2021高考数学新高考版一轮习题：专题8 第74练 高考大题突破练——直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析

2021高考数学新高考版一轮习题：专题8 第74练 高考大题突破练——直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析

‎1．(2020·唐山模拟)抛物线C：y2＝2px(p>0)，斜率为k的直线l经过点P(－4,0)，且直线l与抛物线C有公共点A，B，当k＝时，A与B重合．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若A为PB的中点，求|AB|.‎ ‎2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(1,0)．‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．‎ ‎3．(2019·娄底期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到双曲线x2－＝1的渐近线的距离为.‎ ‎(1)求该抛物线的方程；‎ ‎(2)设抛物线准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，AB的中垂线交x轴于N，求点N横坐标的取值范围．‎ ‎4．已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．‎ ‎(1)求C2的方程；‎ ‎(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．‎ 答案精析 ‎1．解　(1)当k＝时，直线l：y＝(x＋4)，即x－2y＋4＝0.‎ 此时，直线l与抛物线C相切，‎ 联立得y2－4py＋8p＝0，‎ 由Δ＝0，即16p2－32p＝0，得p＝2(p＝0舍去)，‎ 所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)直线l：y＝k(x＋4)(k≠0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得y2－y＋16＝0，‎ 则①‎ 又A为PB的中点，则y1＝y2.②‎ 由①②得k2＝，‎ 所以|AB|＝ ‎＝2.‎ ‎2．解　(1)依题意可得 解得a＝，b＝1，‎ 所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ ‎①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；‎ ‎②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．‎ 联立得方程组 消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1·x2‎ ‎＝.‎ 所以y1·y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝.‎ 因为OM⊥ON，所以·＝0.‎ 所以x1·x2＋y1·y2＝＝0，所以k＝±，‎ 即直线l的方程为y＝±(x－1)．‎ ‎3．解　(1)由题意知，F，双曲线的一条渐近线为y＝x，‎ 则＝，解得p＝2(负值舍去)．‎ 故所求抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由(1)知，M(－1,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，‎ 联立 得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0，‎ Δ＝4(k2－2)2－4k4>0，‎ 故－13，即点N横坐标的取值范围是(3，＋∞)．‎ ‎4．解　(1)由C1：x2＝4y知，其焦点F的坐标为(0,1)．‎ 因为F也是椭圆C2的一个焦点，‎ 所以a2－b2＝1，①‎ 又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，‎ 由此易知C1与C2的公共点的坐标为，‎ 所以＋＝1.②‎ 联立①②，得a2＝9，b2＝8.‎ 故C2的方程为＋＝1.‎ ‎(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．‎ 因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，‎ 于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③‎ 设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.‎ 由 得x2－4kx－4＝0.‎ 而x1，x2是这个方程的两根，‎ 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④‎ 由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，‎ 而x3，x4是这个方程的两根，‎ 所以x3＋x4＝，x3x4＝.⑤‎ 将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，‎ 即16(k2＋1)＝，‎ 所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，‎ 即直线l的斜率为±.‎