2020年高考数学一轮复习 第05节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

2020年高考数学一轮复习 第05节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第05节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 了解函数 y＝A sin (ωx＋φ) 的物理意义，掌握 y＝A sin (ωx＋φ) 的图象，了解参数 A，‎ ω，φ 对函数图象变化的影响.‎ ‎2013浙江文6理4； ‎ ‎2014浙江文4，理4；‎ ‎2016浙江文11，理10.‎ ‎1.“五点法”作图；‎ ‎2.函数图象的变换；‎ ‎3.三角函数模型的应用问题.‎ ‎4.往往将恒等变换与图象和性质结合考查 ‎5.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握函数图象的变换；‎ ‎(2) 掌握三角函数模型的应用.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.求三角函数解析式 ‎（1）的有关概念 ‎，‎ 表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 ‎（2）用五点法画一个周期内的简图 用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：‎ ‎－‎ ‎（3）由的图象求其函数式：‎ 已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．‎ ‎（4）利用图象变换求解析式：‎ 15‎ 由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.‎ ‎2.三角函数图象的变换 ‎1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）‎ 平移变换：左加右减，上加下减 把函数向左平移个单位，得到函数的图像;‎ 把函数向右平移个单位，得到函数的图像;‎ 把函数向上平移个单位，得到函数的图像;‎ 把函数向下平移个单位，得到函数的图像.‎ 伸缩变换:‎ 把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;‎ 把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;‎ 把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像;‎ 把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像.‎ ‎2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.‎ 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.‎ 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.‎ 注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当 15‎ 时)平行移动个单位长度而得到.‎ ‎3 .函数的图像与性质的综合应用 ‎（1）的递增区间是，递减区间是.‎ ‎（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.‎ 的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．‎ ‎（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.‎ ‎（4）的最小正周期都是.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1求三角函数解析式 ‎【1-1】【2018届河北省石家庄二中三模】将周期为的函数的图象向右平移个单位后，所得的函数解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A 15‎ ‎【1-2】【2018云南省师范大学附属中学适应性月考卷一】将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】的图象向左平移单位得到的图象，即将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是，故选C.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：‎ ‎(1) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝；‎ ‎(2) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝；‎ ‎(3) 的确定：结合图象，先求出周期，然后由 ()来确定；‎ ‎(4) 求，常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．‎ 15‎ ‎②五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为 (即令，)确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可.‎ ‎2.注意：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；‎ ‎（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟摸底】已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图易知： ， ，∴，即，‎ 由五点法作图知： ，得： ，∴‎ 即，将函数的图象向左平移个单位，得： ，‎ 即=‎ 15‎ 故选A.‎ ‎【变式二】【2018安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考】函数 的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为（ ） ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的部分图象知，，解得，根据五点法画正弦函数图象，知时，，解得，将的图象向左平移个单位后，得到，故选B.‎ 考点2 三角函数图象的变换 ‎【2-1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】A 15‎ ‎【2-2】【2018黑龙江省大庆实验中学上学期期初考】已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ）‎ A. 可由函数的图象向左平移个单位而得 B. 可由函数的图象向右平移个单位而得 C. 可由函数的图象向左平移个单位而得 D. 可由函数的图象向右平移个单位而得 ‎【答案】D ‎【解析】由已知得， 则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．‎ ‎2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．注 ‎3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．‎ ‎4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018届福建省两大名校一模】将函数的图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据辅助角公式，我们可将函数化为余弦函数型函数的形式，进而得到平移后函数的解析式，结合所得图象对应的函数为偶函数及余弦型函数的性质，即可求出答案.‎ 详解：，‎ 15‎ 将其图象向左平移（）个单位长度，‎ 所得图象对应的解析式为，‎ 由于为偶函数，‎ 则，‎ 则，‎ 由于，故当时，.‎ 故选：C.‎ ‎【变式二】【2018届浙江省嘉兴市第一中学9月测试】由函数的图象，变换得到函数的图象，这个变换可以是（ ）‎ A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 ‎【答案】B ‎【解析】由函数的图象，变换得到函数的图象向右平移.‎ 故选：B 考点3函数的图像与性质的综合应用 ‎【3-1】【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.‎ 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.‎ 15‎ 本题选择A选项.‎ ‎【3-2】【2017浙江杭州二模】设函数.‎ ‎（1）求函数的周期和单调递增区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）3.‎ 试题解析：（1）因为 .‎ ‎ ， ，‎ 函数的单调递增区间为： ；‎ ‎（2）， ，‎ ‎，‎ 的最大值是3.‎ ‎【3-3】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：‎ 15‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ ‎1.5‎ ‎2．4‎ ‎1.5‎ ‎0．6‎ ‎1.4‎ ‎2.4‎ ‎1.6‎ ‎0.6‎ ‎1.5‎ ‎（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 ‎①， ②，③‎ 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于‎1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ） 中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.‎ ‎【答案】(1) 选②做为函数模型， ;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.‎ 才能确保集训队员的安全.‎ ‎【解析】试题分析 ：（1）先画出散点图，可知选②做为函数模型，同时可求出各参数， , 代最值点可求.（2）由（Ⅰ）知： ,令，可解得 .‎ 试题解析：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：‎ ‎- ‎ 依题意，选②做为函数模型，‎ ‎ ‎ 15‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ‎ 令，即 ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，‎ 才能确保集训队员的安全.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 求形如或 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)．‎ ‎2. 如何确定函数当时函数的单调性 对于函数求其单调区间，要特别注意 15‎ 的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.‎ ‎3.求函数 (或，或)的单调区间的步骤：‎ ‎(1)将化为正．‎ ‎(2)将看成一个整体，由三角函数的单调性求解．‎ ‎4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减 C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.‎ 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.‎ ‎【变式二】【2018福建省闽侯第六中学第一次月考】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 15‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,若,的图像都经过点,则的值可以是( )‎ A. B. C. D.‎ 易错分析：函数的图像向右平移个单位长度误写成.‎ 正确解析：依题意,因为,的图像都经过点,所以,又因为,所以,或,即或,,在,中,取,即得,故选B.‎ 温馨提醒：(1)三角函数图像变换是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的变换”的原则．(2)对于三角函数图像平移变换问题,其移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量,如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把变换成,最后确定平移的单位,并根据的符号确定平移的方向.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 15‎ 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ ‎【典例】【2018届北京市城六区一模】函数（）的部分图象如图所示， ‎ 其中是函数的一个零点．‎ ‎(I)写出及的值；‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为；最大值为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）结合函数的最小正周期可得，由时的函数值可得，函数的解析式为： ，则.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，结合正弦函数的性质可得函数在区间上的最小值为；最大值为.‎ 15‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，‎ 因为，所以，‎ 当即时， 的最小值为.‎ 当即时， 的最大值为.‎ 15‎