广东省潮州市中考数学模拟试卷含答案解析

广东省潮州市中考数学模拟试卷含答案解析

‎2016年广东省潮州市中考数学模拟试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.‎ ‎1．下列图形中，不是中心对称图形但是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．图中三视图所对应的直观图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某城市2012年底已有绿化面积380公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2014年底增加到480公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　　）‎ A．380（1+x）2=480 B．380（1+2x）=480‎ C．380（1+x）3=480 D．380+380（1+x）+380（1+x）2=480‎ ‎4．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）‎ A． = B． = C． = D． =‎ ‎6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6 cm，OD=4 cm．则DC的长为（　　）‎ A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm ‎7．抛物线y=2x2﹣4的顶点坐标是（　　）‎ A．（1，﹣2） B．（0，﹣2） C．（1，﹣3） D．（0，﹣4）‎ ‎8．关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（　　）‎ A．必经过点（1，1）‎ B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 ‎9．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（　　）‎ A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5‎ ‎10．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（　　）‎ A．8 B．9.5 C．10 D．11.5‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是　　　　　　．‎ ‎12．在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是　　　　　　．‎ ‎13．若正六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为　　　　　　．‎ ‎14．如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD=5m，AD=15m，ED=3m，则A、B两点间的距离为　　　　　　m．‎ ‎15．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=　　　　　　．‎ ‎16．如图，⊙O的半径为2，OA=4，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC，图中阴影部分的面积为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．解方程：x2﹣6x+3=0．‎ ‎18．计算： +2﹣1+cos60°﹣3tan30°．‎ ‎19．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′．并计算点A旋转经过的路径长度．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）‎ ‎20．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端D处的俯角为60°，另一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一直线上，已知楼高AC=24米，求荷塘宽BD为多少米？‎ ‎21．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°‎ ‎①求∠ABD的度数；‎ ‎②已知OA=2，求BD的长．（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1）‎ ‎22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过一次函数y=﹣3x+3的图象与x轴、y轴的交点．求这个二次函数解析式，并直接回答该函数有最　　　　　　值（最大值或最小值）为　　　　　　．‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．‎ ‎（1）求这两个函数的解析式；‎ ‎（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．‎ ‎24．（1）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的弦AE交于BC于D．求证：AB•AC=AD•AE；‎ ‎（2）在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明．若不成立，请说明理由．‎ ‎25．直线l：y=﹣2x+2m（m＞0）与x，y轴分别交于A、B两点，点M是双曲线y=（x＞0）上一点，分别连接MA、MB．‎ ‎（1）如图，当点A（，0）时，恰好AB=AM；∠M1AB=90°试求M1的坐标；‎ ‎（2）如图，当m=3时，直线l与双曲线交于C、D两点，分别连接OC、OD，试求△OCD面积；‎ ‎（3）如图，在双曲线上是否存在点M，使得以AB为直角边的△MAB与△AOB相似？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年广东省潮州市高级实验学校中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.‎ ‎1．下列图形中，不是中心对称图形但是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．图中三视图所对应的直观图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图判断几何体．‎ ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同．‎ 只有C满足这两点．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．某城市2012年底已有绿化面积380公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2014年底增加到480公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　　）‎ A．380（1+x）2=480 B．380（1+2x）=480‎ C．380（1+x）3=480 D．380+380（1+x）+380（1+x）2=480‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程．‎ ‎【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，‎ 根据题意即可列出方程380（1+x）2=480．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值．‎ ‎【解答】解：由图可得tan∠AOB=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）‎ A． = B． = C． = D． =‎ ‎【考点】平行线分线段成比例．‎ ‎【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD∥EF，‎ ‎∴=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6 cm，OD=4 cm．则DC的长为（　　）‎ A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm ‎【考点】垂径定理；勾股定理．‎ ‎【分析】首先连接OA，由半径OC⊥AB，AB=6cm，根据垂径定理的即可求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得半径的长，继而求得DC的长．‎ ‎【解答】解：连接OA，‎ ‎∵半径OC⊥AB，‎ ‎∴AD=BD=AB=×6=3（cm），‎ ‎∵OD=4cm，‎ ‎∴OA==5（cm），‎ ‎∴OC=OA=5cm，‎ ‎∴DC=OC﹣OD=5﹣4=1（cm）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．抛物线y=2x2﹣4的顶点坐标是（　　）‎ A．（1，﹣2） B．（0，﹣2） C．（1，﹣3） D．（0，﹣4）‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（　　）‎ A．必经过点（1，1）‎ B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 ‎【考点】反比例函数的性质；轴对称图形；中心对称图形．‎ ‎【分析】把（1，1）代入得到左边≠右边；k=4＞0，图象在第一、三象限；根据轴对称的定义沿X轴对折不重合；根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可．‎ ‎【解答】解：A、把（1，1）代入得：左边≠右边，故A选项错误；‎ B、k=4＞0，图象在第一、三象限，故B选项错误；‎ C、沿x轴对折不重合，故C选项错误；‎ D、两曲线关于原点对称，故D选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（　　）‎ A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由已知得：，‎ 解得：a≥1且a≠5．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（　　）‎ A．8 B．9.5 C．10 D．11.5‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．‎ ‎【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；△ABE是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得AG=2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE=2AG=4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．‎ ‎【解答】解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，‎ ‎∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，‎ ‎∴∠BAF=∠F，‎ ‎∴∠DAF=∠F，‎ ‎∴AD=FD，‎ ‎∴△ADF是等腰三角形，‎ 同理△ABE是等腰三角形，‎ AD=DF=9；‎ ‎∵AB=BE=6，‎ ‎∴CF=3；‎ ‎∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得：AG=2，‎ 又BG⊥AE，‎ ‎∴AE=2AG=4，‎ ‎∴△ABE的周长等于16，‎ 又∵▱ABCD ‎∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，‎ ‎∴△CEF的周长为8．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是　　．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】利用列举法，列举出出现的各种可能情况，根据概率公式即可求解．‎ ‎【解答】解：用列举法表示出各种可能：‎ 则共有4种情况，而全部正面朝上的只有一种，则概率是：．‎ 故答案是：．‎ ‎　‎ ‎12．在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是　k＞﹣3　．‎ ‎【考点】反比例函数的性质．‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k+3＞0，解可得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：根据题意，在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，‎ 即可得k+3＞0，‎ 解得k＞﹣3．‎ 故答案为k＞﹣3．‎ ‎　‎ ‎13．若正六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为　2　．‎ ‎【考点】正多边形和圆．‎ ‎【分析】首先根据题意作出图形，由正六边形的性质，易得△BOC是等边三角形，然后由三角函数的性质，可求得OB的值，继而可求得答案．‎ ‎【解答】解：如图所示，连接OB、OC；‎ ‎∵此六边形是正六边形，‎ ‎∴∠BOC==60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴△BOC是等边三角形，‎ ‎∴∠OBC=60°，‎ ‎∵OH=，‎ ‎∴在Rt△OBH中，OB===2，‎ ‎∴OB=OC=BC=2，即这个正六边形的半径为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD=5m，AD=15m，ED=3m，则A、B两点间的距离为　20　m．‎ ‎【考点】相似三角形的应用．‎ ‎【分析】根据CD∥AB可得△CDE∽△BAE，再根据其相似比解答．‎ ‎【解答】解：∵CD∥AB，‎ ‎∴△ABE∽△DCE，‎ ‎∴CD：AB=DE：AE，‎ ‎∴5：AB=3：12，‎ ‎∴AB=20m．‎ 答：A、B两点间的距离为20m．‎ ‎　‎ ‎15．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=　5　．‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，cosB=，‎ ‎∴sinB=，tanB==．‎ ‎∵在Rt△ABD中AD=4，‎ ‎∴AB=．‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵tanB=，‎ ‎∴AC=×=5．‎ ‎　‎ ‎16．如图，⊙O的半径为2，OA=4，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC，图中阴影部分的面积为　　．‎ ‎【考点】切线的性质；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】首先连接OB，OC，由⊙O的半径为2，OA=4，AB切⊙O于B，易求得∠AOB=60°，又由弦BC∥OA，可得△BOC是等边三角形，且S△ABC=S△OBC，则可得S阴影=S扇形BOC==．‎ ‎【解答】解：连接OB，OC，‎ ‎∵弦BC∥OA，‎ ‎∴S△ABC=S△OBC，‎ ‎∵AB切⊙O于B，‎ ‎∴OB⊥AB，‎ ‎∵⊙O的半径为2，OA=4，‎ ‎∴sin∠OAB===，‎ ‎∴∠OAB=30°，‎ ‎∴∠AOB=90°﹣∠OAB=60°，‎ ‎∵弦BC∥OA，‎ ‎∴∠OBC=∠AOB=60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠BOC=60°，‎ ‎∴S阴影=S扇形BOC==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．解方程：x2﹣6x+3=0．‎ ‎【考点】解一元二次方程-公式法．‎ ‎【分析】找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．‎ ‎【解答】解：这里a=1，b=﹣6，c=3，‎ ‎∵△=b2﹣4ac=36﹣12=24，‎ ‎∴x==3±，‎ 则x1=3+，x2=3﹣．‎ ‎　‎ ‎18．计算： +2﹣1+cos60°﹣3tan30°．‎ ‎【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三、四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=2++﹣3×‎ ‎=2+1﹣‎ ‎=+1．‎ ‎　‎ ‎19．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′．并计算点A旋转经过的路径长度．‎ ‎【考点】作图-旋转变换．‎ ‎【分析】利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B′C′，由于点A旋转经过的路径是以点O为圆心，OA为半径，圆心角为90°的弧，所以利用弧长公式可计算出点A旋转经过的路径长度．‎ ‎【解答】解：如图，△A′B′C′为所作；‎ OA==，‎ 所以A旋转经过的路径长度==π．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）‎ ‎20．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端D处的俯角为60°，另一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一直线上，已知楼高AC=24米，求荷塘宽BD为多少米？‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】由三角函数分别求出BC、CD，即可得出BD的长．‎ ‎【解答】解：由题意知：∠CAB=90°﹣30°=60°，△ABC是直角三角形，‎ 在Rt△ABC中，tan60°=，‎ ‎∴BC=AC•tan60°=24米，‎ ‎∵∠CAD=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴CD=AC1tan30°=24×=8（米），‎ ‎∴BD=BC﹣CD=24﹣8=16（米）；‎ 答：荷塘宽BD为16米．‎ ‎　‎ ‎21．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°‎ ‎①求∠ABD的度数；‎ ‎②已知OA=2，求BD的长．（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1）‎ ‎【考点】圆周角定理；解直角三角形．‎ ‎【分析】①根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠C=40°，然后利用互余计算∠ABD；‎ ‎②在Rt△ABD中利用正弦的定义计算BD的长．‎ ‎【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∵∠A=∠C=40°，‎ ‎∴∠ABD=90°﹣∠A=50°；‎ ‎②在Rt△ABD中，AB=2OA=4，‎ ‎∵sinA=，‎ ‎∴BD=4sin40°=4×0.64≈2.6．‎ ‎　‎ ‎22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过一次函数y=﹣3x+3的图象与x轴、y轴的交点．求这个二次函数解析式，并直接回答该函数有最　小　值（最大值或最小值）为　﹣1　．‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】首先求得y=﹣3x+3与x轴、y轴的交点坐标，利用待定系数法求得二次函数的解析式，然后求得最值．‎ ‎【解答】解：在y=﹣3x+3中令x=0，则y=3，则y=﹣3x+3与y轴的交点是（0，3）；‎ 在y=﹣3x+3中，令y=0，则﹣3x+3=0，解得x=1，则与x轴的交点是（1，0）；‎ 根据题意得：，‎ 解得：，‎ 则二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．‎ 则函数有最小值是﹣1．‎ 故答案是：小，﹣1．‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．‎ ‎（1）求这两个函数的解析式；‎ ‎（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．‎ ‎【考点】反比例函数综合题．‎ ‎【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；‎ ‎（2）交点A、C的坐标是方程组的解，解之即得；‎ ‎（3）从图形上可看出△AOC的面积为两小三角形面积之和，根据三角形的面积公式即可求出．‎ ‎【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，‎ 则S△ABO=•|BO|•|BA|=•（﹣x）•y=，‎ ‎∴xy=﹣3，‎ 又∵y=，‎ 即xy=k，‎ ‎∴k=﹣3．‎ ‎∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；‎ ‎（2）由y=﹣x+2，‎ 令x=0，得y=2．‎ ‎∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），‎ A、C两点坐标满足 ‎∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），‎ ‎∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=OD•（|x1|+|x2|）=×2×（3+1）=4．‎ ‎　‎ ‎24．（1）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的弦AE交于BC于D．求证：AB•AC=AD•AE；‎ ‎（2）在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明．若不成立，请说明理由．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．‎ ‎【分析】（1）要证明AB•AC=AD•AE成立，只要能证得，要用AB=AC，结合圆，等弧对等角，观察本题无平行关系，首先考虑三角形的相似．连接CE，可证明△AEC∽△ACD，问题解决．‎ ‎（2）假设结论仍成立，考虑作辅助线，看是否有三角形相似，能说明与AB•AC=AD•AE有关的成比例的线段关系．连接BE，可证得△AEB∽△ABD，进而可使问题解决．‎ ‎【解答】（1）证明：连接CE，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠AEC=∠ACD；‎ 又∵∠EAC=∠DAC，‎ ‎∴△AEC∽△ACD，‎ ‎∴，即AC2=AD•AE；‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴AB•AC=AD•AE．‎ ‎（2）答：上述结论仍成立．‎ 证明：连接BE，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠AEB=∠ABD；‎ 又∵∠EAB=∠DAB ‎∴△AEB∽△ABD，‎ ‎∴，即AB2=AD•AE．‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴AB•AC=AD•AE．‎ ‎　‎ ‎25．直线l：y=﹣2x+2m（m＞0）与x，y轴分别交于A、B两点，点M是双曲线y=（x＞0）上一点，分别连接MA、MB．‎ ‎（1）如图，当点A（，0）时，恰好AB=AM；∠M1AB=90°试求M1的坐标；‎ ‎（2）如图，当m=3时，直线l与双曲线交于C、D两点，分别连接OC、OD，试求△OCD面积；‎ ‎（3）如图，在双曲线上是否存在点M，使得以AB为直角边的△MAB与△AOB相似？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】反比例函数综合题．‎ ‎【分析】（1）把A的坐标代入直线的解析式即可求得m的值，然后证明△OAB≌△EMA，求得ME和AE的长，则M1的坐标即可求解；‎ ‎（2）解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，即可求得C和D的坐标，作DF⊥y轴于点F，CG⊥y轴，根据S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG﹣S△ODF求解；‎ ‎（3）需要分类讨论：以∠BAM和∠ABM为直角两种情况．以∠BAM为例进行解答：作MH⊥x轴于点H，根据△AOB∽△MAB求得AM的长，然后证明△AOB∽△MHA，根据相似三角形的性质求得AH和MH的长，进而求得M的坐标，然后判断M是否在反比例函数的图象上即可．‎ ‎【解答】解：（1）把A（，0）代入y=﹣2x+2m得：﹣ +2m=0，‎ 解得：m=．‎ 则直线的解析式是：y=﹣2x+，‎ 令x=0，解得y=，‎ 则B的坐标是（0，）．‎ 作ME⊥x轴于点E．‎ ‎∵∠BAM=90°，‎ ‎∴∠BAO+∠MAE=90°，‎ 又∵直角△AEM中，∠AME+∠MAE=90°，‎ ‎∴∠BAO=∠AME．‎ 在△OAB和△EMA中，‎ ‎，‎ ‎∴△OAB≌△EMA（AAS），‎ ‎∴ME=OA=，AE=OB=．‎ ‎∴OE=OA+AE=2，‎ 则M1的坐标是（2，）；‎ ‎（2）当m=3时，一次函数的解析式是y=﹣2x+6．‎ 解不等式组，‎ 解得：或，‎ 则D的坐标是（1，4），C的坐标是（2，2）．‎ 作DF⊥y轴于点F，CG⊥y轴，则F和G的坐标分别是（0，4），（0，2）．‎ 则S△OCG=S△ODF=×4=2，‎ S梯形CDFG=（1+2）×（4﹣2）=3，‎ 则S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG﹣S△ODF=3；‎ ‎（3）作MH⊥x轴于点H．‎ 则△AOB、△ABM、△BMH都是两直角边的比是1：2的直角三角形．‎ ‎①当∠BAM=∠BOA=90°时，OA=m，OB=2m，得：‎ AM=AB=m，MH=OA=；‎ 从而得到点M的坐标为（2m， m）．‎ 代入双曲线解析式为： =m，‎ 解得：m=2，则点M的坐标为（4，1）；‎ 同理当∠BAM=∠OBA时，可求得点M的坐标为（，）．‎ ‎②当∠ABM=90°时，过点M作MH⊥y轴于点H，则△AOB、△ABM、△AMH都是直角边的比是1：2的直角三角形；‎ 当∠AMB=∠OAB时，OB=m，OA=2m，‎ 得：AH=2OB=2m，MH=2OA=4m，‎ 从而点M的坐标为（4m，4m）‎ 代入双曲线的解析式得：4m•4m=4，‎ 解得：m=，点M的坐标为（2，2）；‎ 同理，当∠AMB=∠OBA时，点M的坐标为（，）．‎ 综上所述，满足条件的点M的坐标是：（4，1），（，）或（2，2），（，）．‎ ‎　‎ ‎2016年5月30日