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文档介绍
【数学】2019届理科一轮复习北师大版选修4－5第1节绝对值不等式教案
选修4－5 不等式选讲
第一节 绝对值不等式
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
(对应学生用书第204页)
[基础知识填充]
1．含绝对值的不等式的性质
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
a的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|a
{x|x＞a或x＜－a}
{x∈R|x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
②利用零点分段法求解；
③构造函数，利用函数的图像求解．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )
(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.( )
(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( )
(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．不等式1<|x＋1|<3的解集为( )
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
D [原不等式等价于15时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解．
综合①②③知x<4.]
4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
2 [∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]
5．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，
要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]
(对应学生用书第204页)
绝对值不等式的解法
(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图1中画出y＝f(x)的图像；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
图1
[解] (1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图像如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图像可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，
f(x)＜－1的解集为.
所以|f(x)|＞1的解集为.
[规律方法] 解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论，用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式，零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论；
(2)当不等式两端均非负时，可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
[跟踪训练] (2018·海口调研)已知函数f(x)＝|x－2|.
(1)求不等式f(x)＋x2－4>0的解集；
(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)4－x2，
即x－2>4－x2或x－24－x2，得x>2或x<－3；
由x－22或x<－1.
综上，原不等式的解集为{x|x>2或x<－1}．
(2)原不等式等价于|x－2|＋|x＋7|<3m的解集非空．
令h(x)＝|x－2|＋|x＋7|，即h(x)min<3m，
由|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9，所以h(x)min＝9，
由3m>9，解得m>3，
所以m的取值范围为(3，＋∞)．
绝对值不等式的证明
(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
[解] (1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
当－＜x＜时，f(x)＜2；
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
[规律方法] 证明绝对值不等式三种常用方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明.
(2)利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明.
(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明.
[跟踪训练] (2018·长沙模拟(二))已知函数f(x)＝|x＋a2|＋|x－a－1|.
(1)证明：f(x)≥；
(2)若f(4)<13，求a的取值范围．
[解] (1)证明：f(x)＝|x＋a2|＋|x－a－1|
≥|(x＋a2)－(x－a－1)|
＝|a2＋a＋1|
＝＋≥.
(2)因为f(4)＝|a2＋4|＋|a－3|＝
所以f(4)<13⇔或
解得－21时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1＜x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．
[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题，常利用零点分段法或数形结合法求解.
2.与恒成立或能成立相关的求参问题，常构造函数转化为求最值问题.
[跟踪训练] (2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围.
【导学号：79140395】
[解] (1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得|2x＋1|≥|x|.
两边平方整理，得3x2＋4x＋1≥0，
解得x≤－1或x≥－.
所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪.
(2)由f(x)≤g(x)，得a≥|2x＋1|－|x|.
令h(x)＝|2x＋1|－|x|，
则h(x)＝
由分段函数图像可知h(x)min＝h＝－，
从而所求实数a的取值范围为.
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