备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题39 数列与数学归纳法

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题39 数列与数学归纳法

专题39 数列与数学归纳法 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.‎ ‎1、数学归纳法适用的范围：关于正整数的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明 ‎2、第一数学归纳法：通过假设成立，再结合其它条件去证成立即可.证明的步骤如下：‎ ‎（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立 ‎（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立 ‎（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立 ‎3、第一归纳法要注意的地方：‎ ‎（1）数学归纳法所证命题不一定从开始成立，可从任意一个正整数开始，此时归纳验证从开始 ‎ ‎（2）归纳假设中，要注意，保证递推的连续性 ‎（3）归纳假设中的，命题成立，是证明命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找与的联系 ‎4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设命题成立时，可用的条件只有，而不能默认其它的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设，命题均成立，然后证明命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：‎ ‎（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立 ‎（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立 ‎（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立.‎ ‎5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n的初始值n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2019届重庆市第一中学5月月考】已知为正项数列的前项和，‎ 26‎ ‎，记数列的前项和为，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意首先求得，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.‎ 详解：由题意结合，‎ 以下用数学归纳法进行证明：‎ 当时，结论是成立的，‎ 假设当时，数列的通项公式为：，则，‎ 由题意可知：，‎ 结合假设有：，解得：，‎ 综上可得数列的通项公式是正确的.‎ 据此可知：，，‎ 利用等差数列前n项和公式可得：，‎ 则，‎ 26‎ 结合对勾函数的性质可知，当或时，取得最小值，‎ 当时，‎ 当时，‎ 由于，据此可知的最小值为.‎ 点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ 例2. 设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an－2 (n∈N*)‎ ‎（1）求的值，并由此猜想数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16. ‎ 由此猜想： (n∈N*)． ‎ ‎ (2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立． ‎ ‎②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即， ‎ 那么n＝k＋1时，‎ ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak ‎ 26‎ ‎∴ak＋1=2ak， ‎ 这表明n＝k＋1时，猜想成立，‎ 由①②知猜想 成立．‎ 点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.‎ 例3．已知数列满足：，.‎ ‎（Ⅰ）试求数列，，的值；‎ ‎（Ⅱ）请猜想的通项公式，并运用数学归纳法证明之.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ， ， . ‎ ‎（Ⅱ），证明见解析.‎ 由此猜想. ‎ 下面用数学归纳法证明之： ‎ 当 时，，结论成立； ‎ 假设时，结论成立，即有， ‎ 则对于时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 26‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴当时，结论成立.‎ 综上，可得对， 成立 点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：‎ ‎1、第一步：归纳奠基（即验证时成立）；‎ 第二步：归纳递推（即假设时成立，验证时成立）； ‎ ‎3、两个条件缺一不可，在验证时成立时一定要用到归纳假设时的结论，最后得到的形式应与前面的完全一致.‎ 例4.【2019届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）．　‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：是等差数列；‎ ‎（3）设，记数列的前项和为，求证： ．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简，由可得是等差数列；（3）由（2）可得，从而可得，先证明，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.‎ 26‎ ‎（2）由，得，‎ 所以，‎ 即，‎ 即，‎ 所以，数列是等差数列．‎ ‎（3）由（2）知，，‎ ‎∴，‎ 因此，‎ 当时，，‎ 即时，，‎ 所以时，，‎ 26‎ 显然，只需证明，即可．‎ 当时， ．‎ 例5.已知函数 ‎（1）若函数在处切线斜率为，，已知，求证：‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：‎ ‎【答案】见解析 下面用数学归纳法证明：‎ 当时，成立 假设成立，则时 ‎ ‎ 时，不等式成立 26‎ ‎（2）‎ 由（1）可知 ‎ 例6．【浙江省绍兴市2019届5月调测】已知数列中.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 详解：（1）数学归纳法：①当时，，，显然有.‎ ‎②假设当，结论成立，即，‎ 那么，，‎ 即，‎ 26‎ 综上所述成立. ‎ ‎（2）由（1）知：，，‎ 即 ，；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．‎ 例7．【福建省南平市2019届5月检查】己知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最小值为-1，，数列满足，，记，表示不超过的最大整数．证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.‎ 26‎ 详解：（Ⅰ）函数的定义域为.‎ ‎1、当时，，即在上为增函数；‎ ‎2、当时，令得，即在上为增函数；‎ 同理可得在上为减函数.‎ ‎（Ⅱ）Q有最小值为-1，由（Ⅰ）知函数的最小值点为，‎ 即，则，‎ 令，‎ 当时，，故在上是减函数 所以当时 ‎∵，∴.（未证明，直接得出不扣分）‎ 则.由得，‎ 从而.∵，∴.‎ 猜想当时，.‎ 下面用数学归纳法证明猜想正确.‎ ‎1、当时，猜想正确.‎ ‎2、假设时，猜想正确.‎ 即时，.‎ 26‎ 当时，有，‎ 由（Ⅰ）知是上的增函数，‎ 则，即，‎ 例8.已知函数，在原点处切线的斜率为，数列满足为常数且，．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）计算，并由此猜想出数列的通项公式；‎ ‎（3）用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎【答案】（1）；（2） ；（3）证明见解析．‎ ‎（2），则，‎ 26‎ ‎，，‎ 由此猜想数列的通项公式应为．‎ ‎（3）①当时，猜想显然成立，‎ ‎②假设时，猜想成立，即，‎ 则当时，，‎ 即当时，猜想成立．由①②知，对一切正整数都成立．‎ 例9.已知数列是等差数列，. ‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设数列的通项 (其中且)记是数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，,当时，，证明见解析.‎ 详解：(1) 设数列{bn}的公差为d,‎ 由题意得,∴bn=3n－2 .‎ ‎(2)证明：由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)‎ 26‎ ‎=loga［(1+1)(1+)…(1+ )］‎ 而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1 的大小 比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小 ‎ 取n=1，有(1+1)=‎ 取n=2，有(1+1)(1+‎ 推测 (1+1)(1+)…(1+)＞ (*) ‎ ‎①当n=1时，已验证(*)式成立 ‎ ‎②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞‎ 则当n=k+1时，‎ ‎ ‎ ‎,‎ 即当n=k+1时，(*)式成立 由①②知，(*)式对任意正整数n都成立 于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1 ,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1 .‎ 例10.【2019年浙江省高考模拟】已知数列满足： .‎ 证明：当时，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 26‎ 由数列的递推式，以及（2）的结论可得，根据等比数列的通项公式即可证明，再结合已知可得，即可证明不等式成立.‎ 详解：（1）数学归纳法证明： ‎ 当时， 成立 假设时，成立，那么时，假设，‎ 则，矛盾 所以，故得证 所以，故 ‎（2）由 得 ‎ 设 则 ‎ 26‎ ‎（3）由（2）得，则 ‎ 所以 又，所以，所以，故 所以，所以 ‎【精选精练】‎ ‎1．用数学归纳法证明“”时，由时等式成立推证时，左边应增加的项为__________ .‎ ‎【答案】‎ 点睛：‎ 26‎ 项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.‎ ‎2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n项为 x+kw ‎3．已知数列中，且.‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）根据（1）的结果猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；‎ ‎（3）若，且，求.‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.‎ ‎（2）由此猜想. ‎ ‎ 下面用数学归纳法加以证明：‎ ‎①当时，由（1）知成立； ‎ ‎②假设，结论成立，即成立.‎ 则当时，有，即 ‎ ‎ 26‎ 即时，结论也成立； ‎ 由①②可知，的通项公式为. ‎ ‎（3）由（2）知，‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎4．已知数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.‎ 26‎ 由此猜想，‎ ‎（2）下面用数学归纳法证明，‎ ‎①当时，显然成立，‎ ‎②假设当时猜想成立，即，‎ 由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时猜想也成立，‎ 由①和②，可知猜想成立，即.‎ 点睛：（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2）看到或，要注意联想到项和公式解题.‎ ‎5．已知数列满足，.‎ ‎（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.‎ 由此猜想；‎ ‎（2）下面用数学归纳法证明，‎ 26‎ ‎①当时，显然成立，‎ ‎②假设当时猜想成立，即，‎ 由题意得，∴当时猜想也成立；‎ 由①和②，可知猜想成立，即.‎ ‎6．已知数列满足且.‎ ‎（1）计算、、的值，由此猜想数列的通项公式； ‎ ‎（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．‎ ‎【答案】（1），；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,，将代入上式计算出、、的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于，用数学归纳法证明即可.①当时，证 即当时，结论也成立， ‎ 由①②得，数列的通项公式为.‎ ‎7．在数列中，，，，， ．‎ ‎（）计算，，的值．‎ ‎（）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎【答案】（1），，；（2），证明见解析.‎ 26‎ ‎（）由（）可猜想：，证明：当时，，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时， ，即当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数，．‎ ‎8．已知数列数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn为其前n项和．‎ ‎(1)求S1，S2，S3，S4的值；‎ ‎(2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎【答案】(1)S1＝－1，S2＝2，S3＝－3，S4＝4；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)根据，代入计算，可求的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验时等式成立，假设时命题成立，证明时命题也成立即可.‎ 试题解析：(1)依题意可得S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4；‎ ‎(2)猜想：Sn＝(－1)n·n.‎ 证明：①当n＝1时，猜想显然成立；‎ ‎②假设当n＝k时，猜想成立，即Sk＝(－1)k·k，‎ 那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝(－1)k·k＋ak＋1＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1·(k＋1)．‎ 即n＝k＋1时，猜想也成立．‎ 故由①和②可知，猜想成立.‎ ‎【方法点睛】本题考查归纳推理以及数学归纳法的应用，属于中档题.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,‎ 26‎ 观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.通过不完全归纳法发现的规律，用数学归纳法加以证明才能应用.‎ ‎9．设， ，令， ， .‎ ‎（1）写出， ， 的值，并猜想数列的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)a1＝1，a2＝，a3＝；a4＝，猜想an＝ （n∈N+）；(2)证明见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵a1＝1，‎ ‎∴a2＝f（a1）＝f（1）＝，‎ a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，‎ 猜想an＝ （n∈N+）；‎ ‎（2）证明：①易知，n＝1时，猜想正确. ‎ ‎②假设n＝k时猜想正确，即ak＝，‎ 26‎ 则ak＋1＝f（ak）＝=.‎ 这说明n＝k＋1时猜想正确. ‎ 由①②知，对于任何n∈N+，都有an＝.‎ 点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．‎ ‎10.【2017浙江，22】已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．‎ 证明：当时，‎ ‎（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；‎ ‎（Ⅱ）2xn+1− xn≤；‎ ‎（Ⅲ）≤xn≤．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由得 26‎ ‎【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明．‎ ‎11．【2019届浙江省名校协作体高三上学期联考】已知无穷数列的首项， .‎ ‎（Ⅰ）证明： ；‎ ‎（Ⅱ） 记， 为数列的前项和，证明：对任意正整数， .‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】试题分析; （I）运用数学归纳法推理论证，‎ ‎（Ⅱ）由已知，即，可得数列为递增数列.‎ 又 ，易知为递减数列，‎ 26‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：①当时显然成立；‎ ‎②假设当 时不等式成立，即，‎ 那么当时， ，所以，‎ 即时不等式也成立.‎ 综合①②可知， 对任意成立. ‎ ‎（Ⅱ），即，所以数列为递增数列.‎ 又 ，易知为递减数列，‎ 所以也为递减数列，‎ 所以当时， ‎ 所以当时， ‎ 当时， ，成立；‎ 当时， ‎ ‎ ‎ 综上，对任意正整数， ‎ 26‎ ‎12．已知，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎（3）若是展开式中所有无理项的二项式系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明:.‎ ‎【答案】（1）. （2）165.（3）见解析.‎ 所以 .‎ ‎（3）因为，所以要得无理项，必为奇数，‎ 所以， ‎ 要证明，‎ 只要证明，用数学归纳法证明如下：‎ ‎（Ⅰ）当时，左边=右边，‎ 当时，，‎ ‎∴时，不等式成立.‎ 26‎ ‎ ‎ 综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切均成立.‎ ‎∴不等式成立 . ‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用、初等函数求导公式以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.‎ 26‎