高考理科数学专题复习练习12.2古典概型与几何概型

高考理科数学专题复习练习12.2古典概型与几何概型

第十二章概率与统计 ‎12.2古典概型与几何概型 专题1‎ 古典概型的概率 ‎■(2015辽宁丹东二模,古典概型的概率,填空题,理15)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,则标号为1,2的卡片放入同一个信封的概率为　　　　. ‎ 解析:由题意,将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,共有=90种.‎ 先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信封有=6,余下放入最后一个信封,‎ ‎∴标号为1,2的卡片放入同一个信封共有3=18种.‎ ‎∴标号为1,2的卡片放入同一个信封的概率为.‎ 答案:‎ 专题3‎ 几何概型在不同测度中的概率 ‎■(2015河北邯郸二模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理12)已知函数f(x)=x3+bx2+cx,对任意的b,c∈[-3,3],f(x)在(-1,1)内既有极大值又有极小值的概率为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D.‎ 解析:由题意f'(x)=3x2+2bx+c.‎ ‎∵f(x)在(-1,1)内既有极大值又有极小值,‎ ‎∴f'(x)=3x2+2bx+c=0的两个根在(-1,1)内,‎ ‎∴‎ 对应区域的面积为2=6,‎ ‎∵b,c∈[-3,3],‎ ‎∴对应区域的面积为36.‎ ‎∴f(x)在(-1,1)内既有极大值又有极小值的概率为.‎ 答案:D ‎■(2015辽宁葫芦岛二模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理8)如图所示,一个圆形靶子的中心是一个“心形”图案,其中“心形”图案是由上边界C1(虚线L上方部分)与下边界C2(虚线L下方部分)围成,曲线C1是函数y=的图象,曲线C2是函数y=-的图象,圆的方程为x2+y2=8,某人向靶子射出一箭(假设箭一定能射中靶子且射中靶中任何一点是等可能的),则此箭恰好命中“心形”图案的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:由y==-得x=1.‎ 当x>0时,y轴右边的面积S=-(-)]dx=(2)dx=2dx+)dx,‎ dx的几何意义为单位圆的面积 ‎)dx==-,‎ 则S=,‎ 故阴影部分的面积为2S=2,‎ 大圆的面积S=π×8=8π,故此箭恰好命中“心形”图案的概率P=.‎ 答案:B ‎12.4离散型随机变量的均值与方差 专题2‎ 离散型随机变量的均值与方差 ‎■(2015茂名一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)‎ 第117届中国进出口商品交易会(简称2015年春季交广会)将于2015年4月15日在广州市举行,为了搞好接待工作,组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者,现将这20名志愿者的身高组成如图所示的茎叶图(单位:m),若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”.‎ ‎(1)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数);‎ ‎(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.‎ 解:(1)根据茎叶图,得:‎ 男志愿者的平均身高为:‎ ‎≈176.1(cm),‎ 女志愿者身高的中位数为:=168.5(cm).‎ ‎(2)由茎叶图知“高个子”有8人,“非高个子”有12人,‎ 而男志愿者的“高个子”有5人,女志愿者的高个子有3人,∴ξ的可能取值为0,1,2,3,‎ P(ξ=0)=,‎ P(ξ=1)=,‎ P(ξ=2)=,‎ P(ξ=3)=,‎ ‎∴ξ的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴Eξ=0×+1×+2×+3×.‎ ‎■(2015江西南昌三模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)‎ 某单位招收技术员工需参加笔试和面试两部分,把参加笔试的40名应聘人员的成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100),得到的频率分布直方图如图所示:‎ ‎(1)分别求出成绩在第3,4,5组的人数;‎ ‎(2)现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6人进行面试.‎ ‎①已知甲和乙的成绩均在第3组,求甲或乙进入面试的概率;‎ ‎②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试,设第4组中有X名学生被考官D面试,求X的分布列和数学期望.‎ 解:(1)第3组的人数为0.06×5×40=12;第4组的人数为0.04×5×40=8;第5组的人数为0.02×5×40=4.‎ ‎(2)按分层抽样方法在第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.‎ ‎①设“甲或乙进入面试”为事件A,则P(A)=1-,即甲或乙进入面试的概率为.‎ ‎②X的可能取值为0,1,2,所以X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以EX=0×+1×+2×.‎ ‎■(2015河北保定二模改编,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某学校就某岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试,用“10分制”以茎叶图方式记录了他们对该岛的了解程度,分数以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.‎ ‎(1)指出这组数据的众数和中位数;‎ ‎(2)若所得分数不低于9.5分,则称该学生对该岛“非常了解”.求从这16人中随机选取3人,求至多有1人“非常了解”的概率;‎ ‎(3)以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据,若从该所学校(人数可视为很多)任选3人,记ξ表示抽到“非常了解”的人数,求ξ的分布列及数学期望.‎ 解:(1)众数:8.6;中位数:=8.75.‎ ‎(2)设Ai表示所取3人中有i个人对该岛“非常了解”,至多有1人对该岛“非常了解”记为事件A,‎ 则P(A)=P(A0)+P(A1)=.‎ ‎(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ=0)=;P(ξ=1)=;‎ P(ξ=2)=;P(ξ=3)=.‎ 所以ξ的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Eξ=0×+1×+2×+3×=0.27.‎ 另解:ξ的可能取值为0,1,2,3,则ξ~B,‎ P(ξ=k)=.‎ 所以Eξ=3×=0.75.‎ ‎■(2015河北邯郸二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学,开展听课、访谈及随堂检测等活动.他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式:教师主讲的为A模式,少数学生参与的为B模式,多数学生参与的为C模式.A,B,C三类课的节数比例为3∶2∶1.‎ ‎(1)为便于研究分析,教育专家将A模式称为传统课堂模式,B,C统称为新课堂模式,根据随堂检测结果,把课堂教学效率分为高效和非高效,根据检测结果统计得到如下2×2列联表(单位:节)‎ 高效 非高效 统计 新课堂模式 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 传统课堂模式 ‎40‎ ‎50‎ ‎90‎ 统计 ‎100‎ ‎80‎ ‎180‎ 请根据统计数据回答:有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关?并说明理由.‎ ‎(2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出18节课作为样本进行研究,并从样本的B模式和C模式课堂中随机抽取3节课.‎ ‎①求至少有一节为C模式课堂的概率;‎ ‎②设随机抽取的3节课中含有C模式课堂的节数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 参考临界值表:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.897‎ ‎10.828‎ 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.‎ 解:(1)由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为:k==9>6.635.‎ 由临界值表P(K2≥6.635)≈0.010.‎ 故有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关.‎ ‎(2)①从样本中的B,C模式课堂中随机抽取3节课,故该实验为古典概型.‎ 事件M表示“抽取的3节课中至少有一节课为C模式课堂”.‎ 则P(M)=.‎ ‎②X的所有取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴EX=0×+1×+2×+3×=1.‎ ‎■(2015河北衡水中学高三一调,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)为了参加2015年市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表:‎ 学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁 人数 ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言.‎ ‎(1)求这两名队员来自同一学校的概率;‎ ‎(2)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 解:(1)“从这12名队员中随机选出两名,两人来自于同一学校”记作事件A,‎ 则P(A)=.‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ 则P(ξ=0)=,‎ P(ξ=1)=,‎ P(ξ=2)=.‎ ‎∴ξ的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴Eξ=0×+1×+2×.‎ ‎■(2015辽宁丹东二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)为了参加一项数学能力测试团体赛,某校对甲、乙两个实验班级进行了一段时间的“限时抢分”强化训练,现分别从强化训练期间两班的若干次平均成绩中随机抽取6次(满分100分),记录如下表:‎ 甲平均成绩 ‎83‎ ‎91‎ ‎80‎ ‎79‎ ‎92‎ ‎85‎ 乙平均成绩 ‎92‎ ‎93‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎82‎ ‎79‎ 根据这6次的数据回答:‎ ‎(1)现要选派一个实验班参加测试团体赛,从统计学角度,你认为选派哪个实验班合理?说明理由;‎ ‎(2)对选派的实验班在团体赛的三次比赛成绩进行预测,记这三次平均成绩中不低于85分的次数为X,求X的分布列及数学期望EX.‎ 解:(1)=8.5,‎ 又≈25,≈30.67,,‎ 相对来讲甲的成绩更加稳定,所以选派甲合适.‎ ‎(2)依题意得甲不低于8的频率为,ξ的可能取值为0,1,2,3,则X~B.‎ 所以P(X=k)=,k=0,1,2,3.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以EX=0×+1×+2×+3×.‎ ‎■(2015辽宁丹东一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)某校理科实验班的100名学生期中考试的语文数学成绩都不低于100分,其中语文成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组区间是:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示:‎ 分组区间 ‎[100,110)‎ ‎[110,120)‎ ‎[120,130)‎ ‎[130,140)‎ x∶y ‎1∶2‎ ‎2∶1‎ ‎3∶4‎ ‎1∶1‎ ‎(1)估计这100名学生数学成绩的中位数;‎ ‎(2)从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人,该2人中数学成绩在[140,150]的人数为X,求X的数学期望EX.‎ 解:(1)∵0.05×2+0.4×+0.3×=0.7>0.5,0.7-0.5=0.2,‎ ‎∴这100名学生数学成绩的中位数是130-10×=125.‎ ‎(2)∵数学成绩在[100,140)之内的人数为×100=90,‎ ‎∴数学成绩在[140,150]的人数为100-90=10人,‎ 而数学成绩在[130,140)的人数为0.2×100=20人,X可取0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴EX=0×+1×+2×.‎ ‎■(2015辽宁葫芦岛二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)某电视台推出一档游戏类综艺节目,选手面对1-5号五扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐,选手需正确回答这首歌的名字,回答正确,大门打开,并获得相应的家庭梦想基金,回答每一扇门后,选手可自由选择带着目前的奖金离开,还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金,但是一旦回答错误,游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零;整个游戏过程中,选手有一次求助机会,选手可以询问亲友团成员以获得正确答案.‎ ‎1-5号门对应的家庭梦想基金依次为3 000元、6 000元、8 000元、12 000元、24 000元(以上基金金额为打开大门后的累积金额,如第三扇大门打开,选手可获基金总金额为8 000元);设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi(i=1,2,…,5),且pi=(i=1,2,…,5),亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为,该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为.‎ ‎(1)求选手在第三扇门使用求助且最终获得12 000元家庭梦想基金的概率;‎ ‎(2)若选手在整个游戏过程中不使用求助,且获得的家庭梦想基金数额为X(元),求X的分布列和数学期望.‎ 解:设事件“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为事件Ai,“使用求助回答正确歌曲名称”为事件B,‎ 事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件C;则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=,P(A5)=,P(B)=,P(C)=.‎ ‎(1)设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A,则A=A1CA2CBCA4,故P(A)=.‎ ‎∴选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率为.‎ ‎(2)X的所有可能取值为:0,3000,6000,8000,12000,24000;‎ P(X=3000)=P(A1)=;‎ P(X=6000)=P(A1CA2)=;‎ P(X=8000)=P(A1CA2CA3)=;‎ P(X=12000)=P(A1CA2CA3CA4)=;‎ P(X=24000)=P(A1CA2CA3CA4CA5)=;‎ P(X=0)=P()+P(A1C)+P(A1CA2C)+P(A1CA2CA3C)+P(A1CA2CA3CA4C)=;‎ ‎(或P(X=0)=1-(P(X=3000)+P(X=6000)+P(X=8000)+P(X=12000)+P(X=24000))=1-=1-.‎ ‎∴X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎3000‎ ‎6000‎ ‎8000‎ ‎12000‎ ‎24000‎ P ‎∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×=1250+1000+500+250+250=3250(元).‎ ‎∴选手获得的家庭梦想基金数额为X的数学期望为3250元.‎ ‎■(2015辽宁锦州二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解析.选题情况如下表:(单位:人)‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?‎ ‎(2)经过多次测试后,甲每次解析一道几何题所用的时间在5~7分钟,乙每次解析一道几何题所用的时间在6~8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解析完的概率.‎ ‎(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望EX.‎ 附表及公式:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2=.‎ 解:(1)由表中数据得K2的观测值k=≈5.556>5.024,‎ 所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.‎ ‎(2)设甲、乙解析一道几何题的时间分别为x,y分钟,则基本事件满足的区域为(如图所示).‎ 设事件A为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为x>y,‎ ‎∴由几何概型P(A)=,即乙比甲先解析完的概率为.‎ ‎(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人,抽取方法有=28种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有=15种;恰有一人被抽到有=12种;两人都被抽到有=1种,∴X可能取值为0,1,2,‎ P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.‎ X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎　∴EX=0×+1×+2×.‎ ‎■(2015辽宁锦州一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)某市一所高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].‎ ‎(1)求频率分布直方图中x的值;‎ ‎(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1 200名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;‎ ‎(3)从学校的高一学生中任选4名学生,这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)‎ 解:(1)由直方图可得:20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1.‎ 所以x=0.0125.‎ ‎(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:‎ ‎0.003×2×20=0.12,‎ 因为1200×0.12=144,‎ 所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿.‎ ‎(3)X的可能取值为0,1,2,3,4.‎ 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为,‎ P(X=0)=,‎ P(X=1)=,‎ P(X=2)=,‎ P(X=3)=,‎ P(X=4)=.‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P EX=0×+1×+2×+3×+4×=1.‎ 所以X的数学期望为1.‎ ‎12.5二项分布与正态分布 专题1‎ 条件概率 ‎■(2015江西南昌三模,条件概率,选择题,理7)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A=“第一次取到的是奇数”,B=“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D.‎ 答案:D ‎■(2015辽宁锦州一模,条件概率,选择题,理5)已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,这时盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡,‎ 这时,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为.‎ 答案:D 专题4‎ 正态分布下的概率 ‎■(2015辽宁丹东一模,正态分布下的概率,选择题,理4)下列结论中正确的是(　　)‎ A.若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于0‎ B.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ位于区域(0,1)的概率为0.4,则ξ位于区域(1,+∞)内的概率为0.6‎ C.从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每4分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样 D.利用随机变量K2来判断“两个独立事件X,Y的关系”时,算出的K2值越大,判断“X与Y有关”的把握就越大 解析:A.两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1,因此不正确;‎ B.∵变量ξ~N(1,σ2),∴ξ位于区域(1,+∞)内的概率为0.5,因此不正确;‎ C.从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每4分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是系统(等距)抽样,不是分层抽样,因此不正确;‎ D.利用随机变量K2来判断“两个独立事件X,Y的关系”时,算出的K2值越大,判断“X与Y有关”的把握就越大,正确.‎ 答案:D ‎■(2015江西南昌三模,正态分布下的概率,选择题,理2)设随机变量X~N(2,32),若P(X≤c)=P(X>c),则c等于(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案:C