【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第59讲几何概型学案
第59讲 几何概型
考试说明 1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
2.了解几何概型的意义.
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度
几何概型
几何概型
2017全国卷Ⅰ2,2016全国卷Ⅰ4,2016全国卷Ⅱ10
★☆☆
真题再现
■ [2017-2013 课标全国真题再现
1.[2017·全国卷Ⅰ 如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 ( )
A. B.
C. D.
[解析 B 根据对称性,图中黑色部分、白色部分的面积相等.设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,图中圆的面积为π,故黑色部分的面积为,所以所求的概率为=.
2.[2016·全国卷Ⅰ 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( )
A. B.
C. D.
[解析 B 由题意可知满足条件的时间段为7:50 8:00,8:20 8:30,共20分钟,故所求概率为=.
■ [2017-2016 其他省份类似高考真题
[2017·江苏卷 记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5 上随机取一个数x,则x∈D的概率是 .
[答案
[解析 令6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,即定义域D=[-2,3 ,在区间[-4,5 上随机取一个数x,则x∈D的概率P==.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.长度(面积或体积)
2.
对点演练
1. [解析 因为圆的面积被六等分,所以转盘指针不落在阴影部分的概率为=.
2.5 [解析 设黄灯亮的时间为x秒.因为每一时刻的车到达路口都是等可能的,由几何概型可知,车到达路口时遇到红灯的概率等于红灯亮的时间除以绿灯、黄灯和红灯亮的时间和,所以=,解得x=5,所以黄灯亮的时间为5秒.
3. [解析 如图所示,设送报人到达的时间为x,这位同 的爸爸离开家的时间为y,则(x,y)可以看成平面直角坐标系中的点.由题意得其表示的区域为一个矩形,面积为.因为这位同 的爸爸在离开家前能拿到报纸必须满足x
的x的取值范围是x∈(30°,90°),于是所求概率P==.
5. [解析 当AA'的长度等于半径的长度时,∠AOA'=,由圆的对称性及几何概型得所求概率P==.
6. [解析 取AD的三等分点E',F',取BC的三等分点E,F,连接EE',FF',如图所示.因为AD=3,AB=2,所以BE=FC=AE'=F'D=1,EE'=FF'=2,所以当点P落在虚线段EE'上时,△ABP的面积等于1,当点P落在虚线段FF'上时,△CDP的面积等于1,从而可知当点P落在矩形EE'F'F内(包括边界)时,△ABP和△CDP的面积均不小于1,故所求概率P==.
7. [解析 由1≤f(x)≤2,可知1≤log2x≤2,解得2≤x≤4,由几何概型可知,所求概率P=.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨 两数的平方和小于1的数对落在圆x2+y2=1在第一象限与坐标轴围成的扇形区域内,而由[0,1 中的两数构成的点(x,y)落在一个正方形区域内,由此求出相应的面积就可利用几何概型的概率公式求得结果.
C [解析 由题意可知(xi,yi)(i=1,2,…,n)在如图所示的正方形中,两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中.由几何概型概率计算公式知≈,∴π≈.
变式题 A [解析 设落在阴影区域内的小米的粒数大约是x,圆O的半径为r,则≈,∴x≈550,故选A.
例2 [思路点拨 首先利用直线与圆相交的充要条件求得满足条件的 的取值范围,然后利用几何概型的概率公式进行计算.
D [解析 由<1得| |<,所以所求概率为=,故选D.
变式题 (1)A (2)C [解析 (1)由题意知,只需AP>BP,故所求概率为.故选A.
(2)代表数x的点到区间两端点的距离均不小于,则x落在区间,内,故所求概率为=,故选C.
例3 [思路点拨 本题为与体积有关的几何概型,只需分别求出圆柱的体积与以圆柱的底面圆心为球心,半径为1的半球的体积就会顺利求得结果.
[解析 由题意得该圆柱的体积V=π×12×2=2π.圆柱内满足点P到点O的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球,且此半球的体积V1=×π×13=π,所以所求概率P==.
变式题 1-π [解析 由题意知,到正方体一个顶点的距离小于或等于1的点的集合为以该顶点为球心,1为半径的球的,而正方体的体积V=33=27,所以由几何概型的概率公式得所求概率P=1-=1-π.
例4 [思路点拨 首先求出大正方形的面积,然后求得小正方形的面积,最后利用几何概型的概率公式求解.
A [解析 设勾为a,则股为a,则弦为2a,则图中大正方形的面积为4a2,小正方形的面积为(-1)2a2=(4-2)a2.由几何概型知,图钉落在黄色图形内的概率为=1-,所以落在黄色图形内的图钉颗数大约为10001-≈134.故选A.
例5 [思路点拨 首先求出已知区域的面积,然后根据函数的单调性确定a,b满足的条件,并作出对应的平面图形,最后结合几何概型知识求解.
A [解析 作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分所示.
若函数f(x)=ax2-2bx+3在区间,+∞上是增函数,则即可得满足条件的平面区域为△OBC.由得即C,,则S△OBC=×4×=,又S△OAB=×4×4=8,故所求概率P===,故选A.
例6 [思路点拨 首先建立恰当的坐标系,求出过C,M,D三点的抛物线方程,再利用定积分求阴影部分的面积,进而利用几何概型可求得概率.
D [解析 以M为原点,BA所在直线为y轴,BA的垂线为x轴,建立平面直角坐标系,则过C,M,D三点的抛物线方程为y2=x,则图中阴影部分的面积为2dx=2××=,所以落在阴影部分的概率为P==,故选D.
强化演练
1.C [解析 设矩形的另一边长为y(单位:m),由三角形相似可得=,则y=40-x,则矩形面积为(40-x)x≤=400(当且仅当x=20时等号成立),即矩形的最大面积为400 m2.根据几何概型概率公式可得,P(A)的最大值为=,故选C.
2.D [解析 如图所示,由几何概型可知所求概率为=1-.故选D.
3.D [解析 作出可行域如图,其中SΩ=S△OAB=18,SΓ=S△OCD=4,根据几何概型知,所求概率P===,故选D.
4.D [解析 由题意可作出如下图形,由几何概型可知所求概率P==.故选D.
5.D [解析 由题意可知,所求概率等于图中阴影部分的面积与正方形面积的比值,故所求概率P==,故选D.
【备选理由】例1考查以长度为几何测度的几何概型概率计算;例2考查以面积为测度的几何概型概率计算;例3考查与线性规划交汇的几何概型概率计算;例4考查与定积分交汇的几何概型概率计算.
1 [配合例2使用 在半径为2的圆的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于该直径的弦,则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是 ( )
A. B.
C. D.
[解析 C 如图所示,设△CEF是圆O的内接正三角形,CD是直径,B是EF的中点,则易求得圆O的内接正三角形的边长是2,从而可求得BD=4-2×=1,因此所求概率为=.
2 [配合例4使用 已知正方形ABCD中,点E为边CD的中点,若在正方形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率为 ( )
A. B.
C. D.
[解析 C 如图所示,设正方形的边长为a,则阴影部分的面积S1=×a×a=a2,正方形的面积S=a2,所以由几何概型的概率公式可知点Q取自△ABE内部的概率P==.
3 [配合例5使用 不等式组 表示的点集记为M,不等式组 表示的点集记为N,在M中任取一点P,则P∈N的概率为 ( )
A. B.
C. D.
[解析 D 因为点集M,N在平面中,所以可以用面积的比值来求得概率.图中阴影部分表示点P∈M且P∈N,矩形面积S=4×4=16,非阴影部分面积S1=×4×4+×1×1+x2dx=,所以阴影部分面积S2=S-S1=16-=,所以所求概率P==.
4 [配合例6使用 设a∈[1,4 ,b∈[1,4 ,则随机地抽出一对有序实数对(a,b),使得函数f(x)=4x2+a2与函数g(x)=-4x的图像有交点的概率为 ( )
A. B.
C. D.
[解析 A 因为a∈[1,4 ,b∈[1,4 ,所以(a,b)所在区域的面积为9.f(x)=4x2+a2与g(x)=-4x的图像有交点等价于4x2+4x+a2=0有解,即Δ=16b-16a2≥0,得b≥a2,此时(a,b)所在区域如图中阴影部分所示,其面积为 3-da=3-=.由几何概型的概率公式得函数f(x)=4x2+a2与函数g(x)=-4x的图像有交点的概率为=.
