【数学】2019届高考一轮复习北师大版理1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)充分条件与必要条件的相关概念
①如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；
③如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；
④如果q⇒p，且pq，则p是q的必要不充分条件；
⑤如果q，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
[提醒] 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
(2)充分条件与必要条件的两个特征
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．
②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(5)q不是p的必要条件时，“pq”成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b
D．若a>b，则a＋c≤b＋c
解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.
(教材习题改编)“x>1”是“x2＋2x>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.
设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．
解析：把命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
(教材习题改编)命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝，则p是q的________条件．
解析：当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝不成立，即p⇒/q.
当x＝时，x≥0，3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
四种命题的相互关系及其真假判断
[典例引领]
(1)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】 (1)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
【答案】 (1)D (2)C
(2)由原命题写出其他三种命题的方法
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
[通关练习]
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：选B.依题意，得原命题的逆命题为：若一个数的平方是正数，则它是负数．
2．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题
解析：选B.对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则≤1”，易知为假命题，故选B.
充分条件、必要条件的判断
[典例引领]
(1)(2017·高考北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·高考天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)因为m，n是非零向量，所以m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉<0的充要条件是cos〈m，n〉<0.因为λ<0，则由m＝λn可知m，n的方向相反，〈m，n〉＝180°，所以cos〈m，n〉<0，所以“存在负数λ，使得m＝λn”可推得“m·n<0”；而由“m·n<0”，可推得“cos〈m，n〉<0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m＝λn”．综上所述，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件，故选A.
(2)由2－x≥0，得x≤2；由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，因为[0，2](－∞，2]，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件，故选B.
【答案】 (1)A (2)B
(1)充分条件、必要条件的判断方法
①利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．
②从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，
即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．
③利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．
(2)判断充要条件需注意三点
①要分清条件与结论分别是什么．
②要从充分性、必要性两个方面进行判断．
③直接判断比较困难时，可举出反例说明．
[通关练习]
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为由“a＝3”可以推出“A⊆B”，反过来，由A⊆B可以得到“a＝3或a＝2”，不一定推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．
2．(2018·湖南省湘中名校高三联考)“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由log2(2x－3)<1⇒0<2x－3<2⇒
8⇒2x>3⇒x>，所以“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.
3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
法二：(等价转化法)x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/ x＝y.
充分条件、必要条件的应用
[典例引领]
已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求m的取值范围．
【解】 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由“x∈P”是“x∈S”的必要条件，知S⊆P.
又因为集合S非空，
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．
解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以所以
即不存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．
2.本例条件不变，若“x∈¬P ”是“x∈¬S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由本例知P＝{x|－2≤x≤10}，
因为“x∈¬P”是“x∈¬S”的必要不充分条件，
所以P⇒S且S⇒/P.
所以[－2，10][1－m，1＋m]．
所以或
所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
根据充要条件求解参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
[通关练习]
1．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．
解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.
因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.
答案：3
2．已知集合A＝{x|<2x<8，x∈R}，B＝{x|－13，即m>2.
答案：(2，＋∞)
四种命题的真假关系
原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，但它的逆否命题一定为真，即互为逆否命题的两个命题是等价命题，具有相同的真假性，但互为逆命题或互为否命题的两个命题真假性没有关系．因此一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．
常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
是
否定词语
不等于(≠)
不大于
不小于
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多
有一个
至少
有一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少
有两个
一个也
没有
从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件．
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件．
(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
易错防范
(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，
而命题的否定是只否定命题的结论．
(2)注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．
1．命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是( )
A．若x≤0，则x≤1 B．若x≤0，则x＞1
C．若x＞0，则x≤1 D．若x＜0，则x＜1
解析：选A.依题意，命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是“若x≤0，则x≤1”，故选A.
2．原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选D.由题意可知，否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，其为真命题；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，其为真命题．由等价命题的真假性相同可知，该命题的逆命题与原命题也为真命题．故选D.
3．(2018·兰州市高考实战模拟)设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0，即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－，所以x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件，故选B.
4．(2018·石家庄市教学质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A>sin B”是“a>b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sin A>sin B，则2Rsin A>2Rsin B，即a>b；若
a>b，则>，即sin A>sin B，所以在△ABC中，“sin A>sin B”是“a>b”的充要条件，故选C.
5．已知命题：“若a>2，则a2>4”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.原命题显然是真命题，其逆命题为“若a2>4，则a>2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．
6．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.依题意，若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁UC，故满足条件的集合C是存在的．
7．下列命题中正确的个数是( )
①命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”；
②“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件；
③一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
A．0 B．3
C．2 D．1
解析：选C.对于①，命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”，故①正确；对于②，由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以“x≠1”不是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0，反之，如果b＝0，那么f(x)＝kx，所以f(－x)＝－kx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故③正确．正确命题的个数为2，故选C.
8．使a>0，b>0成立的一个必要不充分条件是( )
A．a＋b>0 B．a－b>0
C．ab>1 D.>1
解析：选A.因为a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由a>0，b>0不能推出a－b>0，ab>1，
>1.
9．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“ab>0，则ln a0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，故A错误；若
a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角的终边在第一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C错误；命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，故D正确．故选D.
13．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
解析：“a＋b＋c＝3”的否定是“a＋b＋c≠3”，“a2＋b2＋c2≥3”的否定是“a2＋b2＋c2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3.
答案：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
14．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．
解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；
逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.
答案：2
15．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得
解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
16．已知函数f(x)＝2sin(x∈R)．设p：x∈，q：m－3－2，即a<2，则条件q：(x＋2)(x＋a)<0等价于－24，则a<－4；
②若－a＝－2，即a＝2，则(x＋2)(x＋a)<0无解，不符合题意；
③若－a<－2，即a>2，则q：(x＋2)(x＋a)<0等价于－a3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
解析：p对应的集合A＝{x|xm＋3}，q对应的集合B＝{x|－40⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
6．已知p：x2－7x＋12≤0，q：(x－a)(x－a－1)≤0.
(1)是否存在实数a，使綈p是綈q的充分不必要条件？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)是否存在实数a，使p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：由题意知，p：3≤x≤4，
q：a≤x≤a＋1.
(1)因为¬p是¬q的充分不必要条件，
所以¬p⇒¬q，且綈q⇒/¬p，
所以q⇒p，且p⇒/q，
即q是p的充分不必要条件，
故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x≤4}，
所以或，无解，
所以不存在实数a，使¬p是¬q的充分不必要条件．
(2)若p是q的充要条件，则{x|a≤x≤a＋1}＝{x|3≤x≤4}，
所以
解得a＝3.
故存在实数a＝3，使p是q的充要条件．
