人教新课标A版高一数学1-1-3解三角形的进一步讨论)

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人教新课标A版高一数学1-1-3解三角形的进一步讨论)

备课资料 一、正、余弦定理的边角互换功能 对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它,其实,在涉及到 三角形的其他问题中,也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把 边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决. 【例 1】已知 A、B 为△ABC 的边,A、B 分别是 A、B 的对角,且 2 3 sin sin  B A 求 b ba  的值. 解:∵ B b A a sinsin  , ∴ b a B A  sin sin . 又 3 2 sin sin  B A (这是角的关系), ∴ 2 3 b a (这是边的关系).于是,由合比定理得 2 5 2 23  b ba . 【例 2】已知△ABC 中,三边 A、B、C 所对的角分别是 A、B、C,且 a、b、c 成等差数列. 求证:sinA+sinC=2sinB. 证明:∵a、b、c 成等差数列, ∴a+c=2B(这是边的关系).① 又 C c B b A a sinsinsin  , ∴ B Cba sin sin ,② B Cbc sin sin .③ 将②③代入①,得 bB Cb B Ab 2sin sin sin sin  =2B. 整理得 sinA+sinC=2sinB(这是角的关系). 二、正、余弦定理的巧用 某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问 题较轻松地获得解决,现举例说明如下: 【例 3】求 sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°的值. 解:原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°, ∵20°+10°+150°=180°, ∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角. 设这三个内角所对的边依次是 A、B、C,由余弦定理得 a2+b2-2abcos150°=C2.(*) 而由正弦定理知 A=2Rsin20°,B=2Rsin10°,C=2Rsin150°, 代入(*)式得 sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°= 4 1 . ∴原式= 4 1 . 三、构造正三角 通常,我们使用标尺作正三角形.以标尺作正三角形,只需相异两点 A、B,再配合工 具即可.分别以 A、B 点为圆心,AB 长为半径作圆,两圆相交于 C 点,△ABC 就是正三角 形了.因为,圆 A 中,AB=AC (半径);而且圆 B 中,BA=BC(半径),所以 AB=BA=AC.(参 见上图) 如果没了圆规,我们要如何作出正三角形呢?再者连标尺也没了,那么万能的双手又要 如何作出正三角形呢?这时我们可以考虑折纸来协助完成.取适当大小的矩形纸张,先对折, 取得一边的中垂线;再以 A 点为基点,将此边向内翻折,并使得顶点落在中垂线上 B 点; 最后再将 B 点和 A、C 点连成三角形(参见右图),就是正三角形了.因为,AC=AB,又 B 点 在中垂线上,所以,BA=BC,因此,AB=BC=CA.
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