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文档介绍
高中数学第四章函数应用第1节函数与方程第2课时基础知识素材北师大版必修11
1.2 利用二分法求方程的近似解 1.根据具体函数的图像,借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 2.学习利用二分法求方程近似解的过程和方法. 1.二分法的概念 对于图像在区间[a,b]上连续不断且满足 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),每次取区间 的_________,将区间___________,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分 法. 二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步找到零点 附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 【做一做】 已知函数 f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)·f(2)<0,用二分法逐次计算时, 若 x0 是[1,2]的中点,则 f(x0)=________. 2.用二分法求方程的近似解的过程 过程如图所示. 在图中: “初始区间”是一个两端函数值________号的区间; “M”的含义是:取新区间,一个端点是原区间的____________,另一端是原区间两端 点中的一个,新区间两端点的函数值反号; “N”的含义是:方程解满足要求的________. “P”的含义是:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解. 在二分法求方程解的步骤中,初始区间的选定,往往需要通过分析函数的____和 ___________.初始区间可以选得不同,不影响最终计算结果. 函数连续值两端,相乘为负有零点, 区间之内有一数,方程成立很显然. 要求方程近似解,先看零点的区间, 每次区间分为二,分后两端近零点. 答案:1.中点 一分为二 【做一做】 0.625 2.中点 零 反 中点 精度 性质 试验估计 用二分法求方程的近似解需注意什么? 剖析:用二分法求方程的近似解要注意的问题: (1)要看清题目要求的精度,它决定着二分法步骤的结束. (2)初始区间的选定一般在两个整数间,不同的初始区间结果是相同的,但二分的次数 却相差较大. (3)用二分法求出的零点一般是零点的近似值,但并不是所有函数都可以用二分法求零 点,必须满足在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 这样条件的函数才能用二分法求得 零点的近似值. 题型一 函数零点的性质 【例 1】 函数 f(x)=x3-2x2+3x-6 在区间[-2,4]上的零点必定在( ). A.[-2,1]内 B.[5 2 ,4]内 C.[1,7 4 ]内 D.[7 4 ,5 2 ]内 分析:按二分法的顺序是计算 f(1),f(5 2 )等进行,但数据计算较麻烦,[-2,4]内的整 数较多,选易计算的整数求解. 反思:用二分法求函数的近似零点,是取中点求函数值,看符号,确定新区间,再取中 点求函数值等依次进行下去. 有时从计算速度上考虑,首先把整数代入计算会更快一些,如 f(0),f(±1),…. 题型二 求方程的近似解 【例 2】 求方程 lgx-2-x+1=0 的近似解(精度为 0.1). 分析:先确定 f(x)=lgx-2-x+1 的零点所在的大致区间,再用二分法求解. 反思:求方程近似解的步骤:(1)构造函数,利用图像或单调性确定方程解所在的大致 区间,通常限制在区间(n,n+1),n∈Z;(2)利用二分法求出满足精度的方程解所在的区间 M;(3)写出方程的近似解. 题型三 用二分法证明方程根的分布 【例 3】 已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明 a>0, 并利用二分法证明方程 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根. 分析:∵f(0)>0,f(1)>0, ∴只需在[0,1]内找到一个点的函数值小于零即可. 反思:根据二分法,若 f 1 2 <0 不成立,可计算 f 1 4 是否为负,若还不成立,再计算 f 3 4 是否为负,总之,在区间[0,1]内找到一个分点,使对应函数值为负即可. 题型四 二分法的实际应用 【例 4】 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故 障.这是一条 10 km 长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段地查找, 困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km 长,大约有 200 多根电线杆呢.想一想,维 修线路的工人师傅怎样工作最合理? 分析:先检查中间一根电线杆,则将故障的范围缩小一半,再用同样方法依次检查下去. 反思:这种检查线路故障的方法,就是二分法的应用.二分法不仅可用于查找线路、水 管、气管故障,还可用于实验设计、资料查询,也是求根的常用方法. 答案:【例 1】 D 解:f(0)=-6<0,f(1)=-4<0,f(2)=0, 故 2 为一零点在(1,3)内,只有 D 选项满足. 【例 2】 解:令 f(x)=lgx-2-x+1,函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 因为函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数(证明略),所以 f(x)至多有一个零点. 又因为 f(1)=0.5>0,f(0.1)≈-0.933 032 992<0, 所以方程在[0.1,1]内有唯一一个实数解. 使用二分法求解,如下表: 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 第 1 次 0.1 -0.933 032 992 1 0.5 第 2 次 0.1 -0.933 032 992 0.55 0.057 342 561 第 3 次 0.325 -0.286 415 025 0.55 0.057 342 561 第 4 次 0.437 5 -0.097 435 016 0.55 0.057 342 561 第 5 次 0.493 75 -0.016 669 624 0.55 0.057 342 561 由于区间[0.493 75,0.55]的区间长度为 0.056 25,它小于 0.1,因此,我们可以选取 这一区间内的任意一个数作为方程 lg x-2-x+1=0 的近似解.例如,选取 0.5 作为方程 lg x-2-x+1=0 的一个近似解. 【例 3】 解:∵f(1)>0,∴3a+2b+c>0, 即 3(a+b+c)-b-2c>0. ∵a+b+c=0, ∴-b-2c>0,则-b-c>c,即 a>c. ∵f(0)>0,∴c>0,则 a>0. 在[0,1]内选取二等分点1 2 , 则 f 1 2 =3 4 a+b+c=3 4 a+(-a)=-1 4 a<0. ∵f(0)>0,f(1)>0, ∴f(x)在区间[0,1 2 ]和[1 2 ,1]内分别存在一个零点.又二次方程 f(x)=0 最多有两个实 根, ∴方程 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根. 【例 4】 解:如图,他首先从中点 C 查.用随身带的话机向两端测试时,发现 AC 段正 常,断定故障在 BC 段,再到 BC 段中点 D,这次发现 BD 段正常,可见故障在 CD 段,再到 CD 段中点去查. 每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,要把故障可能发生的范围缩小到 50 m 至 100 m,即一两根电线杆附近,只要检查 7 次就够了. 1 下列图像与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( ). 2 下列函数中,必须用二分法求其零点的是( ). A.y=x+7 B.y=5x-1 C.y=log3x D.y= 1 2 x x 3 用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的零点,验证 f(2)·f(4)<0.给定精度ε= 0.01,取区间(2,4)的中点 x1 = 2 4 32 ,计算得 f(2)·f(x1)<0,则此时零点 x0 ∈ __________.(填区间) 4 用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0, 可得其中一个零点 x0∈__________,第二次应计算__________,这时可判断 x0∈__________. 5 求方程 ln x+x-3=0 在(2,3)内的近似解.(精确到 0.1) 答案:1.A 2.D D 选项中无法解方程 1 02 x x ,则必须用二分法求零点. 3.(2,3) ∵f(2)·f(3)<0,∴x0∈(2,3). 4.(0,0.5) f(0.25) (0.25,0.5) 由二分法知 x0∈(0,0.5),取 x1=0.25,这时 f(0.25) =0.253+3×0.25-1<0, 故 x0∈(0.25,0.5). 5.分析:借助于计算器,利用二分法求解. 解:令 f(x)=lnx+x-3,即求函数 f(x)在(2,3)内的零点. 因为 f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,即(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下: 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 第 1 次 2 -0.306 85 3 1.098 61 第 2 次 2 -0.306 85 2.5 0.416 29 第 3 次 2 -0.306 85 2.25 0.060 93 第 4 次 2.125 -0.121 23 2.25 0.060 93 第 5 次 2.187 5 -0.029 74 2.25 0.060 93 第 6 次 2.187 5 -0.029 74 2.218 75 0.015 69 由于区间(2.187 5,2.218 75)内所有值精确到 0.1,都是 2.2,所以方程的近似解是 2.2.查看更多