专题24+三角函数的图象和性质1(正弦型)-2019年高考数学(理)高频考点名师揭秘与仿真测试

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专题24+三角函数的图象和性质1(正弦型)-2019年高考数学(理)高频考点名师揭秘与仿真测试

‎2019年高考数学(理)高频考点名师揭秘与仿真测试 ‎ ‎24 三角函数的图象和性质1(正弦型)‎ ‎【考点讲解】1.能画出的图象;‎ 2. 了解三角函数的周期性.理解正弦函数在区间的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等).‎ 一、具本目标:1.会用“五点法”作图;‎ ‎2.备考重点:(1) 掌握正弦函数及正弦型函数的图象;(2) 掌握正弦函数及正弦型函数的周期性、单调性、对称性以及最值.‎ 二、知识概述:‎ ‎1.正弦函数的图象与性质:‎ 性质 图象 定义域 值域 最值 当时,;当时,.‎ 周期性 奇偶性 ‎,奇函数 单调性 在上是增函数;在上是减函数. ‎ 对称性 对称中心 对称轴,既是中心对称又是轴对称图形。‎ ‎2.用五点法画出正弦型函数的图象,先列表,令,求出对应的五个的值和五个值,再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点,再把五个点利用平滑的曲线连接起来,即得到在一个周期的图像,最后把这个周期的图像以周期为单位,向左右两边平移,则得到函数的图象. ‎ ‎3.对于来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.‎ 的图象有无穷多条对称轴,可由方程解出;它还有无穷多个对称中心,它们是图象与轴的交点,可由,解得,即其对称中心为.相邻两对称轴间的距离为,相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点.‎ ‎4.近几年高考在考查三角恒等变换的同时,对三角函数图象与性质的考查力度有所加强,常常把恒等变换与图象和性质相结合来考查.三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象,难度为中低档,对基础知识与基本技能加强了考查的力度,分值分配合理,更重视细节给分,其中对函数的图象要求会用五点作图法作出,并理解它的性质:函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期;函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期;函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期,注意函数图象平移的规律,是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移.‎ ‎5.确定函数当时函数的单调性:对于函数求其单调区间,要特别注意的正负,若为负值,需要利用诱导公式把负号提出来,转化为的形式,然后求其单调递增区间,应把放在正弦函数的递减区间之内;若求其递减区间,应把放在正弦函数的递增区间之内.‎ 求函数的单调区间的步骤:(1)将化为正.(2)将看成一个整体,由三角函数 的单调性求解.‎ ‎【特别提醒】解答三角函数的问题时,不要漏了“”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结.求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正,同时切记不要漏掉考虑函数自身的定义域.‎ ‎6.确定函数的对称性时,先将函数化成的形式再求解.其图象的对称轴是直线,图象与直线的交点是图象的对称中心, 所以要记住三角函数的图象,根据图象并结合整体代入的基本思想,就可经求出三角函数的对称轴与对称中心.‎ ‎7.对于函数的奇偶性判断:如果为偶函数,就有;‎ 如果为奇函数,就有.‎ ‎8.函数的周期性:求的周期的方法 ‎(1)定义法:使得当取定义域内的每一个值时,都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路,非常适合选择题;‎ ‎(2)公式法:使用此法时先将函数转化为的形式,最小正周期是. ‎ ‎(3)图象法:可以画出函数的图象,利用图象的重复的特征进行确定,一般适应于不易直接判断,但是能够容易画出函数草图的函数;‎ ‎(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定. 如的周期都是, 但的周期为,而,的周期不变.‎ ‎2.使用周期公式,必须先将解析式化为或的形式;正弦余弦函数的最小正周期是,正切函数的最小正周期公式是;注意一定要注意加绝对值。‎ ‎9.在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响,变换有两种顺序:一种的图象向左平移个单位得,再把横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得的图象,另一种是把的图象横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得的图象,向左平移个单位得的图象.‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 也就是.可以求出函数的单调递增区间,,也就是,.同理可以求出函数的单调递减区间,,即,‎ ‎,所以正确的选项是A选项.‎ ‎【答案】A ‎2.【2018届江西省六校高三上学期第五次联考】函数是偶函数的充要条件是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3.【2017天津,文理】设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则( )‎ A., B., C., D.,‎ ‎【解析】本题考点是根据题中给出的条件求正弦型函数的解析式,要把握好题中给出的条件.由题意可得:,这里,所以有 ‎,由题中的条件可知,函数的最小正周期大于,也就是,所以有当时,,可得,由题中的条件,得到.‎ ‎【答案】A ‎ ‎4.【2016山东文理】函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x –sin x)的最小正周期是( )‎ ‎(A) (B)π (C) (D)2π ‎【答案】B ‎5.【2016高考新课标1卷】已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )‎ ‎(A)11        (B)9     (C)7        (D)5‎ ‎【解析】本题考点是正弦型三角函数的性质,‎ 是因为为的零点,为图像的对称轴,所以,即,所以,此时,又因为在单调,所以,,即,由此的最大值为9.故选B. ‎ ‎【答案】A ‎8.【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称,则的值是________.‎ ‎【解析】本题考点是正弦型函数的对称性,通过给出的两个条件求待定参数的问题.所以要用好对称轴这个条件,由题意可知图象关于直线对称,意味着函数在处取得最大或最小值是,因此有 ‎,也就是,可以求得,由题知,所以有 ‎【答案】‎ ‎9.【2017山东,理16】设函数,其中.已知.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得从而.‎ 根据得到,进一步求最小值.‎ 解析:(Ⅰ)因为,‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题设知,所以,.‎ 故,,又,所以.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得从而.‎ 根据得到,‎ 当时,时,取得最小值为.‎ ‎【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)得最小值.‎ ‎10.【2015高考湖北,理17】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图象. 若图象的一个对称中心为,求的最小值. ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ 且函数表达式为. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,得.‎ ‎ 因为的对称中心为,. ‎ ‎ 令,解得, . ‎ 由于函数的图象关于点成中心对称,令,‎ 解得,. 由可知,当时,取得最小值. ‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2.【2014四川,理3】 为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点( )‎ A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度 ‎【解析】‎ 试题分析:,所以只需把的图象上所有的点向左平移个单位.‎ ‎【答案】A ‎3.【2014辽宁理9】将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )‎ A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎4.【2015湖南理2】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的,,有,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:向右平移个单位后,得到,‎ 又∵,两函数最大与最小值的距离为2,‎ ‎∴不妨,,‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ ‎∴,故选D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎5.【2017课标3,文6】函数的最大值为( )‎ A. B.1 C. D. ‎ ‎【解析】由诱导公式可得: ,‎ 则: ,‎ 函数的最大值为 .‎ ‎【答案】A ‎6.【2015高考福建,理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到:先将 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移个单位长度.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程;‎ ‎(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解.‎ ‎ (1)求实数m的取值范围;‎ ‎ (2)证明: ‎ ‎【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(1);(2)详见解析.‎ ‎(2)1) ‎ ‎ (其中)‎ 依题意,在区间内有两个不同的解当且仅当,故m的取值范围是.‎ ‎2)因为是方程在区间内有两个不同的解,‎ 所以,.‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 所以 解法二:(1)同解法一.‎ ‎(2)1) 同解法一.‎ ‎2) 因为是方程在区间内有两个不同的解,‎ 所以,.‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 所以 于是
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