【数学】2018届一轮复习北师大版直线与圆教案
第1讲 直线与圆
直线的方程 自主练透 夯实双基
1．直线方程五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)．
(2)斜截式：y＝kx＋b.
(3)两点式：＝(x1≠x2，y1≠y2)．
(4)截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
2．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：
|AB|＝.
(2)点到直线的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行直线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
3．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
[题组通关]
1．设直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C [解析] 由于两直线方程中的常数项之比为－1，故两直线平行的充要条件是＝≠
－1.由＝，得m(m－1)＝2，解得m＝2或m＝－1.当m＝－1时，＝＝－1，两直线重合，所以两直线平行的充要条件是m＝2.所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．
2．在△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1
0，表示以为圆心，为半径的圆．
(1)(2016·高考浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．
(2)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
(3)(2016·南宁模拟)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与y轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的标准方程为________．
【解析】 (1)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．
(2)设圆心为(a，0)(a＞0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
(3)直线x－y＋1＝0与y轴的交点为(0，1)，所以圆C的圆心为(0，1)，因为圆C与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径r＝＝2，所以圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝8.
【答案】 (1)(－2，－4) 5 (2)(x－2)2＋y2＝9
(3)x2＋(y－1)2＝8
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．
[题组通关]
1．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
A [解析] y′＝′＝－，令－＝－2，得x＝1，得平行于直线2x＋y＋1＝0的曲线y＝(x>0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x＋y＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
2．已知圆C过点(－1，0)，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y＝x＋1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程是________．
[解析] 设圆心C(a，0)(a<0)，则圆的半径r＝|a＋1|，圆心到直线l的距离d＝，所以|a＋1|2＝＋2，即|a＋1|＝2，解得a＝－3(a＝1舍去)，所以所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝4.
[答案] (x＋3)2＋y2＝4
直线与圆、圆与圆的位置关系 共研典例 类题通法
1．直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．
2．圆与圆的位置关系的判定
(1)d＞r1＋r2⇔两圆外离；
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交；
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．
(1)(2016·高考山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．3 B.
C．2 D．2
【解析】 (1)由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2 ＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．
(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，
所以圆心为(0，1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，
所以若四边形PACB的最小面积是2，
则S△PBC的最小值为1.
而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值为2，
此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，
此时d＝＝＝，
即k2＝4，
因为k>0，所以k＝2.
【答案】 (1)B (2)D
解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
[题组通关]
1．已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
A [解析] 对于直线方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，则必有x＝2，
所以该直线恒过定点P(2，3)．
设圆心是C，则易知C(1，2)，
所以kCP＝＝1，
由垂径定理知CP⊥MN，所以kMN＝－1.
又弦MN过点P(2，3)，
故弦MN所在直线的方程为
y－3＝－(x－2)，
即x＋y－5＝0.
2．(2016·高考全国卷丙)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|＝________．
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，0)，D(x4，0)，由x－y＋6＝0，得x＝y－6，代入圆的方程，并整理，得y2－3y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝，所以x1＝0，x2＝－3，所以直线AC的方程为y－2＝－x，令y＝0得x3＝2，直线BD的方程为y－＝－(x＋3)，令y＝0得x4＝－2，则|CD|＝|x3－x4|＝4.
[答案] 4
3．(2016·太原模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为________．
[解析] 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为C(1，2)，半径r＝，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PC⊥AB.在△PAC中，∠APC＝30°，由正弦定理得＝，所以|PC|＝2sin∠PAC≤2，故|PC|的最大值为2.
[答案] 2
课时作业
1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. B．4
C. D．2
C [解析] 因为l1∥l2，得＝≠，
解得a＝－1，
所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
所以l1与l2的距离d＝＝.
2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
C [解析] 圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，所以m＝6.
3．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：y＝kx＋1与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( )
A．1 B．2
C．－1 D．0
D [解析] 由题意知圆心到直线l的距离等于r＝1(r为圆C的半径)，所以＝1，解得k＝0.
4．(2016·石家庄第一次模考)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A.或－1 B．－1
C．1或－1 D．1
C [解析] 由题意得圆心(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离为，所以＝，解得a＝±1，故选C.
5．(2016·重庆第一次适应性测试)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y＝2x＋b分圆C的内部为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝( )
A．－ B．±
C．－ D．±
D [解析] 记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，圆心C到y轴的距离为1，且|CA|＝|CB|＝，则CA⊥CB，因此圆心C(1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是有＝1，解得b＝±，选D.
6．(2016·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A(0，2)，若直线l上存在点M满足|MA|2＋|MO|2＝10(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是( )
A．(－－1，－1)
B．[－－1，－1]
C．(－2－1，2－1)
D．[－2－1，2－1]
D [解析] 设M(x，y)，因为|MA|2＋|MO|2＝10，所以x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，即x2＋(y－1)2＝4，由于点M在直线l上，所以直线x＋y＋a＝0与圆x2＋(y－1)2＝4相交或相切时满足题意，即≤2，解得－2－1≤a≤2－1.
7．若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
[解析] 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m)．
又因为圆与直线y＝1相切，
所以＝|1－m|，
所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－，
所以圆的方程为(x－2)2＋＝.
[答案] (x－2)2＋＝
8．(2016·高考全国卷乙)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
[解析] 圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.
[答案] 4π
9．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________.
[解析] 对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆C1的圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即＝5，则m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．
[答案] －5或2
10．已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为________．
[解析] 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，故10－a>0，即a<10.圆心(1，2)
到直线3x－4y－15＝0的距离为4.数形结合可得，当圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1时，圆的半径r满足30)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
[解] (1)设圆心C(a，b)，则
解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，
将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
令x＝cos θ，y＝sin θ，
则·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2.
所以·的最小值为－4.
13．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
[解] (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.
14．(2016·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设圆心C(a，0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C：x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
