湖北省恩施州中考数学试题解析

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湖北省恩施州中考数学试题解析

湖北省恩施州2015年中考数学试卷 一、选择题(本题共12小题,每小题3分,满分36分,中每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将正确选则项请的字母代号填涂在答题卷相应位置上)‎ ‎1.﹣5的绝对值是(  )‎ ‎  A. ﹣5 B. ﹣ C. D. 5‎ 考点: 绝对值..‎ 分析: 利用绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.‎ 解答: 解:根据负数的绝对值是它的相反数,得|﹣5|=5,‎ 故选D.‎ 点评: 此题主要考查了绝对值,关键是掌握绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.‎ ‎ ‎ ‎2.恩施气候独特,土壤天然含硒,盛产茶叶,恩施富硒茶叶2013年总产量达64000吨,将64000用科学记数法表示为(  )‎ ‎  A.64×103 B. 6.4×105 C. 6.4×104 D. 0.64×105‎ 考点: 科学记数法—表示较大的数..‎ 分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ 解答: 解:64000=6.4×104,‎ 故选C.‎ 点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•恩施州)如图,已知AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=140°,则∠BCD的值为(  )‎ ‎  A.20° B. 30° C. 40° D. 70°‎ 考点: 平行线的性质..‎ 分析: 延长ED交BC于F,根据平行线的性质求出∠MFC=∠B=70°,求出∠FDC=40°,根据三角形外角性质得出∠C=∠MFC﹣∠MDC,代入求出即可.‎ 解答: 解:‎ 延长ED交BC于F,‎ ‎∵AB∥DE,∠ABC=70°,‎ ‎∴∠MFC=∠B=70°,‎ ‎∵∠CDE=140°,‎ ‎∴∠FDC=180°﹣140°=40°,‎ ‎∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°,‎ 故选B.‎ 点评: 本题考查了三角形外角性质,平行线的性质的应用,解此题的关键是求出∠MFC的度数,注意:两直线平行,同位角相等.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2015•恩施州)函数y=+x﹣2的自变量x的取值范围是(  )‎ ‎  A.x≥2 B. x>2 C. x≠2 D. x≤2‎ 考点: 函数自变量的取值范围..‎ 分析: 根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范围.‎ 解答: 解:根据题意得:x﹣2≥0且x﹣2≠0,‎ 解得:x>2.‎ 故选:B.‎ 点评: 函数自变量的范围一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2015•恩施州)下列计算正确的是(  )‎ ‎  A.4x3•2x2=8x6 B. a4+a3=a7 C. (﹣x2)5=﹣x10 D. (a﹣b)2=a2﹣b2‎ 考点: 单项式乘单项式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式..‎ 专题: 计算题.‎ 分析: A、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果,即可做出判断;‎ B、原式不能合并,错误;‎ C、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断;‎ D、原式利用完全平方公式化简得到结果,即可做出判断.‎ 解答: 解:A、原式=8x5,错误;‎ B、原式不能合并,错误;‎ C、原式=﹣x10,正确;‎ D、原式=a2﹣2ab+b2,错误,‎ 故选C 点评: 此题考查了单项式乘单项式,合并同类项,幂的乘方与积的乘方,以及完全平方公式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2015•恩施州)某中学开展“眼光体育一小时”活动,根据学校实际情况,如图决定开设“A:踢毽子,B:篮球,C:跳绳,D:乒乓球”四项运动项目(每位同学必须选择一项),为了解学生最喜欢哪一项运动项目,随机抽取了一部分学生进行调查,丙将调查结果绘制成如图的统计图,则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为(  )‎ ‎  A.240 B. 120 C. 80 D. 40‎ 考点: 条形统计图;扇形统计图..‎ 分析: 根据A项的人数是80,所占的百分比是40%即可求得调查的总人数,然后李用总人数减去其它组的人数即可求解.‎ 解答: 解:调查的总人数是:80÷40%=200(人),‎ 则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数是:200﹣80﹣30﹣50=40(人).‎ 故选D.‎ 点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2015•恩施州)如图是一个正方体纸盒的展开图,其中的六个正方形内分别标有数字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字、“数”、“学”,将其围成一个正方体后,则与“5”相对的是(  )‎ ‎  A.0 B. 2 C. 数 D. 学 考点: 专题:正方体相对两个面上的文字..‎ 分析: 正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.‎ 解答: 解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,‎ ‎“数”相对的字是“1”;‎ ‎“学”相对的字是“2”;‎ ‎“5”相对的字是“0”.‎ 故选:A.‎ 点评: 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2015•恩施州)关于x的不等式组的解集为x<3,那么m的取值范围为(  )‎ ‎  A.m=3 B. m>3 C. m<3 D. m≥3‎ 考点: 解一元一次不等式组..‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 不等式组中第一个不等式求出解集,根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可.‎ 解答: 解:不等式组变形得:,‎ 由不等式组的解集为x<3,‎ 得到m的范围为m≥3,‎ 故选D 点评: 此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2015•恩施州)如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE:EA=3:4,EF=3,则CD的长为(  )‎ ‎  A.4 B. 7 C. 3 D. 12‎ 考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质..‎ 分析: 由EF∥AB,根据平行线分线段成比例定理,即可求得,则可求得AB的长,又由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边相等,即可求得CD的长.‎ 解答: 解:∵DE:EA=3:4,‎ ‎∴DE:DA=3:7‎ ‎∵EF∥AB,‎ ‎∴,‎ ‎∵EF=3,‎ ‎∴,‎ 解得:AB=7,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴CD=AB=7.‎ 故选B.‎ 点评: 此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2015•恩施州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且E为OB的中点,∠CDB=30°,CD=4,则阴影部分的面积为(  )‎ ‎  A.π B. 4π C. π D. π 考点: 扇形面积的计算..‎ 分析: 首先证明OE=OC=OB,则可以证得△OEC≌△BED,则S阴影=半圆﹣S扇形OCB,利用扇形的面积公式即可求解.‎ 解答: 解:∵∠COB=2∠CDB=60°,‎ 又∵CD⊥AB,‎ ‎∴∠OCB=30°,CE=DE,‎ ‎∴OE=OC=OB=2,OC=4.‎ ‎∴OE=BE,‎ 则在△OEC和△BED中,‎ ‎,‎ ‎∴△OEC≌△BED,‎ ‎∴S阴影=半圆﹣S扇形OCB=.‎ 故选D.‎ 点评: 本题考查了扇形的面积公式,证明△OEC≌△BED,得到S阴影=半圆﹣S扇形OCB是本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2015•恩施州)随着服装市场竞争日益激烈,某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后,再次降价20%,现售价为b元,则原售价为(  )‎ ‎  A.(a+b)元 B. (a+b)元 C. (b+a)元 D. (b+a)元 考点: 列代数式..‎ 分析: 可设原售价是x元,根据降价a元后,再次下调了20%后是b元为相等关系列出方程,用含a,b的代数式表示x即可求解.‎ 解答: 解:设原售价是x元,则 ‎(x﹣a)(1﹣20%)=b,‎ 解得x=a+b,‎ 故选A.‎ 点评: 解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解 ‎ ‎ ‎12.(3分)(2015•恩施州)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论:‎ ‎①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2,‎ 其中正确结论是(  )‎ ‎  A.②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③‎ 考点: 二次函数图象与系数的关系..‎ 分析: 由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.‎ 解答: 解:∵抛物线的开口方向向下,‎ ‎∴a<0;‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点,‎ ‎∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac,‎ 故①正确 由图象可知:对称轴x=﹣=﹣1,‎ ‎∴2a﹣b=0,‎ 故②错误;‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,‎ ‎∴c>0‎ 由图象可知:当x=1时y=0,‎ ‎∴a+b+c=0;‎ 故③错误;‎ 由图象可知:当x=﹣1时y>0,‎ ‎∴点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2,‎ 故④正确.‎ 故选B 点评: 此题考查二次函数的性质,解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分,不要求写出解答过程,请把答案直接填写在答题卷相应位置上)‎ ‎13.(3分)(2015•恩施州)4的平方根是 ±2 .‎ 考点: 平方根..‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平方根,由此即可解决问题.‎ 解答: 解:∵(±2)2=4,‎ ‎∴4的平方根是±2.‎ 故答案为:±2.‎ 点评: 本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2015•恩施州)因式分解:9bx2y﹣by3= by(3x+y)(3x﹣y) .‎ 考点: 提公因式法与公式法的综合运用..‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 原式提取by,再利用平方差公式分解即可.‎ 解答: 解:原式=by(9x2﹣y2)=by(3x+y)(3x﹣y),‎ 故答案为:by(3x+y)(3x﹣y)‎ 点评: 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2015•恩施州)如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合为止,则圆心O运动路径的长度等于 5π .‎ 考点: 弧长的计算;旋转的性质..‎ 分析: 根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧,根据弧长公式求出弧长即可.‎ 解答: 解:由图形可知,圆心先向前走OO1的长度即圆的周长,‎ 然后沿着弧O1O2旋转圆的周长,‎ 则圆心O运动路径的长度为:×2π×5+×2π×5=5π,‎ 故答案为:5π.‎ 点评: 本题考查的是弧长的计算和旋转的知识,解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2015•恩施州)观察下列一组数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…其中每个数n都连续出现n次,那么这一组数的第119个数是 15 .‎ 考点: 规律型:数字的变化类..‎ 分析: 根据每个数n都连续出现n次,可列出1+2+3+4+…+x=119+1,解方程即可得出答案.‎ 解答: 解:因为每个数n都连续出现n次,可得:‎ ‎1+2+3+4+…+x=119+1,‎ 解得:x=15,‎ 所以第119个数是15.‎ 故答案为:15.‎ 点评: 此题考查数字的规律,关键是根据题目首先应找出哪哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共8小题,满分72分,请在大题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(8分)(2015•恩施州)先化简,再求值:•﹣,其中x=2﹣1.‎ 考点: 分式的化简求值..‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 原式第一项约分后,两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.‎ 解答: 解:原式=•﹣=﹣=﹣,‎ 当x=2﹣1时,原式=﹣=﹣.‎ 点评: 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(8分)(2015•恩施州)如图,四边形ABCD、BEFG均为正方形,连接AG、CE.‎ ‎(1)求证:AG=CE;‎ ‎(2)求证:AG⊥CE.‎ 考点: 全等三角形的判定与性质;正方形的性质..‎ 专题: 证明题.‎ 分析: (1)由正方形的性质得出AB=CB,∠ABC=∠GBE=90°,BG=BE,得出∠ABG=∠CBE,由SAS证明△ABG≌△CBE,得出对应边相等即可;‎ ‎(2)由△ABG≌△CBE,得出对应角相等∠BAG=∠BCE,由∠BAG+∠AMB=90°,对顶角∠AMB=∠CMN,得出∠BCE+∠CMN=90°,证出∠CNM=90°即可.‎ 解答: (1)证明:∵四边形ABCD、BEFG均为正方形,‎ ‎∴AB=CB,∠ABC=∠GBE=90°,BG=BE,‎ ‎∴∠ABG=∠CBE,‎ 在△ABG和△CBE中,,‎ ‎∴△ABG≌△CBE(SAS),‎ ‎∴AG=CE;‎ ‎(2)证明:如图所示:∵△ABG≌△CBE,‎ ‎∴∠BAG=∠BCE,‎ ‎∵∠ABC=90°,‎ ‎∴∠BAG+∠AMB=90°,‎ ‎∵∠AMB=∠CMN,‎ ‎∴∠BCE+∠CMN=90°,‎ ‎∴∠CNM=90°,‎ ‎∴AG⊥CE.‎ 点评: 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎19.(8分)(2015•恩施州)质地均匀的小正方体,六个面分别有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”,同时投掷两枚,观察朝上一面的数字.‎ ‎(1)求数字“1”出现的概率;‎ ‎(2)求两个数字之和为偶数的概率.‎ 考点: 列表法与树状图法..‎ 专题: 计算题.‎ 分析: (1)列表得出所有等可能的情况数,找出数字“1”出现的情况数,即可求出所求的概率;‎ ‎(2)找出数字之和为偶数的情况数,即可求出所求的概率.‎ 解答: 解:(1)列表如下:‎ ‎ 1 2 3 4 5 6‎ ‎1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)‎ ‎2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)‎ ‎3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)‎ ‎4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)‎ ‎5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)‎ ‎6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)‎ 所有等可能的情况有36种,其中数字“1”出现的情况有11种,‎ 则P(数字“1”出现)=;‎ ‎(2)数字之和为偶数的情况有18种,‎ 则P(数字之和为偶数)==.‎ 点评: 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2015•恩施州)如图,某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行,在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上,航行1小时到达B处,此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结果精确到1海里,参考数据:≈1.732)‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题..‎ 分析: 过点C作CD⊥AB于点D,则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度,利用锐角三角函数关系进行求解即可.‎ 解答: 解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,‎ AB=20×1=20(海里),‎ ‎∵∠CAF=60°,∠CBE=30°,‎ ‎∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°,∠CAB=90°﹣∠CAF=30°,‎ ‎∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°,‎ ‎∴∠C=∠CAB,‎ ‎∴BC=BA=20(海里),‎ ‎∠CBD=90°﹣∠CBE=60°,‎ ‎∴CD=BC•sin∠CBD=≈17(海里).‎ 点评: 此题主要考查了方向角问题,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)(2015•恩施州)如图,已知点A、P在反比例函数y=(k<0)的图象上,点B、Q在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1,AB⊥x轴,且S△OAB=4,若P、Q两点关于y轴对称,设点P的坐标为(m,n).‎ ‎(1)求点A的坐标和k的值;‎ ‎(2)求的值.‎ 考点: 反比例函数与一次函数的交点问题..‎ 分析: (1)先由点B在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1,将y=﹣1代入y=x﹣3,求出x=2,即B(2,﹣1).由AB⊥x轴可设点A的坐标为(2,t),利用S△OAB=4列出方程(﹣1﹣t)×2=4,求出t=﹣5,得到点A的坐标为(2,﹣5);将点A的坐标代入y=,即可求出k的值;‎ ‎(2)根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q(﹣m,n),由点P(m,n)在反比例函数y=﹣的图象上,点Q在直线y=x﹣3的图象上,得出mn=﹣10,m+n=﹣3,再将变形为,代入数据计算即可.‎ 解答: 解:(1)∵点B在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1,‎ ‎∴当y=﹣1时,x﹣3=﹣1,解得x=2,‎ ‎∴B(2,﹣1).‎ 设点A的坐标为(2,t),则t<﹣1,AB=﹣1﹣t.‎ ‎∵S△OAB=4,‎ ‎∴(﹣1﹣t)×2=4,‎ 解得t=﹣5,‎ ‎∴点A的坐标为(2,﹣5).‎ ‎∵点A在反比例函数y=(k<0)的图象上,‎ ‎∴﹣5=,解得k=﹣10;‎ ‎(2)∵P、Q两点关于y轴对称,点P的坐标为(m,n),‎ ‎∴Q(﹣m,n),‎ ‎∵点P在反比例函数y=﹣的图象上,点Q在直线y=x﹣3的图象上,‎ ‎∴n=﹣,n=﹣m﹣3,‎ ‎∴mn=﹣10,m+n=﹣3,‎ ‎∴====﹣.‎ 点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,关于y轴对称的点的坐标特征,代数式求值,求出点A的坐标是解决第(1)小题的关键,根据条件得到mn=﹣10,m+n=﹣3是解决第(2)小题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)(2015•恩施州)某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料全部生产A、B两种产品共50件,生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示:‎ 原料 型号 ‎ 甲种原料(千克)‎ ‎ 乙种原料(千克)‎ ‎ A产品(每件)‎ ‎ 9‎ ‎ 3‎ ‎ B产品(每件)‎ ‎ 4‎ ‎ 10‎ ‎(1)该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案?‎ ‎(2)若生成一件A产品可获利80元,生产一件B产品可获利120元,怎样安排生产可获得最大利润?‎ 考点: 一次函数的应用;一元一次不等式组的应用..‎ 分析: (1)设工厂可安排生产x件A产品,则生产(50﹣x)件B产品,根据不能多于原料的做为不等量关系可列不等式组求解;‎ ‎(2)可以分别求出三种方案比较即可.‎ 解答: 解:(1)设工厂可安排生产x件A产品,则生产(50﹣x)件B产品 由题意得:‎ ‎,‎ 解得:30≤x≤32的整数.‎ ‎∴有三种生产方案:①A30件,B20件;②A31件,B19件;③A32件,B18件;‎ ‎(2)方法一:方案(一)A,30件,B,20件时,‎ ‎20×120+30×80=4800(元).‎ 方案(二)A,31件,B,19件时,‎ ‎19×120+31×80=4760(元).‎ 方案(三)A,32件,B,18件时,‎ ‎18×120+32×80=4720(元).‎ 故方案(一)A,30件,B,20件利润最大.‎ 点评: 本题考查理解题意的能力,关键是根据有甲种原料360千克,乙种原料290千克,做为限制列出不等式组求解,然后判断B生产的越多,A少的时候获得利润最大,从而求得解.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)(2015•恩施州)如图,AB是⊙O的直径,AB=6,过点O作OH⊥AB交圆于点H,点C是弧AH上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA,CE⊥OH,垂足分别为D、E,过点C的直线交OA的延长线于点G,且∠GCD=∠CED.‎ ‎(1)求证:GC是⊙O的切线;‎ ‎(2)求DE的长;‎ ‎(3)过点C作CF⊥DE于点F,若∠CED=30°,求CF的长.‎ 考点: 圆的综合题..‎ 分析: (1)先证明四边形ODCE是矩形,得出∠DCE=90°,DE=OC,MC=MD,得出∠CED+∠MDC=90°,∠MDC=∠MCD,证出∠GCD+∠MCD=90°,即可得出结论;‎ ‎(2)由(1)得:DE=OC=AB,即可得出结果;‎ ‎(3)运用三角函数求出CE,再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果.‎ 解答: (1)证明:连接OC,交DE于M,如图所示:‎ ‎∵OH⊥AB,CD⊥OA,CE⊥OH,‎ ‎∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°,‎ ‎∴四边形ODCE是矩形,‎ ‎∴∠DCE=90°,DE=OC,MC=MD,‎ ‎∴∠CED+∠MDC=90°,∠MDC=∠MCD,‎ ‎∵∠GCD=∠CED,‎ ‎∴∠GCD+∠MCD=90°,‎ 即GC⊥OC,‎ ‎∴GC是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:由(1)得:DE=OC=AB=3;‎ ‎(3)解:∵∠DCE=90°,∠CED=30°,‎ ‎∴CE=DE•cos∠CED=3×=,‎ ‎∴CF=CE=.‎ 点评: 本题是圆的综合题目,考查了切线的判定、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识;本题有一定难度,综合性强,特别是(1)中,需要证明四边形是矩形,运用角的关系才能得出结论.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)(2015•恩施州)矩形AOCD绕顶点A(0,5)逆时针方向旋转,当旋转到如图所示的位置时,边BE交边CD于M,且ME=2,CM=4.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)求阴影部分的面积和直线AM的解析式;‎ ‎(3)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;‎ ‎(4)在抛物线上是否存在点P,使S△PAM=?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.‎ 考点: 几何变换综合题..‎ 专题: 综合题.‎ 分析: (1)作BP⊥AD于P,BQ⊥MC于Q,如图1,根据旋转的性质得AB=AO=5,BE=OC=AD,∠ABE=90°,利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ,可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到==,设BQ=PD=x,AP=y,则AD=x+y,所以BM=x+y﹣2,利用比例性质得到PB•MQ=xy,而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1,利用完全平方公式和勾股定理得到52﹣y2﹣2xy+(x+y﹣2)2﹣x2=1,解得x+y=7,则BM=5,BE=BM+ME=7,所以AD=7;‎ ‎(2)由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ,则BQ=PD=7﹣AP,MQ=AP,利用勾股定理得到(7﹣MQ)2+MQ2=52,解得MQ=4(舍去)或MQ=3,则BQ=4,根据三角形面积公式和梯形面积公式,利用S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM进行计算即可;然后利用待定系数法求直线AM的解析式;‎ ‎(3)先确定B(3,1),然后利用待定系数法求抛物线的解析式;‎ ‎(4)当点P在线段AM的下方的抛物线上时,作PK∥y轴交AM于K,如图2设P(x,x2﹣x+5),则K(x,﹣x+5),则KP=﹣x2+x,根据三角形面积公式得到•(﹣x2+x)•7=,解得x1=3,x2=,于是得到此时P点坐标为(3,1)、(,);再求出过点(3,1)与(,)的直线l的解析式为y=﹣x+,则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为(0,),所以AA′=,然后把直线AM向上平移个单位得到l′,直线l′与抛物线的交点即为P点,由于A″(0,),则直线l′的解析式为y=﹣x+,再通过解方程组得P点坐标.‎ 解答: 解:(1)作BP⊥AD于P,BQ⊥MC于Q,如图1,‎ ‎∵矩形AOCD绕顶点A(0,5)逆时针方向旋转得到矩形ABEF,‎ ‎∴AB=AO=5,BE=OC=AD,∠ABE=90°,‎ ‎∵∠PBQ=90°,‎ ‎∴∠ABP=∠MBQ,‎ ‎∴Rt△ABP∽Rt△MBQ,‎ ‎∴==,‎ 设BQ=PD=x,AP=y,则AD=x+y,BM=x+y﹣2,‎ ‎∴==,‎ ‎∴PB•MQ=xy,‎ ‎∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1,‎ ‎∴(PB﹣MQ)2=1,即PB2﹣2PB•MQ+MQ2=1,‎ ‎∴52﹣y2﹣2xy+(x+y﹣2)2﹣x2=1,解得x+y=7,‎ ‎∴BM=5,‎ ‎∴BE=BM+ME=5+2=7,‎ ‎∴AD=7;‎ ‎(2)∵AB=BM,‎ ‎∴Rt△ABP≌Rt△MBQ,‎ ‎∴BQ=PD=7﹣AP,MQ=AP,‎ ‎∵BQ2+MQ2=BM2,‎ ‎∴(7﹣MQ)2+MQ2=52,解得MQ=4(舍去)或MQ=3,‎ ‎∴BQ=7﹣3=4,‎ ‎∴S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM ‎=×(4+7)×4﹣×4×3‎ ‎=16;‎ 设直线AM的解析式为y=kx+b,‎ 把A(0,5),M(7,4)代入得,解得,‎ ‎∴直线AM的解析式为y=﹣x+5;‎ ‎(3)设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,‎ ‎∵AP=MQ=3,BP=DQ=4,‎ ‎∴B(3,1),‎ 而A(0,5),D(7,5),‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=x2﹣x+5;‎ ‎(4)存在.‎ 当点P在线段AM的下方的抛物线上时,作PK∥y轴交AM于K,如图2,‎ 设P(x,x2﹣x+5),则K(x,﹣x+5),‎ ‎∴KP=﹣x+5﹣(x2﹣x+5)=﹣x2+x,‎ ‎∵S△PAM=,‎ ‎∴•(﹣x2+x)•7=,‎ 整理得7x2﹣46x+75,解得x1=3,x2=,此时P点坐标为(3,1)、(,),‎ 求出过点(3,1)与(,)的直线l的解析式为y=﹣x+,则直线l与y轴的交点A′的坐标为(0,),‎ ‎∴AA′=5﹣=,‎ 把直线AM向上平移个单位得到l′,则A″(0,),则直线l′的解析式为y=﹣x+,‎ 解方程组得或,此时P点坐标为(,)或(,),‎ 综上所述,点P的坐标为(3,1)、(,)、(,)、(,).‎ 点评: 本题考查了几何变换综合题:熟练掌握旋转的性质、矩形的性质和三角形全等于相似的判定与性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会进行代数式的变形.‎ ‎ www.czsx.com.cn
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