 ，则直线 AB 必 过 定 点 2 2 2 2 00 2 2 2 2 ( ) ( )( , )x a m b y a m b a m b a m b     设 是抛物线上一定点， 若过 P 的两条弦 PA、PB 的斜率 积为定值 ，则直线 AB 必过定点 00 2( , )pxym 64 59．切点连线，恒过定点 问题探究 59 过抛物线 2yx 外一点 (1,2)Q 作抛物线的中点弦 AB（Q 为 AB 中点），两条切线 PA，PB 交于点 P，求点 P 作直线l ，且 l AB ，点 G 是直线l 上的动点，过 G 作抛物线的两条切线 GC、GD，求证：直线 CD 过定点。 实验成果 动态课件 点 T 是与椭圆 221Ax By点 P 的切 点弦对应的直线上的动点，则与点 T 对 应的切点弦必过定点 Q。 。 点 T 是与双曲线 点 P 的切 点弦对应的直线上的动点，则与点 T 对 应的切点弦必过定点 Q。 。 点 T 是与抛物线 2 2y px 点 P 的切点弦 对应的直线上的动点，则与点 T 对应的 切点弦必过定点 Q。（ PQ 平行对称轴） 。