【数学】2020届一轮复习苏教版指数与对数学案

【数学】2020届一轮复习苏教版指数与对数学案

‎§2.5　指数与对数 考情考向分析　幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，对数的概念和运算性质，换底公式等是研究指数函数、对数函数的前提，在高考中涉及面比较广．‎ ‎1．根式 ‎(1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根 n>1且n∈N*‎ 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数 ‎0的n次实数方根是0‎ 当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数 ‎± 负数没有偶次方根 ‎(2)两个重要公式 ‎①＝(n为偶数)；‎ ‎②()n＝a(注意a必须使有意义)．‎ ‎2．有理指数幂 ‎(1)分数指数幂的表示 ‎①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；‎ ‎②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；‎ ‎③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．‎ ‎(2)有理指数幂的运算性质 ‎①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；‎ ‎②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；‎ ‎③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．‎ ‎3．对数的概念 ‎(1)对数的定义 ‎①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．‎ ‎②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0.‎ ‎(2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1)‎ logaN 常用对数 底数为10‎ lg N 自然对数 底数为e ln N ‎4.对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的性质 ‎①＝N(a>0且a≠1，N>0)；‎ ‎②logaaN＝N(a>0且a≠1)．‎ ‎(2)对数的重要公式 ‎①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；‎ ‎②logab＝(a，b均大于零且不等于1)．‎ ‎(3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM(n∈R)；‎ ‎④＝logaM.‎ 概念方法微思考 根据对数的换底公式，‎ ‎(1)思考logab，logba的关系；‎ ‎(2)化简.‎ 提示　(1)logab·logba＝1；‎ ‎(2)＝logab.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)＝()n＝a(n∈N*)．(　×　)‎ ‎(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　)‎ ‎(3)2a·2b＝2ab.(　×　)‎ ‎(4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)‎ ‎(5)若lg x2＝1，则x＝.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P61例2]计算：＝ .‎ 答案　 ‎3．[P80习题T6]计算：(lg 5)2＋lg 2×lg 50＝ .‎ 答案　1‎ ‎4．[P80习题T12]已知lg 6＝a，lg 12＝b，那么用a，b表示lg 24＝ .‎ 答案　2b－a 题组三　易错自纠 ‎5．要使＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是 ．‎ 答案　[2,4)∪(4，＋∞)‎ 解析　要使原式有意义，则满足 解得2≤a<4或a>4.‎ ‎6．有下列结论：‎ ‎①lg(lg 10)＝0；‎ ‎②lg(ln e)＝0；‎ ‎③若lg x＝1，则x＝10；‎ ‎④若log22＝x，则x＝1；‎ ‎⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.‎ 其中正确结论的序号是 ．‎ 答案　①②③④⑤‎ 解析　①lg 10＝1，则lg(lg 10)＝lg 1＝0；‎ ‎②lg(ln e)＝lg 1＝0；‎ ‎③底的对数等于1，则x＝10；‎ ‎④底的对数等于1；‎ ‎⑤logmn＝，log3m＝，则＝2，‎ 即log3n＝2，故n＝9.‎ 题型一　指数幂的运算 ‎1.(a>0)的值是 ．‎ 答案　‎ 解析　＝‎ ‎2．化简：(a>0)＝ .‎ 答案　a2‎ 解析　原式＝‎ ‎3．已知x＋x－1＝3，则的值为 ．‎ 答案　2 解析　＝x＋2＋x－1＝5，‎ ‎＝(3－1)＝2.‎ ‎4．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，则＝ .‎ 答案　 解析　由已知得，a＝3＋，b＝3－，‎ 所以a＋b＝6，ab＝4，‎ 所以2＝＝＝.‎ 因为a>b>0，所以>，所以＝.‎ 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：‎ ‎①必须同底数幂相乘，指数才能相加；‎ ‎②运算的先后顺序．‎ ‎(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．‎ ‎(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．‎ 题型二　对数的运算 ‎1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝ .‎ 答案　 解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m，‎ 则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.‎ 解得m＝.‎ ‎2．计算：＝ .‎ 答案　－20‎ 解析　原式＝(lg 2－2－lg 52)×＝lg×10‎ ‎＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.‎ ‎3．计算：＝ .‎ 答案　1‎ 解析　原式 ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝＝1.‎ 思维升华 对数运算的一般思路 ‎(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．‎ ‎(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．‎ 题型三　指数与对数的综合运算 例 (1)已知均不为1的正数a，b，c满足ax＝by＝cz，且＋＋＝0，求abc的值．‎ 解　令ax＝by＝cz＝k.‎ 由已知k>0且k≠1，‎ 于是xlg a＝ylg b＝zlg c＝lg k，‎ 故＝，＝，＝.‎ 因为＋＋＝0，‎ 所以＝0，‎ 即＝0.‎ 故lg(abc)＝0，得abc＝1.‎ ‎(2)设logaC，logbC是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值．‎ 解　由题意，得即 于是有 ‎(logCa－logCb)2＝(logCa＋logCb)2－4logCa·logCb＝32－4＝5，‎ 故logCa－logCb＝±.‎ 于是＝－1＝＝±.‎ 思维升华 指数、对数的综合运算，要充分利用对数的定义、指数、对数的运算性质，建立已知条件和所求式子间的联系．‎ 跟踪训练 (1)若alog23＝1，blog35＝1，则9a＋5b＝ .‎ 答案　7‎ 解析　a＝log32，b＝log53，于是 ‎(2)方程－＝3x－1的实数解为 ．‎ 答案　x＝log32‎ 解析　原方程可化为2(3x)2＋5·3x－18＝0，‎ 即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，‎ 得x＝log32.‎ ‎(3)若log2log3x＝log3log2y＝log2log2z＝1，则x2，y3，z4从小到大的排列为 ．‎ 答案　x20)，则a2＋a＋a－2＋a－1的值为 ．‎ 答案　11＋ 解析　由a－＝3，得2＝9，‎ 即a2＋－2＝9，故a2＋a－2＝11.‎ 又(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13，‎ 且a>0，所以a＋a－1＝.‎ 于是a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋.‎ ‎4．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝ .‎ 答案　 解析　∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，‎ ‎∴3a－b＝＝.‎ ‎5．lg22·lg 250＋lg25·lg 40＝ .‎ 答案　1‎ 解析　lg22·lg 250＋lg25·lg 40‎ ‎＝lg22·＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1)‎ ‎＝lg22·(3－2lg 2)＋(lg22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1.‎ ‎6．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为 ．‎ 答案　a－2‎ 解析　log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)‎ ‎＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.‎ ‎7．若3x＝4y＝36，则＋＝ .‎ 答案　1‎ 解析　3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得 xlog63＝ylog64＝2，‎ ‎∴＝log63，＝log64，即＝log62，‎ 故＋＝log63＋log62＝1.‎ ‎8．设f(x)＝则f(f(－2))＝ .‎ 答案　 解析　因为f(－2)＝2－2＝，‎ 所以f(f(－2))＝f ＝1－＝1－＝.‎ ‎9．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝ .‎ 答案　9 解析　‎ ‎10．(2018·徐州、连云港、宿迁检测)设函数f(x)＝则f(f(－1))的值为 ．‎ 答案　－2‎ 解析　因为f(－1)＝4－1＝，‎ 所以f(f(－1))＝f ＝log2＝－2.‎ ‎11．化简下列各式：‎ ‎(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；‎ ‎(2)‎ 解　(1)原式＝＋＋－3＋ ‎＝＋100＋－3＋＝100.‎ ‎(2)原式＝‎ ‎＝÷＝.‎ ‎12．若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求的值．‎ 解　由已知得lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，‎ 则(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0，‎ 也即(x－2y)(x＋y)＝0.‎ 因为x>0，y>0，所以x＋y>0，于是有x＝2y，即＝2.‎ ‎13．若a>1，b<0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b＝ .‎ 答案　－2‎ 解析　∵a>1，b<0，∴01.‎ 又(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，‎ ‎∴a2b＋a－2b＝6，‎ ‎∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，‎ ‎∴ab－a－b＝－2.‎ ‎14．已知loga18＝p，loga24＝q，用p，q表示loga1.5.‎ 解　依题意有即 变形为解得 所以loga1.5＝loga＝loga3－loga2‎ ‎＝－＝，‎ 即loga1.5＝.‎ ‎15．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则ab＝ .‎ 答案　8‎ 解析　∵a>b>1，∴logba>1，‎ 又由logab＋logba＝，得＋logba＝，‎ 可得logba＝2，∴a＝b2，‎ 又ab＝ba，∴b2b＝，‎ ‎∴b＝2(b＝0舍去)，∴a＝4，故ab＝8.‎ ‎16．已知m，n为正整数，a>0，a≠1，且 loga(m＋n)＝logam＋logan，求m，n的值．‎ 解　loga(m＋n)＝logam＋logan＝loga(mn)．‎ 比较真数得m＋n＝mn，即(m－1)(n－1)＝1.‎ ‎∵m，n为正整数，∴解得