2020版高考数学一轮复习(讲义·理)第3章三角函数解三角形 第5讲 简单的三角恒等变换 第1课时两角和差及倍角公式

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2020版高考数学一轮复习(讲义·理)第3章三角函数解三角形 第5讲 简单的三角恒等变换 第1课时两角和差及倍角公式

第5讲 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和、差及倍角公式 ‎1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)C(α∓β):cos(α∓β)=cosαcosβ±sinαsinβ.‎ ‎(2)S(α±β):sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.‎ ‎(3)T(α±β):tan(α±β)=.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)S2α:sin2α=2sinαcosα.‎ ‎(2)C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.‎ ‎(3)T2α:tan2α= .‎ ‎3.公式的常用变形 ‎(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).‎ ‎(2)cos2α=,‎ sin2α=.‎ ‎(3)1±sin2α=(sinα±cosα)2,‎ sinα±cosα=sin.‎ ‎(4)asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ= ‎,tanφ=(a≠0).‎ ‎1.概念辨析 ‎(1)公式C(α±β),S(α±β),S2α,C2α中的角α,β是任意的.(  )‎ ‎(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(  )‎ ‎(3)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定.(  )‎ ‎(4)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.(  )‎ ‎(5)对任意角α都有1+sin=2.(  )‎ 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√‎ ‎                    ‎ ‎2.小题热身 ‎(1)若cosα=-,α是第三象限的角,则sin=(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 C 解析 因为cosα=-,α是第三象限的角,‎ 所以sinα=-=-,‎ 所以sin=sinαcos+cosαsin ‎=×+×=-.‎ ‎(2)计算:cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=(  )‎ A.sin(α+2β) B.sinα C.cos(α+2β) D.cosα 答案 D 解析 cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.‎ ‎(3)已知cosx=,则cos2x=(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 D 解析 cos2x=2cos2x-1=2×2-1=.‎ ‎(4)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y 轴对称.若tanα=,则tan(α-β)的值为(  )‎ A.0 B. C. D. 答案 D 解析 由角α与角β的始边相同,终边关于y轴对称可知tanα=-tanβ.又tanα=,所以tanβ=-,‎ 所以tan(α-β)===,故选D.‎ 题型  两角和、差及倍角公式的直接应用 ‎                  ‎ ‎1.已知角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于y轴对称,且角α的终边与单位圆交于点P,则sin(α-β)=________.‎ 答案 - 解析 因为角α的终边与单位圆交于点P,‎ 所以sinα=,cosα=.‎ 因为角α与角β的终边关于y轴对称,‎ 所以角β的终边与单位圆交于点Q,‎ 所以sinβ=,cosβ=-,‎ 所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×-×=-.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________.‎ 答案  解析 tan===,‎ 解方程得tanα=.‎ ‎3.已知α∈,sinα=,则cos的值为________.‎ 答案 - 解析 因为α∈,sinα=.‎ 所以cosα=-=-.‎ 所以sin2α=2sinαcosα=-,‎ cos2α=cos2α-sin2α=,‎ 所以cos=coscos2α+sinsin2α ‎=-×+×=-.‎ 应用三角公式化简求值的策略 ‎(1)使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.‎ ‎(2)使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.‎ ‎(3)使用公式求值,应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.‎ ‎1.(2018·石家庄质检)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则sin2α的值为(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 A 解析 ∵sin(π-α)=,∴sinα=,又∵≤α≤π,‎ ‎∴cosα=-=-,‎ ‎∴sin2α=2sinαcosα=2××=-.‎ ‎2.(2018·上饶三模)由射线y=x(x≥0)按逆时针方向旋转到射线y=-x(x≤0)的位置所成的角为θ,则cosθ=(  )‎ A.- B.± C.- D.± 答案 A 解析 设y=x(x≥0)的倾斜角为α,则sinα=,cosα=,射线y=-x(x≤0)的倾斜角为β,sinβ=,cosβ=-,∴cosθ=cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=-.‎ ‎3.若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于(  )‎ A.5 B.-1 C.6 D. 答案 A 解析 由题意可得sinαcosβ+cosαsinβ=,‎ sinαcosβ-cosαsinβ=,解得sinαcosβ=,‎ cosαsinβ=,∴=5.‎ 题型  两角和、差及倍角公式的逆用和变形用 ‎1.计算-sin133°cos197°-cos47°cos73°的结果为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 -sin133°cos197°-cos47°cos73°‎ ‎=-sin47°(-cos17°)-cos47°sin17°‎ ‎=sin(47°-17°)=sin30°=.‎ ‎2.(1+tan18°)(1+tan27°)的值是(  )‎ A. B.1+ C.2 D.2(tan18°+tan27°)‎ 答案 C 解析 (1+tan18°)(1+tan27°)‎ ‎=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°‎ ‎=1+tan45°(1-tan18°tan27°)+tan18°tan27°=2.‎ ‎3.已知sinα+cosα=,则cos4α=________.‎ 答案  解析 由sinα+cosα=,得sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=,所以sin2α=,从而cos4α=1-2sin22α=1-2×2=.‎ 条件探究1 将举例说明3的条件改为“sinα-cosα=”,求cos4α.‎ 解 因为sinα-cosα=,‎ 所以1-2sinαcosα=,‎ 所以sin2α=2sinαcosα=-,‎ 所以cos4α=1-2sin22α=1-2×2=-.‎ 条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos2=,α∈(π,2π)”,求sinα+cosα.‎ 解 因为cos2= ‎==.所以sin2α=>0,‎ 又因为α∈(π,2π),所以α∈,‎ 所以sinα+cosα<0,‎ ‎(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=,‎ 所以sinα+cosα=-.‎ ‎1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题 ‎(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.‎ ‎(2)注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.‎ ‎2.熟记三角函数公式的两类变式 ‎(1)和差角公式变形 sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ,‎ cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ,‎ tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanαtanβ).‎ ‎(2)倍角公式变形 降幂公式cos2α=,sin2α=,‎ 配方变形:1±sinα=2,1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2.‎ ‎1.若x∈[0,π],sinsin=coscos,则x的值是(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 由已知得,coscos-sinsin=cosx=0.∵x∈[0,π],∴x=.‎ ‎2.(2019·湖南郴州质检)已知x∈(0,π),‎ sin=cos2,则tanx=(  )‎ A. B.-2 C. D. 答案 D 解析 因为sin=cos2,‎ 所以cosx-sinx=,‎ cosx-sinx=1-sinx,解得cosx=,‎ 因为x∈(0,π),所以sinx==,‎ 所以tanx===.‎ ‎3.化简:·=________.‎ 答案  解析 原式=tan(90°-2α)·=· ‎=·=.‎ 题型  两角和、差及倍角公式的灵活应用 角度1 角的变换 ‎1.(2018·南开区模拟)已知0<α<<β<π,cos=,sin(α+β)=.‎ ‎(1)求sin2β的值;‎ ‎(2)求cos的值.‎ 解 (1)sin2β=cos=2cos2-1=-.‎ ‎(2)因为0<α<<β<π,所以<α+β<,‎ 所以sin>0,cos(α+β)<0,‎ 因为cos=,sin(α+β)=,‎ 所以sin=,cos(α+β)=-,‎ 所以cos=cos=cos(α+β)·cos+sin(α+β)sin=×+×=.‎ 角度2 函数名称的变换 ‎2.求值:(1)=________;‎ ‎(2)-sin10°=________.‎ 答案 (1) (2) 解析 (1)= ‎===.‎ ‎(2)原式=-sin10°· ‎=-sin10°· ‎=-sin10°· ‎=-2cos10°= ‎= ‎===.‎ 三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路 ‎(1)角的变换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的变换技巧,及半角与倍角的相互转化,如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,40°=60°-20°,+=,=2×等.‎ ‎(2)名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.‎ ‎1.若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos等于(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 C 解析 ∵0<α<,∴<α+<.‎ ‎∵cos=,∴sin=.‎ ‎∵-<β<0,∴<-<.‎ ‎∵cos=,∴sin=.‎ ‎∴cos=cos ‎=coscos+sinsin ‎=×+×=.‎ ‎2.(2018·吉林第三次调研)若sin=,则cos2=________.‎ 答案  解析 因为sin=sin=cos=,所以cos2===.‎ ‎3.(2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.‎ ‎(1)求cos2α的值;‎ ‎(2)求tan(α-β)的值.‎ 解 (1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.‎ 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,‎ 因此,cos2α=2cos2α-1=-.‎ ‎(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).‎ 又因为cos(α+β)=-,‎ 所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.‎ 因为tanα=,所以tan2α==-,‎ 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]‎ ‎==-.‎ ‎ 思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想 ‎[典例1] (2018·石嘴山一模)已知α满足sinα=,那么sinsin的值为(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 D 解析 ∵sin=sin=cos,‎ ‎∴sinsin=sincos=sin=cos2α=(1-2sin2α)==.‎ ‎[典例2] 若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=________.‎ 答案  解析 因为tanα=,tan(α+β)=,‎ 所以tanβ=tan[(α+β)-α]===.‎ 方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档