中考数学专题复习练习：相似三角形的判定

中考数学专题复习练习：相似三角形的判定

典型例题一 例01．如图，已知：在中，，，是角平分线，‎ 求证：‎ 分析 有一个角是的等腰三角形，它的底角是，而是底角的平分线，，所以∽，则由相似推出线段之间的比例关系 证明 ，而，‎ 又平分，‎ ‎，‎ 且∽（两角对应相等，两三角形相似）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 说明 ①如果有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这种判别方法和基本定理判别方法是应用最多的两个方法 ‎②平方式在相似三角形中经常出现，证明时可采用这样的方法：可以用相等的线段代替已知线段，从而创造出平方，或某线段是两个相似三角形的公共边，也可以创造出平方来 典型例题二 例02．已知：如图，在中，，、分别是、上的两点，并且 求证：‎ 分析 要证，即要证，这一点只需通过证明∽就可以了，那么和有一公共角 ‎，再根据它们边之间的关系式就可证明这两三角形相似 证明，‎ 又是和的公共角，‎ ‎∽（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）‎ 即 说明 如果两个三角形没有互相平行的边，而有公共角时，我们一般使用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定两个三角形相似 典型例题三 例03．如图，已知：在中，，和是的高 求证：‎ 分析 此题是证明线段的倍半关系，采用加倍或折半的方法来证都比较困难，由已知可得和为含有角的直角三角形，因而有，‎ ‎，所以要证，只须证明∽就可以了. ‎ ‎ 证明 在中，‎ ‎ ， ‎ ‎ 同理，，‎ ‎ ，‎ ‎ ∽（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）‎ ‎ ‎ ‎ 说明 证明线段的倍半问题有以下几种方法：（1）取长线段的中点，证其一半等于短线段（折半法）；（2）延长短线段为其2倍，证其与较长线段相等（加倍法）；（3）用其他线段作媒介，其中经常用的有①三角形两边（或梯形两腰）的中点连线等于底边（或两底之和）的一半；②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；③直角三角形中角的对边等于斜边的一半；④利用三角形相似，通过成比例线段证明线段的倍半关系等 典型例题四 例04．如图，已知为内一点，为外一点，且，，‎ 求证：∽‎ 证明 ，，‎ ‎ ∽ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 即 ‎ ‎∽‎ 说明 本题考查相似三角形的判定，解题关键是要先证∽，从而得 典型例题五 例05．如图，在中，，，；在中，，，，试判断这两个三角形是否相似. ‎ 错解 ，‎ ‎ ‎ 与不相似 正解 在与中，‎ 又，‎ ‎∽‎ 说明 判定两三角形是否相似，不能依图形的放置方向来考查，而应该按相似三角形的判定方法仔细判定，错解中没有将夹已知角的长边与长边相对应，显然是错误的. ‎ 典型例题六 例06．如图，，是是高，‎ 求证：‎ 证明 ，，‎ ‎∽ ‎ ‎，‎ ‎∽‎ 说明 本题考查相似三角形判定的应用，解题关键是先证∽，再证∽‎ 典型例题七 例07．如图，已知：在梯形中，，，，，且 求证：‎ 分析 由已知可得到，要证，可考虑证、所在的两个三角形相似 证明 ，又，，，‎ ‎，‎ 即，‎ 又，‎ ‎∽（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）‎ ‎（相似三角形的对应角相等）‎ 说明 利用相似三角形的对应角相等去证明角相等，是证明角相等的又一种方法 典型例题八 例08．如图，已知：是的斜边上的高，为上任意一点，，垂足为 求证：‎ 分析 证明此种类型的题目，常用的方法是先求出平方线段的代换式，由已知是斜边上的高，又，于是，∽，从而，即.要证明此题，还需证明，也就是证明，即.考察这四条线段所在的三角形，可知转为证明∽就行了.‎ 证明 是斜边上的高，‎ ‎，，‎ ‎∽（有两个角对应相等，那么这两个三角形相似）‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∽（有两个角对应相等的两个三角形相似）‎ ‎ ‎ 典型例题九 例09．如图，已知：在中，，于，在上，若于 求证：‎ 分析 证明，可考虑证∽，由于公用，只需证即可 证明 在中，，，‎ ‎∽（直角三角形被斜边上的高分成的两个直角和原三角形相似）‎ 同理，在中，，，‎ ‎.又，‎ ‎∽（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）‎ 典型例题十 例10．已知：如图，，，，（1）当与，之间满足怎样的关系时，∽；（2）当与，之间满足怎样的关系时，‎ ‎∽；（3）当与，之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似 解答：（1）‎ 当中，∽‎ 即当时，∽ ‎ 故当时，∽ ‎ ‎（2），‎ 当时，∽‎ 即时，∽，‎ 当时，∽‎ ‎（3）综合（1）（2）可知，当或时这两个三角形相似. ‎ 说明 本题是一个条件探索性问题，易错点是弄错对应边或第（3）小题不分类讨论. ‎ 典型例题十一 例11．已知：如图，在矩形中，为的中点，交于，连结（）‎ ‎（1）与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由 ‎（2）设，是否存在这样的值，使得∽？若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由 分析 这既是一道判断推理性试题，又是一道探索存在性的试题 对于第（1）题，可延长与的延长线交于点 在与中，，，‎ ‎ 为的中点 又， ，‎ 又与均为直角三角形，∽‎ 对于第（2）题，如果，‎ 即存在，有∽‎ 其证明思路是：当时，有 这时，从而可推断，‎ 又均为，∽‎ 这时值得同学们注意的是：因为不平行于，‎ ‎ 不存在第二种相似情况 典型例题十二 例12．如图，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以‎2厘米/秒的速度移动；点沿边向点A以‎1厘米/秒的速度移动，如果，同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么：‎ ‎（1）当为何值时，为等腰直角三角形？‎ ‎（2）求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论 ‎（3）当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似？‎ 解答：（1）对于任何时刻，，，‎ 当时，为等腰直角三角形，即，解得（秒）‎ ‎（2）在中，‎ 在中，‎ ‎（厘米）‎ 由计算结果发现：在，两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变. （也可提出：，两点到对角线的距离之和保持不变）‎ ‎（3）根据题意，可分为两种情况来研究. 在矩形中：‎ ‎①当时，∽，则. 解得（秒）‎ 秒时，∽‎ ‎②当时，∽，则. 解得（秒）‎ 当秒时，∽‎ 说明 本题将“几何一动点”及分类讨论相结合，综合创新命题，全面考查学生素质 三角形相似的判定的典型例题 例1、（上海市，2001）如图1-1，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个 △A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．‎ 分析：此题是一道开放题，满足条件的图形较多，不能盲目地去画图，关键要抓住图形的特征．‎ 如∠ACB=135°，这样就容易解决．‎ ‎（图1-1）‎ 解：如图1-2，可知∠ABC=∠，‎ 不妨设小正方形的边长为1个单位，‎ 则，，‎ ‎∴△A1B1C1∽△ABC．‎ ‎∴ △A1B1C1即为所求．‎ ‎（图1-2）‎ 说明：（1）此题答案有多种，通过本题加强对数学素质和数学能力培养；（2）解此题的关键是认真分析图形，找出切入点，利用所学的知识解决；（3）在判断三角形相似时，要灵活应用定理，如本题要用“两角对应相等，两三角形相似”则较难．‎ 三角形相似的判定的典型例题 例2、如图，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于F，则图中相似三角形共有　　　　　对　. ‎ 分析：图形中相似形较多，不能盲目的取找，先对相似形分类，再计算．‎ 解：由条件可知：‎ （1） ‎△ABD∽△CDB；‎ （2） ‎△ABE∽△DFE；‎ （3） ‎△AED∽△GEB；‎ （4） ‎△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形．‎ ‎∴图形中一共有6对相似三角形．‎ 说明：（1） 识图是一种思维训练，它也是能力的培养，在今后的解题中非常重要；（2）△ABG∽△FCG∽△FDA，三个相似的三角形，是怎样组成3对相似三角形？（它是一个组合问题）不妨设这三三角形为a、b、c，则它们可组成：ab、ac；bc．你看出其中的规律了吗？请你考虑4个、5个、……都相似三角形，可以组成多少对相似三角形．‎ 三角形相似的判定的典型例题 例3、（河北省，2001）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．‎ 求证：△ADQ∽△QCP．‎ 分析：要找出解决问题的切入点，现已知∠D=∠C=90°，而有很难找出第二个角对应相等，根据条件切入点在边的比，这样问题就解决了．‎ 证明：在正方形ABCD中，‎ ‎∵Q是CD的中点，‎ ‎∴.‎ ‎∵， ∴‎ 又∵BC=2DQ，‎ ‎∴，‎ 在△ADQ和△QCP中，，∠C=∠D=90°‎ ‎∴△ADQ∽△QCP．‎ 说明：解此题的关键是认真分析图形，找出切入点，利用所学的知识解决，灵活应用定理．‎ 选择题 ‎1．如图，于D，于E交AD于F，则图中相似三角形的对数是（ ）‎ A．3对 B．4对 C．5对 D． 6对 ‎2．（安徽省，2001）如图，P是的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截，使截得的三角形与相似，满足这样条件的直线共有（ ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎3．（威海市，2001）如图，在正方形网络上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥. 其中，②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）‎ A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥‎ ‎4．（济南市，2002）下列命题中，真命题是（ ）‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．底角相等的两个等腰三角形全等 C．一条对角线将平行四边形分成的两个三角形相似 D．圆是中心对称图形而不是轴对称图形 ‎5．（哈尔滨市，2002）已知：如图，中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④‎ ‎. 其中，能满足和相似的条件是（ ）‎ A．①、②、④ B．①、③、④ C．②、③、④ D．①、②、③‎ ‎6．如图，F是的AB边上一点，那么下面四个命题中成熟的命题是（ ）‎ A．若，则∽‎ B．若，则∽‎ C．若，则∽‎ D．若，则∽‎ 参考答案;‎ ‎1．D 2．C 3．B 4．C 5．D 6．D 填空题 ‎1．如图，在中，，交AB于E，，垂足为D，若，，则_______，_______，________. ‎ ‎2．如图，点D在内，连结BD并延长到E，连结AD，AE，若，，则_______度. ‎ ‎3．（宁德市，2002）如图，D，E分别是中AB，AC边上的点，当添加一个条件：_______时，与相似. （注：只需填上你认为正确的一种情况即可）‎ ‎4．（南京市，2002）下列命题：（1）所有的等腰三角形都相似；（2）所有的等边三角形都相似；（3）所有的等腰直角三角形都相似；（4）所有的直角三角形都相似．其中真命题的序号是_____（注：把所有真命题的序号都填上）. ‎ ‎5．（桂林市，2002）如图，正方形ABCD的边上为2，，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当______时，与以M，N，C为顶点的三角形相似. ‎ ‎6．（黑龙江省，2000）如图，在中，，过AC上一点D作直线DE，交AB于E，使和相似，这样的直线可作______条. ‎ 参考答案：‎ ‎1．3，， ‎ ‎2． ‎ ‎3． ‎ ‎4． （2）、（3） ‎ ‎5．或 ‎6．两 解答题 ‎1．如图，以DE为轴，折叠等边，顶点A正好落在BC边上F处. ‎ 求证：～. ‎ ‎2．如图，梯形ABCD中，，，，，，‎ 求. ‎ ‎3．如图，，，‎ 求证：∽. ‎ ‎4． 在等边中，D在BC上，E在CA上，，AD，BE相交于F. ‎ 求证：①∽，②∽.‎ ‎5．（吉林省，2002）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，回答问题：‎ ‎（1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；‎ ‎（2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来. ‎ ‎6．已知：如图，AD是的中线，. ‎ 求证：. ‎ ‎7．如图，AD是的高，于E，于F. ‎ 求证：. ‎ ‎8．如图，中，，D是BC的中点，于F，E是DF的中点. ‎ 求证：. ‎ ‎9．如图，中，，M为BC的中点，交CA的延长线于D；交AB于E. ‎ 求证：. ‎ ‎10．如图，中，，AD是中线，P是AD上一点，过C作，延长BP交AC于E，交CF于F. ‎ 求证：. ‎ ‎11．如图，在中，已知，于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F. ‎ 求证：. ‎ ‎12．（河北省，2001）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且，Q是CD的中点. ‎ 求证：∽. ‎ ‎13．（上海市，2000）如图，在大小为的正方形方格中，的顶点A，B，C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个，使∽（相似比不为1），且点，，都在单位正方形的顶点上. ‎ ‎14．（河南省，2000）如图，点C，D在线段AB上，是等边三角形. （1）当AC,CD，DB满足怎样的关系时，∽?（2）当∽时，求的度数. ‎ ‎15． （黄冈市，1999）老师讲完“三角形相似的判定”一节后，出了这样一道思考题：如图，梯形ABCD中，，对角线AC、BD相交于O，问与是否相似，有一位同学解答如下：在与中，∵，∴，又∵，∴∽. ‎ 请你判断这位同学的解答是否正确，并说明你判断的理由. ‎ ‎16．（山西省，2001）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在下图的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明．‎ ‎（要求：所画三角形是钝角三角形，并标明相应的字母．）‎ ‎17．（温州市，2001）请设计三种不同的分法，将直角三角形（如图 ）分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似．（画图工具不限，要求画出分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求证明，不要求写出画法）‎ ‎（注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法）‎ ‎18．（曲靖市，2001）已知：如图，矩形ABCD，. 在AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设. 问：这样的点E是否存在？若存在，这样的点E有几个？请说明理由. ‎ ‎19．如图，在直角梯形ABCD中，，如果，，，那么在AB边上是否存在点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，这样的点P有几个？并计算AP的长度. ‎ 参考答案：‎ ‎1．∵，∴，，∴∽‎ ‎2．先证∽，可求得，，‎ ‎3．先证∽‎ ‎4．先证，∴. ∴∽. 由得. ∴. ∴∽‎ ‎5．（1）共有七个三角形，它们是：、、、、、、. （2）有相似三角形，它们是：∽、∽、∽（或∽∽）‎ ‎6．，，则∽‎ ‎7．证∽，∴. 同理，，则. 证∽‎ ‎8．连结AD. 证∽，则，‎ ‎∴，即. ∵，‎ ‎∴∽. ∴. ∴，∴‎ ‎9．证∽‎ ‎10．连结PC，证∽‎ ‎11．证∽，∽‎ ‎12．证 ‎13．略 ‎14．（1）∵是等边三角形，∴，，从而. ∴当时，∽，即当时，∽；（2）当∽时，. ∴‎ ‎15．由于并不表示与的对应边成比例，所以∽成立 ‎16．略 ‎ ‎17．略 ‎18．当时，存在一个点E，即AB的中点；当时，不存在；当时，存在两个点E ‎19．存在，AP的长为或1或6‎