【数学】2018届一轮复习北师大版第二章函数导数及其应用第十二节定积分与微积分基本定理教案
第十二节 定积分与微积分基本定理
☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 真题举例 命题角度
1.了解定积分的实际背景，了解定
积分的基本思想，了解定积分的概念；
2.了解微积分基本定理的含义。
2015，天津卷，11,5 分(求面积)
2015，福建卷，8,5 分(定积分与概率
的综合)
2014，陕西卷，16,5 分(定积分的计算)
1.定积分的计算、利用定积
分求平面图形的面积是高考命题
的内容之一；
2.常与解析几何、函数、概率等
相结合命题；
3.题型以选择题、填空题为主，
属中低档题。
微知识 小题练
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1．定积分的定义
一般地，如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0
0，ω>0)的图象如
图所示，则图中的阴影部分的面积为________。
(2)(2015·福建高考)如图，点 A 的坐标为(1,0)，点 C 的坐标为(2,4)，函数 f(x)＝x2。
若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________。
【解析】 (1)由图象可知 A＝1，T
2
＝2π
3
－
－π
3 ＝π，所以ω＝1，
f(x)＝sin
x－π
6 。图中其与 x 轴的交点横坐标为π
6
，所以图中的阴影部分的面积为
∫π
6 0 －sin
x－π
6 dx，因为 cos
x－π
6 ′＝
－sin
x－π
6 ，所以原式＝cos
x－π
6 π
6 0＝1－ 3
2
。
(2)依题意知点 D 的坐标为(1,4)，所以矩形 ABCD 的面积 S＝1×4＝4，阴影部分的面积 S
阴影＝4－错误!x2dx＝4－1
3
x32
1＝4－7
3
＝5
3
，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率 P＝S 阴影
S
＝
5
3
4
＝ 5
12
。
【答案】 (1)1－ 3
2
(2) 5
12
考点三 定积分在物理中的应用
【典例 3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)＝
7－3t＋ 25
1＋t
(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位：
m)是( )
A．1＋25ln5 B．8＋25ln11
3
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
(2)已知作用于某一质点的力 F(x)＝
x2，0≤x≤1，
x＋1，1＜x≤2
(单位：N)，则力 F(x)从 x＝0 处
运动到 x＝2 处(单位：m)所做的功为________。
【解析】 (1)7－3t＋ 25
1＋t
＝0，
t＝4 或 t＝－8
3
＜0(舍去)。错误!
7－3t＋ 25
1＋t dt＝
7t－3
2
t2＋25ln 1＋t 4
0 ＝4＋
25ln5，故选 C。
(2)根据题意，力 F 所做的功为 W＝错误!x2dx＋
错误!(x＋1)dx＝1
3
x31
0＋
1
2
x2＋x 2
1＝17
6
(J)。
【答案】 (1)C (2)17
6
J
反思归纳 定积分在物理中的两个应用
1．求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为 v＝v(t)，那么从时刻 t＝a
到 t＝b 所经过的路程
s＝错误!v(t)dt。
2．变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b
时，力 F(x)所做的功是 W＝错误!F(x)dx。
【变式训练】 (1)物体 A 以 v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线 l 上运动，物体 B 在直线 l
上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v＝10t(m/s)的速度与 A 同向运动，出发后，物体 A
追上物体 B 所用的时间 t(s)为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)设变力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x＝1 运动到 x＝10，已知 F(x)＝x2
＋1 且方向和 x 轴正向相同，则变力 F(x)对质点 M 所做的功为________J(x 的单位：m；力的
单位：N)
【解析】 (1)因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为
错误!(3t2＋1)dt，物体 B 在 t 秒内行驶的路程为 错误!10tdt，因为(t3＋t－5t2)′＝3t2
＋1－10t，
所以错误!(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)t
0＝t3＋t－5t2＝5，
整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得 t＝5。故选 C。
(2)变力 F(x)＝x2＋1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x＝1 运动到 x＝10 所做的功为 W＝∫10
1 F(x)dx
＝∫10
1 (x2＋1)dx 因为
1
3
x3＋x
′＝x2＋1，所以原式＝342(J)。
【答案】 (1)C (2)342
微考场 新提升
1．定积分错误!－2|x2－2x|dx 等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 错误!－2|x2－2x|dx
＝错误!－2(x2－2x)dx＋错误!(2x－x2)dx
＝
x3
3
－x2
0
－2＋
x2－x3
3 2
0
＝8
3
＋4＋4－8
3
＝8。故选 D。
答案 D
2．(2016·怀化模拟)定积分 错误! x 2－x dx 的值为( )
A.π
4
B.π
2
C．π D．2π
解析 令 y＝ x 2－x ，则(x－1)2 ＋y2 ＝1(y≥0)，由定积分的几何意义可知，
错误! x 2－x dx 的值为区域
x－1 2＋y2＝1 y≥0 ，
0≤x≤1
的面积，即以(1,0)为圆心，1
为半径的圆面积的1
4
，即π
4
。故选 A。
答案 A
3．(2017·莆田模拟)如图，由函数 f(x)＝ex－e 的图象，直线 x＝2 及 x 轴所围成的阴影
部分面积等于( )
A．e2－2e－1 B．e2－2e
C.e2－e
2
D．e2－2e＋1
解析 由已知得 S＝错误!f(x)dx＝错误!(ex－e)dx＝
(ex－ex)2
1＝(e2－2e)－(e－e)＝e2－2e。故选 B。
答案 B
4．(2016·江西八校联考)计算：错误!－3(x3cosx)dx＝________。
解析 ∵y＝x3cosx 为奇函数，
∴错误!－3(x3cosx)dx＝0。
答案 0
5．(2016·北京模拟)如图，圆 O：x2＋y2＝π2 内的正弦曲线 y＝sinx 与 x 轴围成的区域
记为 M(图中阴影部分)，随机向圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是________。
解析 阴影部分的面积为 2错误!sinxdx＝2(－cosx)π
0 ＝4，圆的面积为π3，所以点 A 落在
区域 M 内的概率是 4
π3。
答案 4
π3
