【数学】2020届一轮复习(文理合用)选修4-5第1讲绝对值不等式作业

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【数学】2020届一轮复习(文理合用)选修4-5第1讲绝对值不等式作业

对应学生用书[练案 82 理][练案 71 文] 选修 4-5 不等式选讲 第一讲 绝对值不等式 1.(2018·课标Ⅱ卷)设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|(a∈R). (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若 f(x)≤1,求 a 的取值范围. [解析] (1)当 a=1 时,f(x)=Error! 可得 f(x)≥0 的解集为{x|-2≤x≤3}. (2)f(x)≤1 等价于|x+a|+|x-2|≥4. 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当 x=2 时等号成立. 故 f(x)≤1 等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4 可得 a≤-6 或 a≥2. 所以 a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 2.(2019·桂林模拟)已知函数 f(x)=|x-2a|+a. (1)当 a=2 时,求不等式 xf(x)≥8 的解集; (2)若不等式 f(x)≥|x-1|+4 有解,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)当 a=2 时,f(x)=|x-4|+2=Error! 当 x≥4 时,由 xf(x)≥8,得 x2-2x-8≥0,得 x≥4. 当 x<4 时,由 xf(x)≥8,得 x2-6x+8≤0,得 2≤x<4. 所以不等式 xf(x)≥8 的解集为{x|x≥2}. (2)由 f(x)≥|x-1|+4 有解,可得|x-2a|-|x-1|≥4-a 有解, 又|x-2a|-|x-1|≤|(x-2a)-(x-1)|=|2a-1|, 所以|2a-1|≥4-a,① 当 a≥4 时,不等式①恒成立; 当1 2≤a<4 时,不等式①可化为 2a-1≥4-a,可得5 3≤a<4; 当 a<1 2时,不等式①可化为 1-2a≥4-a,可得 a≤-3. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-3]∪[5 3,+∞). 3.(2019·福州模拟)设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>0. (2)若 f(x)+3|x-4|>|m-2|对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围. [解析] (1)当 x≥4 时,f(x)=2x+1-x+4=x+5,原不等式即 x+5>0,解得 x>-5, 又 x≥4,∴x≥4; 当-1 2≤x<4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3,原不等式即 3x-3>0, 解得 x>1,又-1 2≤x<4,∴10,解得 x<-5,∴x<- 5. 综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5}. (2)f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-(2x-8)|=9,当-1 2≤x≤4 时,等号成立, ∴f(x)+3|x-4|的最小值为 9,要使 f(x)+3|x-4|>|m-2|对一切实数 x 均成立.需|m- 2|<9. ∴m 的取值范围是(-7,11). 4.(2019·四川模拟)已知函数 f(x)=|2x-1|,x∈R. (1)解不等式 f(x)<|x|+1; (2)若对 x,y∈R,有|x-y-1|≤1 3,|2y+1|≤1 6,求证:f(x)<1. [解析] (1)∵f(x)<|x|+1,∴|2x-1|<|x|+1, 即Error!或Error!或Error! 得1 2≤x<2 或 0-2 时,x 的取值范围是{x|-2≤x≤a}; 7.(2019·西安模拟)已知函数 f(x)=|x-4|+|x-1|-3. (1)求不等式 f(x)≤2 的解集; (2)若直线 y=kx-2 与函数 f(x)的图象有公共点,求实数 k 的取值范围. [解析] (1)由 f(x)≤2,得Error!或Error!或Error!解得 0≤x≤5,故不等式 f(x)≤2 的解集 为[0,5]. (2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=Error! 作出函数 f(x)的图象,如图所示. 易知直线 y=kx-2 过定点 C(0,-2), 当此直线经过点 B(4,0)时,k=1 2; 当此直线与直线 AD 平行时,k=-2. 故由图可知,k∈(-∞,-2)∪[1 2,+∞). 8.(2019·沈阳模拟)已知函数 f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R. (1)若不等式 f(x)+|x-1|≥2 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a<2 时,函数 f(x)的最小值为 a-1,求实数 a 的值. [解析] (1)f(x)+|x-1|≥2 可化为|x-a 2|+|x-1|≥1. ∵|x-a 2|+|x-1|≥|a 2-1|,∴|a 2-1|≥1, ∴a≤0 或 a≥4,∴实数 a 的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞). (2)当 a<2 时,易知函数 f(x)=|2x-a|+|x-1|的零点分别为a 2和 1,且a 2<1, ∴f(x)=Error! 易知 f(x)在(-∞,a 2)上单调递减,在(a 2,+∞)上单调递增, ∴f(x)min=f(a 2)=-a 2+1=a-1, 解得 a=4 3,又4 3<2, ∴a=4 3.
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