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文档介绍
湖北省武汉市武昌区2020届高三下学期六月适应性考试数学(文)试题 Word版含解析
- 1 - 武昌区 2020 届高中毕业生六月供题 文科数学试题 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 2A x Z x 或 3x ,则 ZC A ( ) A. { }1,0,1,2- B. 1 C. 1,0 D. 0,1,2 【答案】A 【解析】 【分析】 直接根据补集的定义求解即可. 【详解】解:因为集合 { | 2A x Z x 或 3}x , { | 2 3} 1,0,1,2ZC A x Z x ; 故选:A. 【点睛】本题考查集合的基本运算,基本知识的考查,属于基础题. 2.设复数 z 满足 8 4z z i ,则 z 的虚部为( ) A. 3 B. 4 C. 4i D. 3i 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用复数对应关系和模的应用求出结果. 【详解】解:设 ( , )z a bi a b R , 所以 2 2 8 4a bi a b i , 解得 4b . 故选:B. 【点睛】本题考查的知识要点:复数的模的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思 维能力,属于基础题. 3.已知命题 :p n N , 2 2nn ,则 p 为( ) - 2 - A. n N , 2 2nn B. n N , 2 2nn C. n N , 2 2nn D. n N , 2 2nn 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合特称命题的否定即可直接得解. 【详解】因为命题 :p n N , 2 2nn 为特称命题, 所以 p 为 n N , 2 2nn . 故选:C. 【点睛】本题考查了特称命题的否定,熟练掌握特称命题的否定规则是解题关键,属于基础 题. 4.已知正项等差数列 na 的前 n 项和为 nS , 4 110S a ,则 4 3 a a ( ) A. 2 B. 4 3 C. 3 4 D. 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由等差数列的前 n 项和公式可得 4 14 6S a d ,结合已知式子可求出 1a d ,利用等差数列 的通项公式可求出 4 3 a a 的值. 【详解】解:因为 na 是等差数列,设公差为 d ,所以 4 1 1 4 34 4 62S a d a d , 由 4 110S a 得 1 14 6 10a d a ,所以 1 0a d ,所以 4 1 3 1 3 4 4 2 3 3 a a d d a a d d , 故选:B. 【点睛】本题考查了等差数列的前 n 项和,考查了等差数列的通项公式,属于基础题. 5.已知 1 cos2 32cos sin 2 ,则 cos 1 sin 的值为( ) - 3 - A. 3 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 首 先 化 简 已 知 条 件 为 cos 31 sin , 再 根 据 2 21 sin cos , 观 察 得 到 2 2 cos cos cos 11 sin 1 sin 1 sin ,最后计算求值. 【详解】由条件可知 22cos 32cos 1 sin 即 cos 31 sin ,又因为 2 2 cos cos cos 11 sin 1 sin 1 sin , 所以 cos3 11 sin ,即 cos 3 1 sin 3 . 故选:C 【点睛】本题考查三角函数化简求值,重点考查转化与化归的能力,属于基础题型. 6.比较大小: 3log 2a , 0.1b e , 1ln 2c e ( ) A. a c b B. c a b C. c b a D. a b c 【答案】A 【解析】 【分析】 由对数函数的性质可知 3 1log 2 2a ,由指数函数的性质可求出 1b , 1 2c ,进而可判 断三者的大小关系. 【 详 解 】 解 : 因 为 2 3 , 所 以 3 1log 2 2a , 0.1 0 1b e e , 1ln ln2 12 12 2c e e , 则b c a , - 4 - 故选:A. 【点睛】本题考查了指数、对数式的大小比较.若两式的底数相同,常结合指数函数的单调性 比较大小,若两式的指数相等,则常结合图像比较大小;有时也进行整理通过中间值比较大 小. 7.如图在 ABC 中, 3AD DB ,P 为 CD 上一点,且满足 1 2AP m AC AB ,则实数 m 的值为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量共线基本定理,可设 DP DC ,结合向量的加法与减法运算,化简后由 1 2AP m AC AB ,即可求得参数 ,m 的值. 【详解】因为 P 为 CD 上一点,设 DP DC 因为 3AD DB 所以 3 4AD AB 则由向量的加法与减法运算可得 AP AD DP AD DC AD AC AD 1 AD AC 3 14 AB AC - 5 - 因为 1 2AP m AC AB 所以 1 3 12 4 m ,解得 1 3 1 3 m 故选:B 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法 的线性运算,属于中档题. 8.对 1,x ,“ xx e ”是“ e ”的( ) A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】 依题意 xe x 对 1x 恒成立,设 xef x x , 1,x ,利用导数研究函数的单调性, 说明其最值,即可得到参数的取值范围,即可判断; 【详解】解: xx e 对 1,x 恒成立,等价于 xe x 对 1x 恒成立,设 xef x x , 1,x ,则 2 1 0 xe xf x x ,所以 1f x f e , 所以 xx e 对 1,x 恒成立的充要条件是 e , 所以“ xx e ”是“ e ”的必要不充分条件, 故选:D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断,属于基础题. 9.某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况,对本小区业主进行了调查,调 查中问了两个问题 1:你的手机尾号是不是奇数?问题 2:你是否满意物业的服务?调查者设 计了一个随机化装置,其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球,每个被调查者随 - 6 - 机从装置中摸到红球和白球的可能性相同,其中摸到白球的业主回答第一个问题,摸到红球 的业主回答第二个问题,回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子,回答“否”的人什么 都不要做由于问题的答案只有“是”和“否”,而且回答的是哪个问题别人并不知道,因此 被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区 80 名业主参加了问卷,且有 47 名业主回答了“是”,由此估计本小区对物业服务满意的百分比大约为( ) A. 85% B. 75% C. 63.5% D. 67.5% 【答案】D 【解析】 【分析】 由问卷设计方式可知,回答第一个问题的人数有 40 人,其中有 20 人的手机号是奇数,回答 第二个问题的人数为 40 人,其中 27 人回答了“是”,由此可以估计本小区对物业服务满意 的百分比. 【详解】要调查 80 名居民,在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同,第一个问题 可能被询问 40 次,在被询问的 40 人中有 20 人手机号是奇数,而有 47 人回答了“是”,估计 有 27 个人回答是否满意物业的服务时回答了“是”, 在 40 人中有 27 个人满意服务, 估计本小区对物业服务满意的百分比 27 67.5%40 , 故选: D 【点睛】本题考查频数的求法,考查古典概型的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题. 10.已知双曲线 2 2 2 2 1 01 x y aa a 的右焦点为 F, ,0A a , 0,B b ,过 A,B,F 三点 作圆 P,其中圆心 P 的坐标为 ,m n ,当 0m n 时,双曲线离心率的取值范围为( ) A. 1, 2 B. 1, 3 C. 2, D. 3, 【答案】A 【解析】 【分析】 根据右焦点 F 及 ,0A a , 0,B b 的坐标,求得线段 FA 和线段 AB 的中垂线方程,然后联 - 7 - 立解得圆心坐标,再根据 0m n 求解. 【详解】因为双曲线 2 2 2 2 1 01 x y aa a , 所以求右焦点为 1,0F , 所以线段 FA 的中垂线方程为 1 2 ax , 线段 AB 的中垂线方程为: 2 2 b a ay xb , 联立得: 1 2 2 2 ax b a ay xb , 解得 2 1 2 2 ax b ay b , 因为 0m n , 所以 21 02 2 a b a b , 即 2 0b ab b a , 即 1 0b b a , 所以 b a , 所以 2 2b a , 所以 2 2 2c a a , 即 2 22c a , 所以 2 2e , 解得1 2e . 故选:A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及线段中垂线的应用,还考查了运算求解的能力, - 8 - 属于中档题. 11.已知函数 3 23 2 2 1xf x x a x a 至多有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是( ) A. 1, B. 1,0 1, C. 1, D. 1,0 0,1 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可方程 0f x 至多有 2 个根,而 2 1 0x 有 1 个根 0,所以只需 3 23 2 =0x a x a 至多有 1 个不等于 0 的根即可. 【详解】解:函数 3 23 2 2 1xf x x a x a 至多有 2 个零点等价于方程 0f x 至 多有 2 个根,即 3 23 2 2 1 =0xx a x a ,得 3 23 2 =0x a x a 或 2 1=0x 当 2 1=0x 时,得 0x , 当 3 23 2 =0x a x a 时, 若 0a ,则 3 =0x ,得 0x ,此时函数只有 1 个零点,满足条件; 若 0a ,令 3 2( ) 3 2g x x a x a ,则 ' 2 2( ) 3 3g x x a , 令 ' 2 2( ) 3 3 =0g x x a ,则 x a 或 x a 当 0a 时, (0) 2 0g a ,此时 ( )g x 在 ( , )a 和 ( , )a 上递增,在 ( , )a a 递减,所以 当 ( ) 0g a 时,函数 3 2( ) 3 2g x x a x a 恰有 1 个零点,解得 0 1a ; 当 0a 时, (0) 2 0g a ,时此 ( )g x 在 ( , )a 和 ( , )a 上递增,在( , )a a 递减,所 以当 ( ) 0g a 时,函数 3 2( ) 3 2g x x a x a 恰有 1 个零点,解得 1 0a ; 综上 a 的取值范围为 1,0 0,1 故选:D 【点睛】此题考查函数零点的判断,考查导数的运用,考查转化能力和计算能力,属于中档 题. - 9 - 12.运用祖暅原理计算球的体积时,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平 面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径 和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一 个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何 一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何 体与半球体积相等.现将椭圆 2 2 19 16 x y 绕 y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③), 类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( ) A. 64π B. 48π C. 16π D. 32π 【答案】B 【解析】 【分析】 构造一个底面半径为 3,高为 4 的圆柱,通过计算可得高相等时截面面积相等,根据祖暅原理 可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥体积. 【详解】解:构造一个底面半径为 3,高为 4 的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为 顶点的圆锥, 则当截面与顶点距离为 (0 4)h h 时,小圆锥的底面半径为 r ,则 4 3 h r , 3 4r h , 故截面面积为 2 6 99 1 h , 把 y h 代入椭圆 2 2 19 16 x y 可得 2 4 3 16 hx , - 10 - 橄榄球形几何体的截面面积为 2 2 16 99 hx , 由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积 12 2 9 4 9 4 483V V V 圆柱 圆锥 . 故选:B. 【点睛】本题考查类比推理,涉及了立体几何知识,祖暅原理等,属于中档题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,则他等待时间不多 于10分钟的概率为___________. 【答案】 1 6 【解析】 该人等待时间可能性有 60 分钟,则他等待整点时间不多于 10 分钟时间的可能性有 10 分钟, 则他等待时间不多于10分钟的概率为 10 1 60 6P . 14.在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,若 2b , 4a c ,则 ABC 的面积的 最大值为____________. 【答案】 3 【解析】 【分析】 根据为 2b , 4 2a c AC ,端点点 B 的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆,结合图形, 当点 B 在短轴端点时, ABC 的面积的最大求解. 【详解】以 AC 所在直线为 x 轴,以线段 AC 的中点为原点,建立直角坐标系, 因为 2b , 4 2a c AC , 所以点 B 的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆, 如图所示: - 11 - 当点 B 在短轴端点时,则 ABC 的面积的最大, 最大值为: 1 1 2 3 32 2S AC OB , 故答案为: 3 【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用以及椭圆的定义的应用,还考查了数形结合的 思想和运算求解的能力,属于中档题. 15.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,M 为棱 1AA 的中点,且 9 2MC ,点 P 为底面 1111 DCBA 所在平面上一点,若直线 PM,PC 与底面 1111 DCBA 所成的角相等,则动点 P 的轨迹所围成的几 何图形的面积为__________. 【答案】 64π 【解析】 【分析】 由题意结合线面角的概念可得 1 1MPA CPC ,进而可得 1 1 1 2PA PC ,建立平面直角坐 标系,设 ,P x y ,由两点之间距离公式可得 2 22 216 2 6 22x y x y ,化 简即可得解. 【详解】设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 a , 连接 AC ,则 2 2 29 9 24MC AC AM a ,解得 6 2a , 连接 1PA 、 1PC ,如图, - 12 - 易得 1MPA 、 1CPC 即为直线 PM,PC 与底面 1111 DCBA 所成的角, 由 1 1MPA CPC 可得 1 1 1 1 A M CC PA PC ,所以 1 1 1 2PA PC , 如图建立平面直角坐标系,则 1 6 2,0A , 1 0,6 2C ,设 ,P x y , 则 2 22 216 2 6 22x y x y ,化简得 2 2 8 2 2 2 64x y , 故点 P 的轨迹为圆,且半径 r 满足 2 64r , 故所求面积为 2 64r . 故答案为: 64π . 【点睛】本题考查了正方体的几何特征的应用及线面角的求解,考查了两点之间距离公式及 圆的方程的应用,属于中档题. 16.已知 *N ,若函数 5cosf x x 有一条对称轴为 π 4x ,且函数 y f x 在 3π ,π4 上不单调,则 的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】 由 π 4x 是 对 称 轴 , 可 得 ,4 k k Z , 不 妨 令 4 , 从 而 可 求 出 - 13 - 5, 4x ,结合 *N ,代入 的值,通过区间上的单调性确定是否可取. 【详解】解:因为 π 4x 是对称轴,所以 ,4 k k Z ,所以 ,4 k k Z , 不妨令 4 ,在 3π ,π4 上, 3 ,4x ,即 5, 4x , 当 1 时, 5, 4x x , f x 递增,不符合题意; 当 2 时, 52 2 , 2x x , f x 递减,不符合题意; 当 3 时, 153 3 , 4x x , f x 递增,不符合题意; 当 4 时, 4 4 ,5x x , f x 递减,不符合题意; 当 5 时, 255 5 , 4x x , f x 不单调,符合题意; 故答案为:5. 【点睛】本题考查了三角函数的对称性,考查了三角函数的单调性.本题的难点是不单调这一 条件的应用. 三、解答题,共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. 17.已知等比数列 na 中, 1 13a , 3 39S 其中 13a , 22a , 3a 成等差数列. (1)求数列 na 的通项公式. (2) 3logn nb a , 1 1 11 n n n n c b b ,记 nb 的前 n 项和为 nT ,求 nb 的前 2020 项和 2020T . 【答案】(1) 3n na ;(2) 2020 2021 . 【解析】 【分析】 (1)等比数列{ }na 的公比设为 q,且 1q ,结合等比数列的求和公式和通项公式,解方程 - 14 - 可得首项和公比,进而得到所求通项公式; (2)运用对数的运算性质可得 nb , ( 1) 1 1 1 n n n nc ,再由数列的裂项相消求和,化简 整理可得所求和. 【详解】(1)设等比数列的首项为 1a ,公比为 q.则有 2 1 34 3a a a , 即 2 1 1 14 3q aa a q ,又 1 0a ,∴ 1q 或 3q . 由题意, 1 13a , 3 39S ,∴ 3q . 代入 3 1 3 1 3 391 3 a S 得 1 3a ,从而 3n na . (2)由(1)得 3log 3n nb n ,从而 1 11 1 n nc n n , ∴ 2020 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2019 2020 2020 2021T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20201 2 2 3 3 4 2019 2020 2020 2021 2021 . 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,以及等差数列的中项性质,考查数列的 裂项相消求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题. 18.如图,在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,四边形 ABCD 是边长等于 2 的菱形, 120ADC , 1AA 平面 ABCD,O,E 分别是 1AC ,AB 的中点,AC 交 DE 于点 H,点 F 为 HC 的中点 (1)求证: //OF 平面 1A ED ; - 15 - (2)若 OF 与平面 ABCD 所成的角为 60°,求三棱锥 1A ADE 的表面积. 【答案】(1)证明见解析;(2) 6 3 15 2 . 【解析】 【分析】 (1) 连接 1A H ,由三角形的中位线可知 1//OF A H ,由线面平行的判定定理即可证明 //OF 平 面 1A ED . (2) 连接 BD,通过线面角可求出 1 2AA , 1 5A E ;由线面垂直的性质可知 1A E DE , 从而分别求出各个面的面积,即可求三棱锥的表面积. 【详解】(1)连接 1A H ,因为点 F 为 HC 的中点,O 是 1AC 的中点,所以 1//OF A H , 因为 OF 平面 1A ED , 1A H 平面 1A ED ,所以 //OF 平面 1A ED . (2)连接 BD,因为四边形 ABCD 是边长等于 2 的菱形, 120ADC , 所以是 ABD△ 等边三角形,所以 2 3 3AH , 3DE 且 DE AB . 因为 OF 与平面 ABCD 所成的角为 60°,且 1//OF A H , 1AA 平面 ABCD, 所以 1 60A HA ,所以 1 2AA , 1 5A E , 因为 1AA 平面 ABCD, DE 平面 ABCD,所以 1AA DE , 又 DE AB , 1AA AB A , 1AA , AB Ì平面 1 1A ABB , 所以 DE 平面 1 1A ABB ,又 1A E 平面 1 1A ABB ,所以 1A E DE . 故三棱锥 1A ADE 的表面积 1 1 1 1 3 6 3 152 2 1 2 3 5 1 22 2 2 2 2 2S . 【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了线面垂直的性质,考查了线面角的应用,考查 了几何体表面积的求解. 19.政府工作报告指出,2019 年我国深入实施创新驱动发展战略,创新能力和效率进一步提升; 2020 年要提升科技支撑能力,健全以企业为主体的产学研一体化创新机制,某企业为了提升 - 16 - 行业核心竞争力,逐渐加大了科技投入;该企业连续 5 年来的科技投入 x(百万元)与收益 y (百万元)的数据统计如下: 科技投入 x 1 2 3 4 5 收益 y 40 50 60 70 90 (1)请根据表中数据,建立 y 关于 x 的线性回归方程; (2)按照(1)中模型,已知科技投入 8 百万元时收益为 140 百万元,求残差 e (残差 e 真 实值-预报值). 参考数据:回归直线方程 y bx a $ $ $ ,其中 1 2 1 n i i i n i i x x y y b x x . 【答案】(1) 12 26y x ;(2)18 百万元. 【解析】 【分析】 (1)求出科技投入 x(百万元)与收益 y(百万元)的平均数,代入公式求出 b a、即可求解. (2)把 8x 代入回归直线方程中,求出 122y ,再求残差. 【详解】解:(1) 1 2 3 4 5 35x , 40 50 60 70 90 625y , ∴ 1 2 1 2 22 1 12 1 8 2 28 124 1 1 4 n i i i n i i x x y y b x x , 26a y bx ,∴ 12 26y x . (2)由(1)得 8x 时, 122y ,∴ 140 122 18e 百万元. 【点睛】考查求线性回归直线方程、残差,同时考查运算求解能力;基础题. 20.已知 O 为原点,抛物线 2: 2 0 8C x py p 的准线与 y 轴的交点为 H,P 为抛物线 C 上横坐标为 4 的点,已知点 P 到准线的距离为 5. - 17 - (1)求 C 的方程; (2)过 C 的焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若以 AH 为直径的圆过 B,求 AF BF 的值. 【答案】(1) 2 4x y ;(2)4. 【解析】 【分析】 (1)由题意结合椭圆的性质可得 8 52 p p ,求得 p 后即可得解; (2)设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,直线 AB 的方程为 1 0y kx k ,联立方程组结合韦达定 理可得 1 2 4x x ,由圆的性质、直线垂直的性质可得 1 2 1 2 1 1 1y y x x ,进而可得 2 2 1 2 16x x ,再由抛物线的性质即可得解. 【详解】(1)由题意点 84,P p ,抛物线的准线方程为 2 py , 则 8 52 p p ,解得 2p 或 8p (舍), ∴抛物线方程为 2 4x y ; (2)由题意抛物线 2 4x y 的焦点为 0,1F ,准线方程为 1y , 0, 1H , 由题意可知,直线 AB 的斜率存在且不为 0, 设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,直线 AB 的方程为 1 0y kx k , 代入抛物线方程可得 2 4 4 0x kx , , ∴ 1 2 4x x k , 1 2 4x x ,① 又 1 1 1 AF yk k x , 2 2 1 HB yk x , 由 AH BH 可得 1HBk k ,∴ 1 2 1 2 1 1 1y y x x , - 18 - 整理得 1 2 1 21 1 0y y x x ,即 2 2 1 2 1 21 1 04 4 x x x x , ∴ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 016 4x x x x x x ,② 把①代入②得 2 2 1 2 16x x , 则 2 2 1 2 1 2 11 1 44AF BF y y x x . 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用及方程的求解,考查了直线与抛物线的综合问题,关 键是对题目条件合理转化,属于中档题. 21.已知函数 1 0xf x e mx m ,对任意 0x ,都有 0f x . (1)求实数 m 的取值范围; (2)若当 0x 时, 1 ln1x xe x 恒成立,求实数 的取值范围. 【答案】(1) 0 1m ;(2) 1 . 【解析】 【分析】 (1)求得 f x 的导数,讨论 0查看更多