人教版八年级下册数学期末复习课件-第十八章平行四边形

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中小学精品教学资源 中小学精品教学资源 中小学精品教学资源 中小学精品教学资源 第十八章 平行四边形 本章知识梳理 期末复习精炼 课程标准 1. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及 它们之间的关系；了解四边形的不稳定性． 2. 探索并证明平行四边形的有关性质定理：平行四边形 的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平 行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对 角线互相平分的四边形是平行四边形. 3. 了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线 之间的距离． 4. 探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的 四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角 线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边 形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的 四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．正 方形具有矩形和菱形的一切性质． 5. 探索并证明三角形中位线定理． 知识梳理 平行 四边 形 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质 对边相等，对边平行，对角相等，对角线互相平分 判定 边 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 三角 形中 位线 定义 连接三角形两边中点的线段 定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第 三边的一半 矩形 定义 有一个角是直角的平行四边形 性质 四个角都是直角，对角线相等且互相 平分 推论：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 判定 三个角都是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 菱形 定义 一组邻边相等的平行四边形 性质 四条边相等，对角线互相垂直平分，每条对 角线平分一组对角 判定 四条边相等的四边形是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方 形 定义 一组邻边相等、一个角是直角的平行四边形 性质 四条边相等，四个角都是直角，对角线相等 且互相平分，每条对角线平分一组对角 判定 一组邻边相等的矩形是正方形 一个角是直角的菱形是正方形 对角线 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 本章易错点归总 易错点 一、乱用平行四边形的判定定理：我们要把平行四边形的 判定按边、角、对角线分别牢固掌握，灵活运用.若不严 格按照平行四边形的定义或判定定理进行判断，容易导致 错误. 【例1】判断命题“一组对边平行，另一组对边相等的四 边形是平行四边形”是否正确，如果不正确，请举一反例. 易错提示：此题易错回答为正确，错因是认为平行四边 形的性质有对边相等，对边平行，那么反过来也一定正确， 而没有严格按照平行四边形的判定方法去正确判断. 正解： 解：这个命题不正确，如图M18-1，作一个 ABCD，其中∠A为锐角，以点C为圆心，以BC为半径画 弧交AB的延长线于点E,连接CE， 则有CD∥AE,AD=CE,显然四边形 AECD满足命题的条件， 但不是平行四边形. 学以致用 1. 在四边形ABCD中，如果AB＝CD，∠B＝∠D，那么四边 形ABCD一定是平行四边形吗？如果是平行四边形，请给出 证明；如果不一定是平行四边形，请举一反例． 解：一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一 组对边也相等或平行，故不能判定平行四边形. 易错点 二、 注意分类讨论：因题目没有图形或有关图形的不确 定性问题，在平行四边形的概念和性质的实际应用中，易 出现考虑不全面而漏解的情况. 【例2】在 ABCD中，∠BAD的平分线AE将BC分为6和8两 部分，求 ABCD的周长. 易错提示：学生易错把BE当作6，EC当作8，从而导致错误. 一般地，对于需要画图解决的几何问题，要考虑到图形的 所有情况，避免漏解. 正解：解：如图M18-2，图M18-2∵四边形ABCD是平行四 边形， ∴AD∥BC.∴∠1=∠3.∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴AB=BE. ①当AB=BE=6时， ABCD的周长=（6+14）×2=40； ②当AB=BE=8时， ABCD的周长=（8+14）×2=44. ∴ ABCD的周长为40或44. 学以致用 2. 平行四边形一角平分线将对边分为3和4两部分，求平 行四边形的周长． 解：如答图M18-2， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝∠AEB. ∴AB＝BE. 又∵角平分线将对边分为3和4两部分， ①当BE＝3时，平行四边形的周长为 2×（7+3）＝20； ②当BE＝4时，平行四边形的周长为 2×（7+4）＝22． ∴平行四边形的周长为20或22. 易错点 三、错用菱形面积公式：求菱形面积的公式有两个，一是 “底×高”，二是“菱形的两条对角线的乘积的一半”， 学生往往第一个公式除以2，而第二个公式不除以2，从而 导致出错. 【例3】菱形的一条边长为5cm，一条对角线长为8cm，则 该菱形的面积为__________cm2. 易错提示：此题易错误地计算：8×2 =8×6=48, 漏乘了 . 正解：24 学以致用 3. 如图M18-3，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB， AD＝a， （1）∠ABC的度数为__________度； （2）对角线AC的长为__________； （3）菱形ABCD的面积=________． 120 易错点 四、审题不严谨，答题不严密：解探索性或开放性的题目 时，思路简单，答题随意，只推出某个结果就知足了，没 有进一步得到准确的结论. 【例4】如图M18-4，在正方形ABCD中，H是DC上一点，E是 CB延长线上一点，且DH_____E,请判断△AEH的形状，并说 明理由. 易错提示：此题易错解为△AEH是等腰三角形，出错的原 因就是在分析问题时，只注意了AH与AE的数量关系，而忽 视了AH与AE的位置关系. 正解：解：△AEH是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD, ∠D=∠ABC=∠DAB=90°.∴∠ABE=90°. ∴∠D=∠ABE.又∵DH=BE, AB=AD， ∴△ADH≌△ABE （SAS）. ∴AH=AE,∠DAH=∠BAE. ∴∠DAH+∠HAB=∠BAE+∠HAB.即 ∠HAE=∠DAB=90°.∴△AEH是等腰直角三角形. 学以致用 4. 已知在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A （0，2），B（-1，0），C（0，-2）．请在平面直角坐标 系中找出一点D，使A，B，C，D四点构成的四边形是平行 四边形，写出满足该条件的所有D点的坐标． 解： ∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴可以分以下三种情况分别求出点D的坐标： ①当AB∥CD，AD∥BC时，点D的坐标为（1，0）； ②当AD∥BC，AC∥BD时，点D的坐标为（-1，4）； ③当AB∥CD，AC∥BD时，点D的坐标为（-1，-4）． 故点D坐标为（1，0）或（-1，4）或（-1，-4）. 考点1 平行四边形的性质与判定 一、平行四边形的性质 1. 如图M18-5，在 ABCD中，已知AC=4 cm ,若△ACD的 周长为13 cm,则 ABCD的周长为 （　　） A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm D 2.如图M18-6，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点 E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为 （　　） A.102° B.112° C.122° D.92° B 3. （2019梧州）如图M18-7，在ABCD中，∠ADC＝ 119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则 ∠BHF＝__________度．61 4.如图M18-8，E是 ABCD内任意一点，若平行四边形的 面积是6，则阴影部分的面积为_________. 3 5. （2019云南）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝ 4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于____________．16 或8 6. （2019济南）如图M18-9，在ABCD中，E，F分别是 AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∠BAD＝∠BCD， AB＝CD. ∵∠DAF＝∠BCE，∴∠ABF＝∠DCE. 在△ABF和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE（ASA）. ∴BF＝DE． 7.如图M18-10,在 ABCD中,分别以边BC,CD作等腰三角 形BCF,等腰三角形CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接 AF,AE. （1）求证:△ABF≌△EDA; （2）延长AB与CF相交于点G.若AF⊥AE,求证:BF⊥BC. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC. ∵BC=BF,CD=DE, ∴BF=AD,AB=DE. ∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠A BC+∠CBF=360°,∠EDC=∠CBF, ∴∠ADE=∠ABF. 在△ABF和△ADE中， ∴△ABF≌△EDA（SAS）. （2）如答图M18-3,延长FB交AD于点H. ∵AE⊥AF, ∴∠EAF=90°. ∵△ABF≌△EDA, ∴∠EAD=∠AFB. ∵∠EAD+∠FAH=90°, ∴∠FAH+∠AFB=90°. ∴∠AHF=90°,即FB⊥AD. ∵AD∥BC, ∴FB⊥BC. 8. （2019重庆）如图M18-11，在 ABCD中，BE平分 ∠ABC交AD于点E． （1）如图1，若∠D＝30°，AB＝ ，求△ABE的面积； （2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别 交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED-AG＝FC． （1）解：如答图M18-4，作BO⊥AD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝30°. ∴∠AEB＝∠CBE，∠BAO＝∠D＝30°. ∴BO＝ AB＝ . ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∴∠ABE＝∠AEB.∴AE＝AB＝ . ∴△ABE的面积＝ AE×BO＝ × × ＝ . （2）证明：如答图M18-5，作AQ⊥BE交DF的延长线于点P， 垂足为Q，连接PB，PE， ∵AB＝AE，AQ⊥BE，∴∠ABE＝∠AEB，BQ＝EQ. ∴PB＝PE.∴∠PBE＝∠PEB. ∴∠ABP＝∠AEP.∵AB∥CD，AF⊥CD， ∴AF⊥AB.∴∠BAF＝90°. ∵AQ⊥BE，∴∠ABG＝∠FAP. ∴△ABG≌△AFP（ASA）.∴AG＝FP. ∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABP+∠BPC＝180°，∠BCP＝∠D. ∵∠AEP+∠PED＝180°，∠ABP=∠AEP,∴∠BPC＝∠PED. ∴△BPC≌△PED（AAS）.∴PC＝ED. ∴ED-AG＝PC-AG＝PC-FP＝FC． 在△ABG和△FAP中， 在△BPC和△PED中， 二、平行四边形的判定 9. （2019河池）如图M18-12，在△ABC中，D，E分别是 AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四 边形ADFC为平行四边形，则这个条件是 （　　）B A. ∠B＝∠F B. ∠B＝∠BCF C. AC＝CFD. A D＝CF 10. （2019泸州）四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的 是 （　　） A. AD∥BC B. OA＝OC，OB＝OD C. AD∥BC，AB＝DC D. AC⊥BD B 11. （2019湘潭）如图M18-13，在四边形ABCD中，若AB ＝CD，则添加一个条件____________________________， 能得到平行四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个 符合题意的条件即可） AD＝BC（答案不唯一） 12. （2019鸡西）如图M18-14，在四边形ABCD中，AD＝ BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 _____________________，使四边形ABCD是平行四边形．AD∥BC（答案不唯一） 13. 如图M18-15，已知点E，F分别在边AB，BC上， ED∥BC，交AC于点D，EF∥AC，BE＝CF．求证：BD是△ABC 的角平分线． 证明：∵ED∥BC，EF∥AC， ∴四边形EFCD是平行四边形. ∴ED＝CF. ∵BE＝CF， ∴BE＝ED. ∴∠EBD＝∠EDB. ∵ED∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC. ∴∠EBD＝∠DBC. ∴BD是△ABC的角平分线． 14. （2019湖州）如图M18-16，已知在△ABC中，D，E， F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF． （1）求证：四边形BEFD是平行四边形； （2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长． （1）证明：∵D，E，F分别 是AB，BC，AC的中点， ∴DF∥BC，EF∥AB. ∴DF∥BE，EF∥BD. ∴四边形BEFD是平行四边形. （2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6， ∴DF＝DB＝DA＝ AB＝3. ∵四边形BEFD是平行四边形， ∴四边形BEFD是菱形. ∵DB＝3， ∴四边形BEFD的周长为12． 15. 如图M18-17，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点 （不与点A重合），DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE. （1）如图M18-17①，当点D与点M重合时，求证：四边 形ABDE是平行四边形； （2）如图M18-17②，当点D不与点M重合时， （1） 中 的结论还成立吗？请说明理由. （1）证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠ABM. ∵CE∥AM，∴∠ECD=∠ADB. ∵AM是△ABC的中线，且点D与点M重合， ∴BD=DC. ∴△ABD≌△EDC. ∴AB=ED. ∵AB∥ED， ∴四边形ABDE是平行四边形. （2）解：结论仍成立. 理由如下. 如答图M18-6，过点M作MG∥DE交CE于点G. ∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形. ∴ED=GM. 由（1）可知AB=GM，∴AB=DE. 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形. 考点2 特殊平行四边形的性质与判定 一、矩形的性质与判定 1. （2019广州）如图M18-18，在矩形ABCD中，对角线AC 的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3， AF＝5，则AC的长为 （　　） A. 4 B. 4 C. 10 D. 8 A 2. （2019朝阳）如图M18-19，在矩形ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5， 且EO＝2DE，则AD的长为 （　　） A. 5 B. 6 C. 10 D. 6 A 3. （2019兰州）如图M18-20，在矩形ABCD中，∠BAC＝ 60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC 于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半 径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形 ABCD的面积等于__________．3 4. （2019大庆）如图M18-21，在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4．M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F分别是AD， BC的中点． （1）求证：△ABM≌△CDN； （2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长． （1）证明∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠MAB＝∠NCD． ∴△ABM≌△CDN（SAS）. 在△ABM和△CDN中， （2）解：如答图M18-7，连接EF，交AC于点O． 在△AEO和△CFO中， ∴△AEO≌△CFO（AAS）. ∴EO＝FO，AO＝CO. ∴O为EF，AC中点． ∵∠EGF＝90°，OG＝ EF= AB＝ ， ∴AG＝OA-OG＝1或AG＝OA+OG＝4. ∴AG的长为1或4． 5. （2019青岛）如图M18-22，在ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G， 使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？ 请说明理由． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC. ∴∠ABE＝∠CDF. ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE＝ OB，DF＝ OD，∴BE＝DF. ∴△ABE≌△CDF（SAS）. 在△ABE和△CDF中， （2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA. ∵E是OB的中点，∴AG⊥OB.∴∠OEG＝90°. 同理有CF⊥OD，∴AG∥CF.∴EG∥CF. ∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线. ∴OE∥CG.∴EF∥CG. ∴四边形EGCF是平行四边形. ∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形． 二、菱形的性质与判定 6. （2019永州）如图M18-23，四边形ABCD的对角线相交 于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD ＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为 （　　） A. 40 B. 24 C. 20 D. 15 B 7. （2019盘锦）如图M18-24，四边形ABCD是平行四边形， 以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点 B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作 射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是 （　　） A. BE＝EF B. EF∥CD C. AE平分∠BEF D. AB＝AE D 8. （2019鞍山）如图M18-25，在菱形ABCD中，E，F分别 是AD，DC的中点，若BD＝4，EF＝3，则菱形ABCD的周长为 ______________． 9. 如图M18-26，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和 ∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC； ②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使 四边形ADCE为菱形的是__________（填序号）．② 10. （2019岳阳）如图M18-27，在菱形ABCD中，点E， F分别为AD，CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD. 在△ADF和△CDE中， ∴△ADF≌△CDE（SAS）. ∴∠1＝∠2． 11. （2019青海）如图M18-28，在△ABC中，∠BAC＝ 90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）求证：四边形ADCF是菱形． 证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE. ∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是 AD的中点， ∴AE＝DE，BD＝CD. 在△AFE和△DBE中， ∴△AFE≌△DBE（AAS）. （2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD， ∴AF＝CD，且AF∥BC. ∴四边形ADCF是平行四边形. ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝ BC＝CD. ∴四边形ADCF是菱形． 三、正方形的性质与判定 12. （2019抚顺）如图M18-29，AC，BD是四边形ABCD的 对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC， BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方 形，则需添加的条件是 （　　） A. AB＝CD，AB⊥CD B. AB＝CD，AD＝BC C. AB＝CD，AC⊥BD D. AB＝CD，AD∥BC A 13. （2019包头）如图M18-30，在正方形ABCD中，AB＝1， 点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF 的长是 （　　）C 14. （2019扬州）如图M18-31，已知点E在正方形ABCD的 边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接 DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB＝7， BE＝5，则MN＝__________． 15. （2019湖北模拟）如图M18-32，在四边形ABCD中， AD∥BC（BC>AD），∠D=90°，∠ABE=45°，BC=CD，若 AE=5，CE=2，则BC的长度为__________.6 16. （2019平度市一模）如图M18-33，在△ABC中，AB=AC， AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交 AD的延长线于点F，连接BE，CF． （1）求证：△BDF≌△CDE； （2）当ED与BC满足什么数 量关系时，四边形BECF是 正方形？请说明理由． （1）证明：∵AD是BC边上的中线， AB=AC， ∴BD=CD. ∵BF∥EC， ∴∠DBF=∠DCE.在△BDF和△CDE中， ∠DBF=∠DCE， BD=CD， ∠BDF=∠CDE， ∴△BDF≌△CDE（ASA）. （2）解：当DE=12BC时，四边形BECF是正方形. 理由：∵△BDF≌△CDE， ∴BF=CE，DE=DF.∵BF∥CE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵AB=AC，AD是中线， ∴AD⊥BC. ∴四边形BECF是菱形. ∵DE= BC，DE=DF= EF， ∴EF=BC. ∴四边形BECF是正方形. 17. （2019防城港模拟）如图M18-34，在平行四边形ABCD 中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG， AH＝CF，且EG平分∠HEF． （1）求证：△AEH≌△CGF； （2）若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， 图M18-34∴∠A＝∠C． 在△AEH与△CGF中， ∴△AEH≌△CGF（SAS）. （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D． ∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF． ∴△BEF≌△DGH（SAS）.∴EF＝HG． 又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF． ∴四边形HEFG为平行四边形． ∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE． ∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG. ∴∠FGE＝∠FEG.∴EF＝GF. ∴四边形EFGH是菱形． 又∵∠EFG＝90°， ∴四边形EFGH是正方形．