【数学】2020届一轮复习苏教版专题二第一讲小题考法——立体几何中的计算学案

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【数学】2020届一轮复习苏教版专题二第一讲小题考法——立体几何中的计算学案

‎[江苏卷5年考情分析]‎ 小题考情分析 大题考情分析 常考点 空间几何体的表面积与体积(5年3考)‎ ‎  本专题在高考大题中的考查非常稳定,主要是线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明,一般第(1)问是线面平行的证明,第(2)问是线线垂直或面面垂直的证明,考查形式单一,难度一般.‎ 偶考点 简单几何体与球的切接问题 第一讲 小题考法——立体几何中的计算 考点(一)‎ 空间几何体的表面积与体积 主要考查柱体、锥体以及简单组合体的表面积与体积.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1.现有一个底面半径为3 cm,母线长为5 cm的圆锥状实心铁器,将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗),则该铁球的半径为________cm.‎ 解析:因为圆锥底面半径为3 cm,母线长为5 cm,所以圆锥的高为=4 cm,其体积为π×32×4=12π cm3,设铁球的半径为r,则πr3=12π,所以该铁球的半径是 cm.‎ 答案: ‎2.(2018·苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2,则该直四棱柱的侧面积为________.‎ 解析:由题意得,直四棱柱的侧棱长为=2,所以该直四棱柱的侧面积为S=cl=4×2×2=16.‎ 答案:16 ‎3.(2018·江苏高考)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.‎ 解析:由题意知所给的几何体是棱长均为 的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V正四棱锥=2××()2×1=.‎ 答案: ‎4.(2018·南通、泰州一调)如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的几何体.已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm,圆柱的底面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗).‎ 解析:由题意知,熔化前后的体积相等,熔化前的体积为6××42×4-9×4=60 cm3,设所求正三棱柱的底面边长为x cm,则有x2·6=60,解得x=2,所以所求边长为2 cm.‎ 答案:2 ‎5.设甲,乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等且=,则的值是________.‎ 解析:设甲,乙两个圆柱的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则有2πr1h1=2πr2h2,‎ 即r1h1=r2h2,‎ 又=,∴=,∴=,‎ 则==.‎ 答案: ‎[方法技巧]‎ 求几何体的表面积及体积的解题技巧 ‎(1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积时,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.‎ ‎(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.‎ 考点(二)‎ 简单几何体与球的切接问题 主要考查简单几何体与球切接时的表面积、体积的计算问题,以及将空间几何体的问题转化为平面几何图形的关系的能力.‎ ‎ [题组练透]‎ ‎1.(2017·江苏高考)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.‎ 解析:设球O的半径为R,因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,所以圆柱的底面半径为R、高为2R,所以==.‎ 答案: ‎2.(2018·无锡期末)直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,BB1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.‎ 解析:根据条件可知该直三棱柱的外接球就是以BA,BC,BB1为棱的长方体的外接球,设其半径为R,则2R==,得R=,故该球的表面积为S=4πR2=50π.‎ 答案:50π ‎3.已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上,且AB=3,BC=,过点D作DE垂直于平面ABCD,交球O于点E,则棱锥EABCD的体积为________.‎ 解析:如图所示,BE过球心O,‎ ‎∴BE=4,BD==2,‎ ‎∴DE= =2,‎ ‎∴VEABCD=×3××2=2.‎ 答案:2 ‎4.(2018·全国卷Ⅲ改编)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为________.‎ 解析:由等边△ABC的面积为9,可得AB2=9,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=AB=2.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d===2.所以三棱锥DABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥DABC体积的最大值为×9×6=18.‎ 答案:18 ‎[方法技巧]‎ 简单几何体与球切接问题的解题技巧 方法 解读 适合题型 截面法 解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作 球内切多面体或旋转体 构造 直角 三角 形法 首先确定球心位置,借助外接的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径,寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形,利用勾股定理求半径 正棱锥、正棱柱的外接球 补形法 因正方体、长方体的外接球半径易求得,故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体,便可借助外接球为同一个的特点求解 三条侧棱两两垂直的三棱锥,从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等 考点(三)‎ 平面图形的翻折与空间图形的展开问题 主要考查空间图形与平面图形之间的转化,面积、体积以及最值 ‎ 问题的求解.‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[典例] (1)如图,正△ABC的边长为2,CD是AB边上的高,E,F分别为边AC与BC的中点,现将△ABC沿CD翻折,使平面ADC⊥平面DCB,则三棱锥EDFC的体积为________.‎ ‎(2)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则当AM+MC1最小时,△AMC1的面积为________.‎ ‎[解析] (1)S△DFC=S△ABC=×=,E到平面DFC的距离h等于AD=,VEDFC=×S△DFC×h=.‎ ‎(2)将侧面展开后可得:本题AM+MC1最小可以等价为在矩形ACC1A1中求AM+MC1的最小值.‎ 如图,当A,M,C1三点共线时,AM+MC1最小.‎ 又AB∶BC=1∶2,AB=1,BC=2,CC1=3,‎ 所以AM=,MC1=2,又AC1==,‎ 所以cos∠AMC1===-,‎ 所以sin∠AMC1=,‎ 故三角形面积为S=××2×=.‎ ‎[答案] (1) (2) ‎[方法技巧]‎ 解决翻折问题需要把握的两个关键点 ‎(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量.一般情况下,折线同一侧的线段的长度是不变量,位置关系可能会发生变化,抓住两个“不变性”.‎ ‎①与折线垂直的线段,翻折前后垂直关系不改变;‎ ‎②与折线平行的线段,翻折前后平行关系不改变.‎ ‎(2)解决问题时,要综合考虑翻折前后的图形,既要分析翻折后的图形,也要分析翻折前的图形.‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1.有一根长为6 cm,底面半径为0.5 cm的圆柱型铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的长度最少为________cm.‎ 解析:由题意作出图形如图所示,‎ 则铁丝的长度至少为==2.‎ 答案:2 ‎2.(2018·南京、盐城、连云港二模)在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图①中阴影部分),折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图②),则正四棱锥SEFGH的体积为________.‎ 解析:连结EG,HF,交点为O(图略),正方形EFGH的对角线EG=2,EO=1,则点E到线段AB的距离为1,EB==,SO===2,故正四棱锥SEFGH的体积为×()2×2=.‎ 答案: ‎3.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为________.‎ 解析:如图,取BD的中点E,BC的中点O,连接AE,OD,EO,‎ AO.因为AB=AD,所以AE⊥BD.‎ 由于平面ABD⊥平面BCD,所以AE⊥平面BCD.‎ 因为AB=AD=CD=1,BD=,所以AE=,EO=.所以OA=.‎ 在Rt△BDC中,OB=OC=OD=BC=,所以四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为.‎ 所以该球的体积V=π3=.‎ 答案: ‎[必备知能·自主补缺]‎ ‎(一) 主干知识要牢记 ‎1.空间几何体的侧面展开图及侧面积公式 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧=ch c为底面周长 h为高 正棱锥 S正棱锥侧=ch′‎ c为底面周长 h′为斜高 即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧=(c+c′)h′‎ c′为上底面周长 c为下底面周长 h′为斜高,即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧=2πrl r为底面半径 l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧=πrl r为底面半径 l为侧面母线长 圆台 S圆台侧=π(r1+r2)l r1为上底面半径 r2为下底面半径 l为侧面母线长 ‎2.柱体、锥体、台体的体积公式 ‎(1)V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);‎ ‎(2)V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);‎ ‎(3)V台=(S++S′)h(不要求记忆).‎ ‎3.球的表面积和体积公式:‎ ‎(1)S球=4πR2(R为球的半径);‎ ‎(2)V球=πR3(R为球的半径).‎ ‎4.立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题,都可以转化为平面几何中两点距离最短.‎ ‎(二) 二级结论要用好 ‎1.长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系d2=a2+b2+c2;若长方体外接球半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.‎ ‎[针对练1] 设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为2,2,4,则其外接球的表面积为________.‎ 解析:依题意,设题中的三棱锥外接球的半径为R,可将题中的三棱锥补形成一个长方体,则R==2,所以该三棱锥外接球的表面积为S=4πR2=32π.‎ 答案:32π ‎2.棱长为a的正四面体的内切球半径r=a,外接球的半径R=a.又正四面体的高h=a,故r=h,R=h.‎ ‎[针对练2] 正四面体ABCD的外接球半径为2,过棱AB作该球的截面,则截面面积的最小值为________.‎ 解析:由题意知,面积最小的截面是以AB为直径的圆,设AB的长为a,‎ 因为正四面体外接球的半径为2,‎ 所以a=2,解得a=,‎ 故截面面积的最小值为π2=.‎ 答案: ‎3.认识球与正方体组合的3种特殊截面:‎ 一是球内切于正方体;二是球与正方体的十二条棱相切;三是球外接于正方体.它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a,球的半径为R).‎ ‎[课时达标训练]‎ A组——抓牢中档小题 ‎1. 若圆锥底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为 ________.‎ 解析:由题意,得圆锥的母线长l==,所以S圆锥侧=πrl=π×1×=π.‎ 答案:π ‎2.已知正六棱柱的侧面积为72 cm2,高为6 cm,那么它的体积为________cm3.‎ 解析:设正六棱柱的底面边长为x cm,由题意得6x×6=72,所以x=2,于是其体积V=×22×6×6=36cm3.‎ 答案:36 ‎3.已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为R,AB=AC=BC=2,则球O的表面积为________.‎ 解析:设△ABC外接圆的圆心为O1,半径为r,因为AB=AC=BC=2,所以△ABC为正三角形,其外接圆的半径r==2,因为OO1⊥平面ABC,所以OA2=OO+r2,即R2=2+22,解得R2=16,所以球O的表面积为4πR2=64π.‎ 答案:64π ‎4. 已知一个棱长为6 cm的正方体塑料盒子(无上盖),上口放着一个半径为5 cm的钢球,则球心到盒底的距离为________cm.‎ 解析:球心到正方体的塑料盒上表面(不存在)所在平面的距离为=4,所以球心到盒底的距离为4+6=10(cm).‎ 答案:10‎ ‎5.(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为的扇形,则此圆锥的体积为________.‎ 解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,母线为l,则由··l2=3π,得l=3,又由·l=2πr,得r=1,从而有h==2,所以V=·πr2·h=π.‎ 答案:π ‎6. 一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点P为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x=6 cm时,该容器的容积为________cm3.‎ 解析:由题意知,这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形,侧面高为5 cm,则正四棱锥的高为 =4 cm,所以所求容积V=×62×4=48 cm3.‎ 答案:48‎ ‎7.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.‎ 解析:由正方体的表面积为18,得正方体的棱长为.‎ 设该正方体外接球的半径为R,则2R=3,R=,‎ 所以这个球的体积为πR3=×=.‎ 答案: ‎8.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1,底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2,S2,若=,则的值为________.‎ 解析:由题意知,V1=a3,S1=6a2,V2=πr3,S2=πr2,由=,即=,得a=r,从而===.‎ 答案: ‎9.已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为BC,DC的中点,沿AE,EF,AF折成一个四面体,使B,C,D三点重合,则这个四面体的体积为________.‎ 解析:设B,C,D三点重合于点P,得到如图所示的四面体PAEF.因为AP⊥PE,AP⊥PF,PE∩PF=P,所以AP⊥平面PEF,所以V四面体PAEF=V四面体APEF=·S△PEF·AP=××1×1×2=.‎ 答案: ‎10.(2018·常州期末)已知圆锥的高为6,体积为8,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台体积是7,则该圆台的高为________.‎ 解析:设截得的小圆锥的高为h1,底面半径为r1,体积为V1=πrh1;大圆锥的高为h=6,底面半径为r,体积为V=πr2h=8.依题意有=,V1=1,==3=,得h1=h=3,所以圆台的高为h-h1=3.‎ 答案:3‎ ‎11.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是________.‎ 解析:连结A1B,沿BC1将△CBC1展开,与△A1BC1在同一个平面内,如图所示,连结A1C,则A1C的长度就是所求的最小值.‎ 因为A1C1=6,A1B=2,BC1=2,所以A1C+BC=A1B2,所以∠A1C1B=90°.‎ 又∠BC1C=45°,所以∠A1C1C=135°,由余弦定理,得A1C2=A1C+CC-2A1C1·CC1·cos∠A1C1C=36+2-2×6××=50,所以A1C=5,即CP+PA1的最小值是5.‎ 答案:5 ‎12.(2018·苏中三市、苏北四市三调)‎ 现有一正四棱柱形铁块,底面边长为高的8倍,将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗).设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1,S2,则的值为________.‎ 解析:设正四棱柱的高为a,所以底面边长为8a,根据体积相等,且底面积相等,所以正四棱锥的高为3a,则正四棱锥侧面的高为=5a,所以==.‎ 答案: ‎13.已知圆锥的底面半径和高相等,侧面积为4π,过圆锥的两条母线作截面,截面为等边三角形,则圆锥底面中心到截面的距离为________.‎ 解析:如图,设底面半径为r,由题意可得:母线长为r.又侧面展开图面积为×r×2πr=4π,所以r=2.又截面三角形ABD为等边三角形,故BD=AB=r,又OB=OD=r,故△BOD为等腰直角三角形.设圆锥底面中心到截面的距离为d,又VOABD=VABOD,所以d×S△ABD=AO×S△OBD.又S△ABD=AB2=×8=2,S△OBD=2,AO=r=2,故d==.‎ 答案: ‎14. 底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为 cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水________cm3.‎ 解析:设四个实心铁球的球心为O1,O2,O3,O4,其中O1,O2为下层两球的球心,O1O2O3O4为正四面体,棱O1O2到棱O3O4的距离为,所以注水高为1+.故应注水体积为π-4×π×3=π.‎ 答案:π B组——力争难度小题 ‎1.(2018·天津高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥MEFGH的体积为________.‎ 解析:如图,连结AD1,CD1,B1A,B1C,AC,因为E,H分别为 AD1,CD1的中点,所以EH∥AC,EH=‎ AC,因为F,G分别为B1A,B1C的中点,所以FG∥AC,FG=AC,所以EH∥FG,EH=FG,所以四边形EHGF为平行四边形,又EG=HF,EH=HG,所以四边形EHGF为正方形,又点M到平面EHGF的距离为,所以四棱锥MEFGH的体积为×2×=.‎ 答案: ‎2.(2018·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π).‎ 解析:设球形容器的最小半径为R,则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上,所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上.球的直径就是长方体的体对角线的长度,所以2R==,得4R2=30.从而S球面=4πR2=30π.‎ 答案:30π ‎3.已知三棱锥PABC的所有棱长都相等,现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为2,则三棱锥PABC的体积为________.‎ 解析:由条件知,表面展开图如图所示,由正弦定理得大正三角形的边长为a=2×2sin 60°=6,从而三棱锥的所有棱长均为3,底面三角形ABC的高为,故三棱锥的高为=2,所求体积为V=×(3)2×2=9.‎ 答案:9‎ ‎4.(2018·渭南二模)体积为的球与正三棱柱的所有面均相切,则该棱柱的体积为________.‎ 解析:设球的半径为R,由R3=,得R=1,所以正三棱柱的高h=2.设底面边长为a,则×a=1,所以a=2.所以V=×2×3×2=6.‎ 答案:6 ‎5.如图所示,在直三棱柱中,AC⊥BC,AC=4,BC=CC1‎ ‎=2,若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱,使得到的两个几何体能够拼接成长方体,则长方体表面积的最小值为________.‎ 解析:用过AB,AC的中点且平行于平面BCC1B1的平面截此三棱柱,可以拼接成一个边长为2的正方体,其表面积为24;‎ 用过AB,BC的中点且平行于平面ACC1A1的平面截此三棱柱,可以拼接成一个长、宽、高分别为4,1,2的长方体,其表面积为28;‎ 用过AA1,BB1,CC1的中点且平行于平面ABC的平面截此三棱柱,可以拼接成一个长、宽、高分别为4,2,1的长方体,其表面积为28,‎ 因此所求的长方体表面积的最小值为24.‎ 答案:24‎ ‎6.如图,在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,D1C1上的动点,点G为正方形B1BCC1的中心.则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中,面积的最大值为________.‎ 解析:四边形AEFG在前、后面的正投影如图①,当E与A1重合,F与B1重合时,四边形AEFG在前、后面的正投影的面积最大值为12;‎ 四边形AEFG在左、右面的正投影如图②,当E与A1重合,四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8;‎ 四边形AEFG在上、下面的正投影如图③,当F与D重合时,四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8.综上所述,所求面积的最大值为12.‎ 答案:12‎
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