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文档介绍
高中数学必修4平面向量知识点总结(供参考)
高中数学必修 4 知识点总结 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量 向量一般用 cba ,, ……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 ),( yxyjxia 向 量的大小即向量的模(长度),记作| AB |即向量的大小,记作| a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量 a = 0 | a |=0 由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 向量 0a 为单位向量 | 0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量 记作 a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平 行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 ba 大 小相等,方向相同 ),(),( 2211 yxyx 21 21 yy xx 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设 ,AB a BC b ,则 a +b = AB BC = AC (1) aaa 00 ;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR ,但这时必须“首尾相连”. 3向量的减法 ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有: (i) )( a = a ; (ii) a +( a )=( a )+ a =0 ; (iii)若 a 、b 是互为相反向量,则 a = b ,b = a , a +b = 0 ②向量减法:向量 a加上 b 的相反向量叫做 a与b 的差, 记作: )( baba 求两个向量差的运算,叫做向量的减法 ③作图法: ba 可以表示为从b 的终点指向 a 的终点的向量( a、b 有共同起点) 4实数与向量的积: ①实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ) aa ; (Ⅱ)当 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相 反;当 0 时, 0 a ,方向是任意的 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理: 向量b 与非零向量 a 共线 有且只有一个实数 ,使得 b = a 6平面向量的基本定理: 如果 21,ee 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只 有一对实数 21, 使: 2211 eea ,其中不共线的向量 21,ee 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底 7 特别注意: (1)向量的加法与减法是互逆运算 (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线 (重合)的情况 (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置 有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几 何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算 向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具,它 往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点 例 1 给出下列命题: ① 若| a |=|b |,则 a =b ; ② 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件; ③ 若 a =b ,b = c ,则 a = c , ④ a =b 的充要条件是| a |=|b |且 a //b ; ⑤ 若 a //b ,b // c ,则 a // c , 其中正确的序号是 解:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ② 正确.∵ AB DC ,∴ | | | |AB DC 且 //AB DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则, //AB DC 且| | | |AB DC , 因此, AB DC . ③ 正确.∵ a =b ,∴ a ,b 的长度相等且方向相同; 又b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向相同, ∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c . ④ 不正确.当 a // b 且方向相反时,即使| a |=| b |,也不能得到 a = b ,故| a |=| b | 且 a //b 不是 a =b 的充要条件,而是必要不充分条件. ⑤ 不正确.考虑b = 0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③. 点评:本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多,因而容易遗忘.为此,复 习一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想. 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ① AB BC CD ,② DB AC BD ③ OA OC OB CO 解:①原式= ( )AB BC CD AC CD AD ②原式= ( ) 0DB BD AC AC AC ③原式= ( ) ( ) ( ) 0OB OA OC CO AB OC CO AB AB 例 3 设非零向量 a 、b 不共线, c =k a +b , d = a +kb (kR),若 c ∥ d ,试求 k 解:∵ c ∥ d ∴由向量共线的充要条件得: c =λ d (λR) 即 k a +b =λ( a +kb ) ∴(kλ) a + (1λk) b = 0 又∵ a 、b 不共线 ∴由平面向量的基本定理 101 0 kk k 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 ,i j 作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj ,由于 a 与 数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴 上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位 置有关 2平面向量的坐标运算: (1) 若 1 1 2 2, , ,a x y b x y ,则 1 2 1 2,a b x x y y (2) 若 2211 ,,, yxByxA ,则 2 1 2 1,AB x x y y (3) 若 a =(x,y),则 a =( x, y) (4) 若 1 1 2 2, , ,a x y b x y ,则 1 2 2 1// 0a b x y x y (5) 若 1 1 2 2, , ,a x y b x y ,则 1 2 1 2a b x x y y 若 a b ,则 02121 yyxx 3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示 和性质 运 算 类 型 几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加 法 1 平行四边形法则 2 三角形法则 1 2 1 2( , )a b x x y y abba )()( cbacba AB BC AC 向 量 的 减 法 三角形法则 1 2 1 2( , )a b x x y y )( baba AB BA OB OA AB 向 量 的 乘 法 a 是一个向量, 满足: >0 时, a 与 a 同向; <0 时, a 与 a 异向; =0 时, a =0 ),( yxa aa )()( aaa )( baba )( a ∥ bab 向 量 的 数 量 积 ba 是一个数 0 a 或 0b 时, ba =0 0 a 且 0 b 时, bababa ,cos|||| 1 2 1 2a b xx y y abba )()()( bababa cbcacba )( 22 || aa , 22|| yxa |||||| baba 例 1 已知向量 (1,2), ( ,1), 2a b x u a b , 2v a b ,且 //u v ,求实数 x 的值 解:因为 (1,2), ( ,1), 2a b x u a b , 2v a b 所以 (1,2) 2( ,1) (2 1,4)u x x , 2(1,2) ( ,1) (2 ,3)v x x 又因为 //u v 所以3(2 1) 4(2 ) 0x x ,即10 5x 解得 1 2x 例 2 已知点 )6,2(),4,4(),0,4( CBA ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交 点 P 的坐标 解:设 ( , )P x y ,则 ( , ), ( 4, )OP x y AP x y 因为 P 是 AC 与OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上 即得 // , //OP OB AP AC 由点 )6,2(),4,4(),0,4( CBA 得, ( 2,6), (4,4)AC OB 得方程组 6( 4) 2 0 4 4 0 x y x y 解之得 3 3 x y 故直线 AC 与OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三.平面向量的数量积 1两个向量的数量积: 已知两个非零向量 a 与b ,它们的夹角为 ,则 a ·b =︱ a ︱·︱b ︱cos 叫做 a 与b 的数量积(或内积) 规定 0 0a 2向量的投影:︱b ︱cos = | | a b a ∈R,称为向量b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称为射 影 3数量积的几何意义: a ·b 等于 a 的长度与b 在 a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系: 2 2| |a a a a 5乘法公式成立: 222 2a b a b a b a b ; 2 2 22a b a a b b 22 2a a b b 6平面向量数量积的运算律: ①交换律成立: a b b a ②对实数的结合律成立: a b a b a b R ③分配律成立: a b c a c b c c a b 特别注意:(1)结合律不成立: a b c a b c ; (2)消去律不成立 a b a c 不能得到 b c (3) a b =0 不能得到 a = 0 或b = 0 7两个向量的数量积的坐标运算: 已知两个向量 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y ,则 a ·b = 1 2 1 2x x y y 8 向 量 的 夹 角 : 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b , 作 OA = a , OB = b , 则 ∠ AOB= ( 00 1800 )叫做向量 a 与b 的夹角 cos =cos , a ba b a b = 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 当且仅当两个非零向量 a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当 a 与b 反方向时θ=1800,同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直:如果 a 与b 的夹角为 900 则称 a 与b 垂直,记作 a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥b a ·b =O 02121 yyxx 平面向量数量积的性质 例 1 判断下列各命题正确与否: (1) 0 0a ;(2) 0 0a ; (3)若 0,a a b a c ,则b c ; ⑷若 a b a c ,则 b c 当且仅当 0a 时成立; (5) ( ) ( )a b c a b c 对任意 , ,a b c 向量都成立; (6)对任意向量 a ,有 22a a 解:⑴错; ⑵对; ⑶错; ⑷错; ⑸ 错;⑹对 例 2 已知两单位向量 a 与b 的夹角为 0120 ,若 2 , 3c a b d b a ,试求 c 与 d 的 夹角 解:由题意, 1a b ,且 a 与b 的夹角为 0120 , 所以, 0 1cos120 2a b a b , 2c c c (2 ) (2 )a b a b 2 24 4 7a a b b , 7c , 同理可得 13d 而 c d 2 2 17(2 ) (3 ) 7 3 2 2a b b a a b b a , 设 为 c 与 d 的夹角, 则 182 9117 1372 17cos 182 9117arccos 点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑 例 3 已知 4,3a , 1,2b , ,m a b 2n a b ,按下列条件求实数 的 值 (1) m n ;(2) //m n ; (3) m n 解: 4 ,3 2 ,m a b 2 7,8n a b (1) m n 082374 9 52 ; (2) //m n 072384 2 1 ; (3) m n 0884587234 22222 5 1122 点评:此例展示了向量在坐标形式下的基本运算查看更多