高一数学同步辅导教材(第9讲)

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高一数学同步辅导教材（第 9 讲） 一、本讲教学进度 2.4 反函数 二、教学内容 1．反函数 2．互为反函数的函数图像间的关系 ★3．常见的几种图形变换 三、重点、难点剖析 1. 反函数 (1) 如函数 y＝f(x)存在反函数，则 f(x)对应的映射 f:A→B 必须满足两个条件：① B 中的每一个元 素在 A 中都有原像；② B 中的每一个元素在 A 中的原像只有一个，（即要求映射 f:A→B 是一一映射. (2) 原函数与其反函数互为反函数．如一个函数存在反函数，常常通过求其反函数的定义域来求这 个函数的值域． (3) 求一个函数的反函数一般分为三步：① 用 y 表示 x，将 y＝f(x)变形为 x＝f -1(y)； ② 将 x＝f -1(y)中的字母 x、y 互换，改写成 y＝f -1(x)；③ 由 y＝f (x)的值域得 y＝f -1(x)的定义域． 例１ 给出下列函数的图像，判断其中哪些函数存在反函数： 图 12－1 分析 一个函数是否存在反函数，关键在这个函数是否是一一映射，或者说函数的值域中每一个元 素在定义域中的原像是否唯一，也即对 y＝f(x)来讲，必须有“x1≠x2  f(x1)≠f(x2)”.从图像上看，要 求所有与 y 轴垂直的直线和函数的图像最多只有一个公共点． 解 作与 y 轴垂直的直线(图中均用虚线表示)，可见(1)、(3)不满足直线与图像最多只有一个公共 点的条件，所以存在反函数的是 y＝f2(x)和 y＝f4(x). 评析 (1) 有些函数不存在反函数，如 f(x)＝x2 (x∈R),但如果适当改变其定义域，变为 g(x)＝x2 (x ≥0),则 g(x)存在反函数．但必须注意，这时的函数 g(x)与 f(x)的解析式虽然相同，但定义域不同，它 们已不是同一个函数了． (2) 由上述方法可见，在定义域上单调增（或单调减）的函数一定存在反函数．当然，存在反函数 的函数在其整个定义域上不一定是单调的． O x y f1y = ( )x O x y(1) 1 =y 2f x( ) 2( ) 1 xO y )3f x(=y ( )3 1 xO y )y 4f= (x( )4 1 例２ 已知定义在区间(a,b)上的函数 y＝f(x)是增函数，求证：(1) f(x)存在反函数；(2) f(x)的反 函数 y＝f-1(x)在它的定义域上也是增函数． 证 (1) 假设对于 f(x)的值域中的某个值 y0，在 f(x)的定义域中有两个不同的值 x1、x2 使 f(x1)＝f(x2) ＝y0. ∵ x1≠x2．∴ 必有 x1＜x2 或 x1＞x2.由 f(x)在定义域上是增函数，得 f(x1)＜f(x2)或 f(x1)＞f(x2)，都 与 f(x1)＝f(x2)矛盾．所以对于 f(x)值域中每一个值，在其定义域中只有唯一的一个值与之对应，由此得 f(x)存在反函数． (2) 不妨设 f(x)的值域为(m,n)，即 f -1(x)的定义域为(m,n).对于任意的 y1＜y2,如 y1、y2∈(m,n),f -1(y1)＝x1，f -1(y2)＝x2，则 y1＝f(x1)，y2＝f(x2). 如果 x1＞x2，由 f(x)是增函数，则 y1＞y2，与 y1＜y2 矛盾；如果 x1＝x2，由函数的定义，必有 y1＝y2， 也与 y1＜y2 矛盾． 所以当 y1＜y2 时，必有 x1＜x2，即 f -1(y1)＜f -1(y2).也就是说 f -1(x)在它的定义域上也是增函数． 评析 (1)欲证明函数 f(x)存在反函数，也可以证明对于 f(x)定义域中任意的 x1 和 x2，若 x1≠x2 则 f(x1) ≠f(x2). (2) 同本题类似，可以证明在定义域上的减函数一定存在反函数，且其反函数也是减函数． 例３ 求下列函数的反函数： 3 1 x , (x＜0), (1) f(x)＝ 2 3 3 4 x －1 (x≥0)； (2) f(x)＝ 2x， (0≤x≤1), x2－2x＋3. (x＞1). 解 (1) y＝ －1≥－1 (x≥0). 由 y＝ －1， 得 2 3 x ＝ 4 3 (y＋1), ∵ x≥0， ∴ x＝ 3 2 )1(4 3     y , ∴ f -1(x)＝ 3 2 )1(4 3     x (x≥－1). (2) 当 x＜0，y＝ 3 1 x ＜0， x＝y3. ∴ f -1(x)＝x3 (x＜0)． 当 0≤x≤1, y＝2x∈[0,2], x＝ 2 1 y． ∴ f -1(x)＝ 2 1 x (0≤x≤2)． 当 x＞1，y＝(x－1)2＋2＞2, (x－1)2＝y－2， ∵ x＞1, ∴ x＝1＋ 2y . ∴ f -1(x)＝1＋ 2x (x＞2)． x3, (x＜0), ∴ f -1(x)＝ x， (0≤x≤2), 1＋ ， (x＞2). 评析 (1) 按约定，求一个函数的反函数时，必须注明反函数的定义域． (2) 求一个分段函数的反函数，只需分段求出它的反函数，然后再合成． 2. 互为反函数的函数图像间的关系 在求一个函数的反函数时，按习惯字母 x 表示自变量，y 表示自变量的函数，因此在第二步时将字 母 x、y 互换，由此得反函数 y＝f -1(x)．如注意到在直角坐标平面中，若将 x 轴和 y 轴互换，可以看成是 整个坐标平面绕直线y＝x翻转 180o 而得，从这个角度考虑，就不难理解函数y＝f(x)和它的反函数y＝f -1(x) 的图像关于直线 y＝x 对称． 例４ 求证：函数 f(x)＝ 42 74   x x 的图像关于直线 y＝x 对称． 分析 证明一个函数的图像关于直线 y＝x 对称，只要证明图像上任意一点 P 关于直线 y＝x 的对称 点 P也在图像上，或证明函数 y＝f(x)的反函数 f -1(x)即 f(x)本身． 证１ 设 y＝f(x)的图像上有一点 P(a,b)，则 b＝f(a)＝ 42 74   a a .P 点关于直线 y＝x 的对称点为 P(b,a). ∵ 2ab－4b＝4a－7, ∴ a＝ 42 74   b b , 即 a＝f(b). 由此点 P(b,a)也在函数 y＝f(x)的图像上，所以函数 y＝f(x)的图像关于直线 y＝x 对称． 证 2 由 f(x)＝ (x≠2)， ∵ y＝2＋ 42 1 x , ∴ y≠2. 又 y－2＝ 42 1 x , 2x－4＝ 2 1 y ，x＝ 2 1 ( 2 1 y ＋4)＝ 42 74   y y , ∴ f -1(x)＝ (x≠2)， f -1(x)＝f(x)． ∵ y＝f(x)与 y＝f -1(x)的图像关于直线 y＝x 对称． ∴ y＝f(x)的图像关于直线 y＝x 对称． 例５ (1) 已知 f(x－2)＝x2－4x＋6 (x≤2),求 f -1(3)； (2) 已知点(2,3)在函数 f(x)＝ bax  的图像上，又在其反函数的图像上，求 f(x)的解析式． 解 (1) ∵ f(x－2)＝(x－2)2＋2， x≤2． ∴ f(x)＝x2＋2 （x≤０）． 设 f -1(3)＝x，则 f(x)＝3. x2＋2＝3, x2＝1. ∵ x≤0, ∴ x＝－1,即 f -1(3)＝－1. 3＝ ba 2 , 2a＋b＝9, 2＝ ba 3 , 3a＋b＝4. ∴ a＝－5,b＝19， f(x)＝ x519 . 评析 (1) 本题(1)也可以先求出 f -1(x)＝－ 2x ，再计算 f -1(3)＝－ 23 ＝－1. (2) 本题(2)中（2,3）在 f -1(x)的图像上，即 f -1(2)＝3,由此得出 f(3)＝2. *3. 常见的几种图像变换 (1) 平移变换 ① y＝f(x－a)的图像，当 a＞0 时，可以由 y＝f(x)的图像向右平移 a 个单位得到；当 a＜0 时，可以 由 y＝f(x)的图像向左平移|a|个单位得到． ② y＝f(x)＋b 的图像，当 b＞0 时，可以由 y＝f(x)的图像向上平移 b 个单位得到；当 b＜0 时，可 以由 y＝f(x)的图像向下平移|b|个单位得到． (2) 对称变换 ① y＝－f(x)的图像与 y＝f(x)的图像关于 x 轴对称； ② y＝f(－x)的图像与 y＝f(x)的图像关于 y 轴对称； ③ y＝－f(－x)的图像与 y＝f(x)的图像关于原点对称； ④ 若 f -1(x)存在，y＝f -1(x)的图像与 y＝f(x)的图像关于直线 y＝x 对称； ⑤ 若对于定义域中的一切 x，有 f(a－x)＝f(a＋x),y＝f(x)的图像关于直线 x＝a 对称； ⑥ y＝|f(x)|的图像，是使 y＝f(x)的图像在 x 轴上方部分及 x 轴上的点保持不变，将其在 x 轴下方 部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方； ⑦ y＝f(|x|)的图像，是除去 y＝f(x)的图像在 y 轴左边部分，使该图像在 y 轴右边部分和 y 轴上的 点保持不变，并根据偶函数的性质，再将 y＝f(x)的图像在 y 轴右边部分以 y 轴为对称轴翻折到 y 轴左边. (2) 由已知，得 例６ 已知 f(x)＝x2－2x，画出下列函数的图像：(1) y＝f(x＋1)； (2) y＝f(x)＋1； (3) y＝f(－ x)； (4) y＝－f(－x)； (5) y＝|f(x)|； (6) y＝f(|x|)． 分析 当然可以分别求出这些函数的解析式再画图像，这里运用图像变换画出它们的图像． 解 f(x)＝(x－1)2－1，其图像是顶点在(1,－1),开口向上的一条抛物线． 图 12－2 练 习 一、选择题 1. 若 f(x)＝x2＋2x＋4 的定义域是[0,＋∞),则 f -1(x)的定义域是（ ） Ａ. [4,＋∞) Ｂ. [3,＋∞) Ｃ. [0,＋∞) Ｄ. [－1,＋∞) xO y 1 -1 (x)y f=f=y )x+1( )(1 y -1 O ( x1 y =f )x 1 1 )y f= x( +1(2) 1 y fy = 3( ) -1 O ( x1 y=f x) 1 ( )4 -1 O 1 y x x (=fy ) -1 (y -f= )-x 5( ) ) O -1 1 1 y x y f= x( x(= fy ) 1 fy = ( )6 -1 O 1 y x x (=fy ) ( x ) (-x) 2. 下列函数中,存在反函数的是（ ） Ａ. y＝ 1 1 2 x Ｂ.y＝2－ 12 x Ｃ. x2＋1, (x≥0), Ｄ.y＝5 x -3 2x＋3，（ x＜0) 3. 函数 f(x)＝ 4 12 x ＋3 （x≥1）的反函数是（ ） Ａ.y＝ 2 1 (x－3)4＋ 2 1 (x≥4) Ｂ.y＝ (x－3)4＋ (x≥3) Ｃ.y＝ (x－3)2＋1 (x≥4) Ｄ.y＝ (x－3)4＋1 (x≥3) 4. 已知函数 y＝f(x)存在反函数，则下列命题中假命题是（ ） Ａ. 函数 y＝f(x)与 x＝f -1(y)是同一个函数 Ｂ. 若 y＝f(x)是奇函数，则 y＝f -1(x)也是奇函数 Ｃ. y＝f(x)与 x＝f(y)的图像关于直线 y＝x 对称 Ｄ. 若 y＝f(x)在[0,＋∞)上是增函数，则 y＝f -1(x)在[0,＋∞)上也是增函数 5. 已知函数 y＝f(x)的反函数为 y＝g(x)，函数 y＝(x)的图像与 y＝g(x)的图像关于 原点对称，则 y＝(x)的图像与 y＝f(x)的图像（ ） Ａ. 关于直线 x－y＝0 对称 Ｂ. 关于直线 x＋y＝0 对称 Ｃ. 关于 x 轴对称 Ｄ. 关于 y 轴对称 6. y＝ 1 12   x x 的图像可以由函数 y＝ x 1 的图像经过下面的变换得到（ ） Ａ. 沿 x 轴向右平移 1 个单位，再沿 y 轴向上平移 2 个单位 Ｂ. 沿 x 轴向右平移 1 个单位，再沿 y 轴向下平移 2 个单位 Ｃ. 沿 x 轴向左平移 1 个单位，再沿 y 轴向上平移 2 个单位 Ｄ. 沿 x 轴向左平移 1 个单位，再沿 y 轴向下平移 2 个单位 二、填空题 7. 若 y＝x＋a 与 y＝bx－2 互为反函数，则 a＝ ,b＝ . 8. 若 y＝g(x)的图像与函数 f(x)＝ x x 2 1 的图像关于直线 y＝x 对称，则 g(x)＝ ． 9. 函数 f(x)＝ 3 1x －2 (x≤0)的反函数是 ． 10. 若点(－1,0)在函数 f(x)＝(x＋a)2＋b(x≤－a)的图像上，又在它的反函数的图像 上，则 f(x)＝ ． 三、解答题 11. 已知函数 y＝f(x)的图像如图 12－3 所示． 求：(1) 函数 y＝f(x)的解析式；(2) 函 数 y＝f -1(x)的解析式；(3) y＝f -1(x)的 定义域和值域． 图 12－3 12. 已知 f(x)＝ 1 12   x x (x≠－1)，求：(1) f -1(1),f -1(3)； (2) f[f -1(3)],f -1[f(3)]； (3) f [f -1(x)],f -1[f(x)]. 1 O 1 x y 2 2 y＝ 答 案 与 提 示 [答案] 一、 Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ａ 二、 7. 2, 1 8. x21 1  9. f -1(x)＝(x＋2)3－1 (x≤－1) 10. x2－1 (x≤0) 三、11. 2 1 x， （－2≤x＜0）, 2x， （－1≤x＜0）, 2－2x， （0≤x≤1）, 1－ x,（0≤x≤2）． (3) 定义域为[－1,2],值域为[－2,1]. 12. (1) f -1(1)＝0, f -1(3)＝－2； (2) f[f -1(3)]＝3, f -1[f(3)]＝3； (3) f[f -1(x)]＝x (x≠2), f -1[f(x)]＝x (x≠1). [提示] 一、 1. f(x)＝(x＋1)2＋3≥4 (x≥0)． 4. y＝f -1(x)在[0,＋∞)上不一定都有意义． 二、 9. f(x)＝ 3 1x －2≤－1 (x≤0). 10. 将(－1,0)和(0,－1)分别代入 y＝(x＋a)2＋b. 三、11. (2) 可以作出 y＝f -1(x)的图像再求 f -1(x)，也可以分段求出 f -1(x)再合成． 12. (1) 1＝ 1 12   x x ，x＝0，f -1(1)＝0. 3＝ ，x＝－2，f -1(3)＝－2.或求出 f -1(x)＝ x x   2 1 再求值． (3) y＝2－ 1 1 x ≠2, x＝ y y   2 1 , f -1(x)＝ (x≠2)． f[f -1(x)]＝ 1)( 1)(2 1 1     xf xf ＝ 12 1 12 12     x x x x ＝ )2()1( )2()1(2 xx xx   ＝x (x≠2)． f -1[f(x)]＝ )(2 1)( xf xf   ＝ 1 122 11 12     x x x x ＝ )12()1(2 )1()12(   xx xx ＝x (x≠－1)． (1) f(x)＝ (2) f -1(x)＝