高中数学必修3教案：3_3_1 几何概型（1）

高中数学必修3教案：3_3_1 几何概型（1）

‎§3.3.1 几何概型（一）‎ ‎ 学习目标 ‎ ‎（1）正确理解几何概型的概念；‎ ‎（2）掌握几何概型的概率公式：‎ ‎ ；‎ ‎（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是 ‎ 几何概型；‎ ‎ 重点难点 ‎ 重点: 几何概型的概念、公式及应用.‎ 难点: 对几何概型的理解.‎ ‎ 学法指导 几何概型概率求解过程：‎ ‎①适当选择观察角度，确定几何度量的种类：长度（或面积，角度，体积）；‎ ‎②把基本事件空间转化为与之对应的区域；‎ ‎③把事件A转化为与之对应的区域；‎ ‎④如果事件A对应的区域不好处理，可以利用对立事件概率公式逆向思维；‎ ‎⑤利用概率公式计算.‎ ‎ 知识链接 ‎1.基本事件的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的。（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.‎ ‎2．古典概型有两个特征：有限性和等可能性. ‎ ‎ 问题探究 ‎【提出问题】‎ 在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题.‎ ‎【探究新知】（一）：几何概型的概念 思考1：某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？‎ 若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？‎ 思考2：有一根长度为‎3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于‎1m的概率是多少？‎ 分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为‎3m的绳子上除端点外的任意一点，记“剪得两段绳子长都不小于‎1m”事件A.‎ 问题1 每一个基本事件是不是等可能发生的的？且能否看做线段上的一个点与其对应？ ‎ 问题2 与每一个基本事件对应的这些点构成的几何区域D是什么？‎ 问题3 事件A发生，剪刀应剪在什么位置？‎ 问题4 ‎ ‎ 事件A发生应与线段上什么样的点对应？这些点构成的几何区域d是什么？‎ 问题5 几何区域D的长度？‎ 问题6 d的长度占D的长度的几分之几？‎ 结论：对于一个随机事件试验，我们将每一个基本事件理解为从某个特定的几何区域内任取一点（即找“对应点”），该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的一点，这里区域可以是线段、角、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机实验称为几何概型，‎ 也即，如果 只 与 成比例，则称这样的概率模型为几何概型.‎ ‎ 参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？‎ ‎（1）可能出现的结果有无限多个；‎ ‎（2）每个结果发生的可能性相等.‎ 思考5：某班公交车到终点站的时间等可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻，那么“公交车在11：40～11：50到终点站”这个随机事件是几何概型吗？若是，怎样理解其几何意义？‎ ‎【探究新知】（二）：几何概型的概率 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.‎ 思考3：在玩转盘游戏中，对于下列两个转盘，甲获胜的概率分别是多少？你是怎样计算的？‎ B B B N N N ‎ ‎B B B N N N 思考4：在装有‎5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出‎1升水，那么这‎1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？‎ 结论：一般地，在几何概型中试验的全部结果（即基本事件）所构成的区域记为D，记事件“该点落在其区域D内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率 思考5：向边长为1m 的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少？(芝麻大小可忽略不计)由此能说明什么问题？‎ 结论：概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生，即. ‎ ‎【典型例题】 测量长度 ‎ 对于两个平面区域d，D，且，区域D是线段或时间段时，记“该点落在区域d内” 为事件A，且事件A发生的概率只与线段或时间段的长度有关时，一般地有 ‎ 例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.‎ 分析：见课本P136下.‎ 例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.‎ 分析：因为客车每10分钟一班,他在0到10分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关 ,这符合几何概型的条件.‎ 拓展 某公共汽车站，每隔10分钟有一辆汽车出发，并且出发前在车站停靠3分钟，‎ ‎⑴ 求乘客到站候车时间大于10分钟的概率；‎ ‎⑵ 求乘客到站候车时间不超过10分钟的概率；‎ ‎⑶ 求乘客到达车站立即上车的概率.‎ 例3　在等腰中，在斜边上任取一点，求的概率．‎ 分析：点随机地落在线段上，故线段为试验所有结果构成的区域．在上截取，则当点位于图2中线段内时，，故线段即为构成事件的区域．‎ 总结：将此类几何概型问题 “长度”化是关键.‎ ‎ 目标检测 ‎1．在区间 [0,3]内随机地取一个数，则这个数大于2的概率是 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.两地相距‎3m的木杆上系了一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于‎1m的概率是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，当某人到达路口时看见红灯的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在长为‎12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于‎36cm2与‎81cm2之间的概率是 ‎ （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．猪八戒每天早上7点至9点之间起床，它在7点半之前起床的概率______.（将问题转化为时间长度）‎ ‎7. （选做）设p在[0，5]上随机地取值，求方程有实根的概率。‎ 提示：点P在[0，5]上随机取值，故[0，5] 为试验所有结果构成的区域D，又一元二次方程有实数根,所以 ‎【课堂小结】‎ ‎1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、角度、面积或体积.‎ ‎2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率.‎ ‎3、使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.‎ ‎ 纠错矫正 ‎ 总结反思