2018年高三数学试卷(文科)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2018年高三数学试卷(文科)

‎2018年高考数学试卷(文科)‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.(5分)设全集U={x∈R|x>0},函数f(x)=‎1‎lnx-1‎的定义域为A,则∁UA为(  )‎ A.(0,e] B.(0,e) C.(e,+∞) D.[e,+∞)‎ ‎2.(5分)设复数z满足(1+i)z=﹣2i,i为虚数单位,则z=(  )‎ A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i ‎3.(5分)已知A(1,﹣2),B(4,2),则与AB‎→‎反方向的单位向量为(  )‎ A.(﹣‎3‎‎5‎,‎4‎‎5‎) B.(‎3‎‎5‎,﹣‎4‎‎5‎) C.(﹣‎3‎‎5‎,﹣‎4‎‎5‎) D.(‎3‎‎5‎,‎4‎‎5‎)‎ ‎4.(5分)若m=0.52,n=20.5,p=log20.5,则(  )‎ A.n>m>p B.n>p>m C.m>n>p D.p>n>m ‎5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出n的值为(  )‎ A.19 B.20 C.21 D.22‎ ‎6.(5分)已知p:x≥k,q:(x﹣1)(x+2)>0,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,﹣2) B.[﹣2,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)‎ ‎7.(5分)一个总体中有600个个体,随机编号为001,002,…,600,利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本,总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051~125之间抽得的编号为(  )‎ A.056,080,104 B.054,078,102 C.054,079,104 D.056,081,106‎ ‎8.(5分)若直线x=‎5‎‎4‎π和x=‎9‎‎4‎π是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,则φ 第20页(共20页)‎ 的一个可能取值为(  )‎ A.‎3π‎4‎ B.π‎2‎ C.π‎3‎ D.‎π‎4‎ ‎9.(5分)如果实数x,y满足约束条件‎&3x+y-6≤0‎‎&x-y-2≤0‎‎&x≥1‎,则z=y+1‎x+1‎的最大值为(  )‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.2 D.3‎ ‎10.(5分)函数f(x)=‎&-x-1,x<1‎‎&‎2‎‎1-x,x≥1‎的图象与函数g(x)=log2(x+a)(a∈R)的图象恰有一个交点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.a>1 B.a≤﹣‎3‎‎4‎ C.a≥1或a<﹣‎3‎‎4‎ D.a>1或a≤﹣‎‎3‎‎4‎ ‎ ‎ 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)‎ ‎11.(5分)已知直线l:x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点,O为坐标原点,则经过O、A、B三点的圆的标准方程为   .‎ ‎12.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为   .‎ ‎13.(5分)在[0,a](a>0)上随机抽取一个实数x,若x满足x-2‎x+1‎<0的概率为‎1‎‎2‎,则实数a的值为   .‎ ‎14.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,t)(t>0)到焦点的距离为5,双曲线x‎2‎a‎2‎﹣y‎2‎‎9‎=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为   .‎ ‎15.(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x,若存在x0∈[1,2]使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,则实数a的取值范围是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ 第20页(共20页)‎ ‎16.(12分)已知向量m‎→‎=(sinx,﹣1),n‎→‎=(cosx,‎3‎‎2‎),函数f(x)=(m‎→‎+n‎→‎)•m‎→‎.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移π‎8‎个单位得到函数g(x)的图象,在△ABC中,角A,B,C所对边分别a,b,c,若a=3,g(A‎2‎)=‎6‎‎6‎,sinB=cosA,求b的值.‎ ‎17.(12分)某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛,并从中抽取72名学生进行成绩分析,所得学生的及格情况统计如表:‎ ‎ ‎ 物理及格 物理不及格 合计 数学及格 ‎28‎ ‎8‎ ‎36‎ 数学不及格 ‎16‎ ‎20‎ ‎36‎ 合计 ‎44‎ ‎28‎ ‎72‎ ‎(1)根据表中数据,判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;‎ ‎(2)从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例,随机抽取7人,再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析,求至少有一名数学及格的学生概率.‎ 附:x2=n(n‎11‎n‎22‎-‎n‎21‎n‎12‎‎)‎‎2‎n‎1‎‎⋅n‎2‎⋅n‎+1‎⋅‎n‎+2‎. ‎ P(X2≥k)‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎18.(12分)在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,M,N分别是PD,PA的中点,AC⊥AD,∠ACD=∠ACB=60°,PC=AC.‎ ‎(1)求证:PA⊥平面CMN;‎ ‎(2)求证:AM∥平面PBC.‎ ‎19.(12分)已知等差数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,等比数列{bn}的首项b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ 第20页(共20页)‎ ‎(2)数列{cn}满足cn=bn+(﹣1)nan,记数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎20.(13分)已知函数f(x)=ex﹣1﹣axx-1‎,a∈R.‎ ‎(1)若函数g(x)=(x﹣1)f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,求a的范围;‎ ‎(2)当a≤﹣1时,证明:f(x)<0对任意x∈(0,1)成立.‎ ‎21.(14分)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率是‎3‎‎2‎,点P(1,‎3‎‎2‎)在椭圆E上.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ,yQ)(点Q异于点P),若0<xQ<1,求直线l斜率k的取值范围;‎ ‎(3)若以点P为圆心作n个圆Pi(i=1,2,…,n),设圆Pi交x轴于点Ai、Bi,且直线PAi、PBi分别与椭圆E交于Mi、Ni(Mi、Ni皆异于点P),证明:M1N1∥M2N2∥…∥MnNn.‎ ‎ ‎ 第20页(共20页)‎ ‎2018年高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.(5分)设全集U={x∈R|x>0},函数f(x)=‎1‎lnx-1‎的定义域为A,则∁UA为(  )‎ A.(0,e] B.(0,e) C.(e,+∞) D.[e,+∞)‎ ‎【分析】先求出集合A,由此能求出CUA.‎ ‎【解答】解:∵全集U={x∈R|x>0},‎ 函数f(x)=‎1‎lnx-1‎的定义域为A,‎ ‎∴A={x|x>e},‎ ‎∴∁UA={x|0<x≤e}=(0,e].‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查补集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意补集定义的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)设复数z满足(1+i)z=﹣2i,i为虚数单位,则z=(  )‎ A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.‎ ‎【解答】解:(1+i)z=﹣2i,则z=‎-2i‎1+i=‎-2i(1-i)‎‎(1+i)(1-i)‎=﹣i﹣1.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)已知A(1,﹣2),B(4,2),则与AB‎→‎反方向的单位向量为(  )‎ A.(﹣‎3‎‎5‎,‎4‎‎5‎) B.(‎3‎‎5‎,﹣‎4‎‎5‎) C.(﹣‎3‎‎5‎,﹣‎4‎‎5‎) D.(‎3‎‎5‎,‎4‎‎5‎)‎ ‎【分析】与AB‎→‎反方向的单位向量=﹣AB‎→‎‎|AB‎→‎|‎,即可得出.‎ ‎【解答】解:AB‎→‎=(3,4).‎ 第20页(共20页)‎ ‎∴与AB‎→‎反方向的单位向量=﹣AB‎→‎‎|AB‎→‎|‎=﹣‎(3,4)‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎(-‎3‎‎5‎,-‎4‎‎5‎)‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)若m=0.52,n=20.5,p=log20.5,则(  )‎ A.n>m>p B.n>p>m C.m>n>p D.p>n>m ‎【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出.‎ ‎【解答】解:m=0.52=‎1‎‎4‎,n=20.5=‎2‎>1,p=log20.5=﹣1,‎ 则n>m>p.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出n的值为(  )‎ A.19 B.20 C.21 D.22‎ ‎【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是 计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值,求出即可.‎ ‎【解答】解:模拟执行如图所示的程序框图知,‎ 该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值,‎ 由S=n(n+1)‎‎2‎≥210,解得n≥20,‎ ‎∴输出n的值为20.‎ 第20页(共20页)‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知p:x≥k,q:(x﹣1)(x+2)>0,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,﹣2) B.[﹣2,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)‎ ‎【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出.‎ ‎【解答】解:q:(x﹣1)(x+2)>0,解得x>1或x<﹣2.‎ 又p:x≥k,p是q的充分不必要条件,则实数k>1.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)一个总体中有600个个体,随机编号为001,002,…,600,利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本,总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051~125之间抽得的编号为(  )‎ A.056,080,104 B.054,078,102 C.054,079,104 D.056,081,106‎ ‎【分析】根据系统抽样的方法的要求,先随机抽取第一数,再确定间隔.‎ ‎【解答】解:依题意可知,在随机抽样中,首次抽到006号,以后每隔‎600‎‎24‎=25个号抽到一个人,‎ 则以6为首项,25为公差的等差数列,即所抽取的编号为6,31,56,81,106,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用,解题时要认真审题,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)若直线x=‎5‎‎4‎π和x=‎9‎‎4‎π是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,则φ的一个可能取值为(  )‎ A.‎3π‎4‎ B.π‎2‎ C.π‎3‎ D.‎π‎4‎ ‎【分析】根据直线x=‎5‎‎4‎π和x=‎9‎‎4‎π是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0‎ 第20页(共20页)‎ ‎)图象的两条相邻对称轴,可得周期T,利用x=‎5‎‎4‎π时,函数y取得最大值,即可求出φ的取值.‎ ‎【解答】解:由题意,函数y的周期T=‎2×(‎9‎‎4‎π-‎5‎‎4‎π)‎=2π.‎ ‎∴函数y=sin(x+φ).‎ 当x=‎5‎‎4‎π时,函数y取得最大值或者最小值,即sin(‎5π‎4‎+φ)=±1,‎ 可得:‎5π‎4‎‎+‎φ=π‎2‎‎+kπ.‎ ‎∴φ=kπ‎-‎‎3π‎4‎,k∈Z.‎ 当k=1时,可得φ=π‎4‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)如果实数x,y满足约束条件‎&3x+y-6≤0‎‎&x-y-2≤0‎‎&x≥1‎,则z=y+1‎x+1‎的最大值为(  )‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.2 D.3‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,z=y+1‎x+1‎的几何意义是区域内的点到定点(﹣1,﹣1)的斜率,利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【解答】解:作出约束条件‎&3x+y-6≤0‎‎&x-y-2≤0‎‎&x≥1‎所对应的可行域(如图阴影),z=‎y+1‎x+1‎ 的几何意义是区域内的点到定点P(﹣1,﹣1)的斜率,‎ 由图象知可知PA的斜率最大,‎ 由‎&x=1‎‎&3x+y-6=0‎,得A(1,3),‎ 则z=‎3+1‎‎1+1‎=2,‎ 即z的最大值为2,‎ 故选:C.‎ 第20页(共20页)‎ ‎【点评】本题考查简单线性规划,涉及直线的斜率公式,准确作图是解决问题的关键,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)函数f(x)=‎&-x-1,x<1‎‎&‎2‎‎1-x,x≥1‎的图象与函数g(x)=log2(x+a)(a∈R)的图象恰有一个交点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.a>1 B.a≤﹣‎3‎‎4‎ C.a≥1或a<﹣‎3‎‎4‎ D.a>1或a≤﹣‎‎3‎‎4‎ ‎【分析】作出f(x)的图象和g(x)的图象,它们恰有一个交点,求出g(x)的恒过定点坐标,数形结合可得答案.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=‎&-x-1,x<1‎‎&‎2‎‎1-x,x≥1‎与函数g(x)的图象它们恰有一个交点,f(x)图象过点(1,1)和(1,﹣2),‎ 而,g(x)的图象恒过定点坐标为(1﹣a,0).‎ 从图象不难看出:到g(x)过(1,1)和(1,﹣2),它们恰有一个交点,‎ 当g(x)过(1,1)时,可得a=1,恒过定点坐标为(0,0),往左走图象只有一个交点.‎ 当g(x)过(1,﹣2)时,可得a=‎-‎‎3‎‎4‎,恒过定点坐标为(‎7‎‎4‎,0),往右走图象只有一个交点.‎ ‎∴a>1或a≤﹣‎3‎‎4‎.‎ 故选:D.‎ 第20页(共20页)‎ ‎【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用.数形结合的思想.属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)‎ ‎11.(5分)已知直线l:x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点,O为坐标原点,则经过O、A、B三点的圆的标准方程为 (x﹣2)2+(y﹣2)2=8 .‎ ‎【分析】根据题意,求出直线与坐标轴的交点坐标,分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|,圆心为AB的中点,求出圆的半径与圆心,代入圆的标准方程即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,直线l:x+y﹣4=0与坐标轴交于(4,0)、(0,4)两点,‎ 即A、B的坐标为(4,0)、(0,4),‎ 经过O、A、B三点的圆,即△AOB的外接圆,‎ 而△AOB为等腰直角三角形,则其外接圆的直径为|AB|,圆心为AB的中点,‎ 则有2r=|AB|=4‎2‎,即r=2‎2‎,‎ 圆心坐标为(2,2),‎ 其该圆的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=8,‎ 故答案为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=8.‎ ‎【点评】本题考查圆的标准方程,注意直角三角形的外接圆的性质.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 ‎16‎‎3‎ .‎ 第20页(共20页)‎ ‎【分析】由三视图可知:该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥.‎ ‎【解答】解:由三视图可知:该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥.‎ ‎∴该几何体的体积V=‎2‎‎3‎‎-‎1‎‎3‎×‎2‎‎2‎×2‎=‎16‎‎3‎.‎ 故答案为:‎16‎‎3‎.‎ ‎【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)在[0,a](a>0)上随机抽取一个实数x,若x满足x-2‎x+1‎<0的概率为‎1‎‎2‎,则实数a的值为 4 .‎ ‎【分析】求解分式不等式得到x的范围,再由测度比为测度比得答案.‎ ‎【解答】解:由x-2‎x+1‎<0,得﹣1<x<2.‎ 又x≥0,∴0≤x<2.‎ ‎∴满足0≤x<2的概率为‎2‎a‎=‎‎1‎‎2‎,得a=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题考查几何概型,考查了分式不等式的解法,是基础的计算题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,t)(t>0)到焦点的距离为5,双曲 第20页(共20页)‎ 线x‎2‎a‎2‎﹣y‎2‎‎9‎=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为 2 .‎ ‎【分析】设M点到抛物线准线的距离为d,由已知可得p值,由双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则‎4‎‎1+a=‎3‎a,解得实数a的值.‎ ‎【解答】解:设M点到抛物线准线的距离为d,‎ 则丨MF丨=d=1+p‎2‎=5,则p=8,‎ 所以抛物线方程为y2=16x,M的坐标为(1,4);‎ 又双曲线的左顶点为A(﹣a,0),渐近线为y=±‎3‎a,‎ 直线AM的斜率k=‎4-0‎‎1+a=‎4‎‎1+a,由‎4‎‎1+a=‎3‎a,解得a=3.‎ ‎∴a的值为3,‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,双曲线的简单性质,是抛物线与双曲线的综合应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x,若存在x0∈[1,2]使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,则实数a的取值范围是 [‎-15‎‎4‎,‎-3‎‎2‎] .‎ ‎【分析】根据函数奇偶性,解出奇函数g(x)和偶函数f(x)的表达式,将等式af(x)+g(2x)=0,令t=2x﹣2﹣x,则t>0,通过变形可得a=t+‎2‎t,讨论出右边在x∈[1,2]的最大值,可以得出实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:解:∵g(x)为定义在R上的奇函数,f(x)为定义在R上的偶函数,‎ ‎∴f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=﹣g(x),‎ 又∵由f(x)+g(x)=2x,结合f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)﹣g(x)=2﹣x,‎ ‎∴f(x)=‎1‎‎2‎(2x+2﹣x),g(x)=‎1‎‎2‎(2x﹣2﹣x).‎ 等式af(x)+g(2x)=0,化简为a‎2‎(2x+2﹣x)+‎1‎‎2‎(22x﹣2﹣2x)=0.‎ 第20页(共20页)‎ ‎∴a=2﹣x﹣2x ‎∵x∈[1,2],∴‎3‎‎2‎≤2x﹣2﹣x≤‎15‎‎4‎,‎ ‎ 则实数a的取值范围是[﹣‎15‎‎4‎,﹣‎3‎‎2‎],‎ 故答案为:[﹣‎15‎‎4‎,﹣‎3‎‎2‎].‎ ‎【点评】题以指数型函数为载体,考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点,属于难题.合理地利用函数的基本性质,再结合换元法和基本不等式的技巧,是解决本题的关键.属于中档题 ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16.(12分)已知向量m‎→‎=(sinx,﹣1),n‎→‎=(cosx,‎3‎‎2‎),函数f(x)=(m‎→‎+n‎→‎)•m‎→‎.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移π‎8‎个单位得到函数g(x)的图象,在△ABC中,角A,B,C所对边分别a,b,c,若a=3,g(A‎2‎)=‎6‎‎6‎,sinB=cosA,求b的值.‎ ‎【分析】(1)运用向量的加减运算和数量积的坐标表示,以及二倍角公式和正弦公式,由正弦函数的增区间,解不等式即可得到所求;‎ ‎(2)运用图象变换,可得g(x)的解析式,由条件可得sinA,cosA,sinB的值,运用正弦定理计算即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:(1)向量m‎→‎=(sinx,﹣1),n‎→‎=(cosx,‎3‎‎2‎),‎ 函数f(x)=(m‎→‎+n‎→‎)•m‎→‎=(sinx+cosx,‎1‎‎2‎)•(sinx,﹣1)‎ ‎=sin2x+sinxcosx﹣‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎sin2x﹣‎1‎‎2‎(1﹣2sin2x)=‎1‎‎2‎sin2x﹣‎1‎‎2‎cos2x=‎2‎‎2‎sin(2x﹣π‎4‎),‎ 由2kπ﹣π‎2‎≤2x﹣π‎4‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 可得kπ﹣π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎,k∈Z,‎ 即有函数f(x)的单调递增区间为[kπ﹣π‎8‎,kπ+‎3π‎8‎],k∈Z;‎ ‎(2)由题意可得g(x)=‎2‎‎2‎sin(2(x+π‎8‎)﹣π‎4‎)=‎2‎‎2‎sin2x,‎ g(A‎2‎)=‎2‎‎2‎sinA=‎6‎‎6‎,‎ 第20页(共20页)‎ 即sinA=‎3‎‎3‎,cosA=±‎1-‎‎1‎‎3‎=±‎6‎‎3‎,‎ 在△ABC中,sinB=cosA>0,‎ 可得sinB=‎6‎‎3‎,‎ 由正弦定理asinA=bsinB,‎ 可得b=asinBsinA=‎3×‎‎6‎‎3‎‎3‎‎3‎=3‎2‎.‎ ‎【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换,考查正弦函数的图象和性质,以及图象变换,考查解三角形的正弦定理的运用,以及运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛,并从中抽取72名学生进行成绩分析,所得学生的及格情况统计如表:‎ ‎ ‎ 物理及格 物理不及格 合计 数学及格 ‎28‎ ‎8‎ ‎36‎ 数学不及格 ‎16‎ ‎20‎ ‎36‎ 合计 ‎44‎ ‎28‎ ‎72‎ ‎(1)根据表中数据,判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;‎ ‎(2)从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例,随机抽取7人,再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析,求至少有一名数学及格的学生概率.‎ 附:x2=n(n‎11‎n‎22‎-‎n‎21‎n‎12‎‎)‎‎2‎n‎1‎‎⋅n‎2‎⋅n‎+1‎⋅‎n‎+2‎. ‎ P(X2≥k)‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【分析】(1)根据表中数据,计算观测值X2,对照临界值得出结论;‎ ‎(2)分别计算选取的数学及格与不及格的人数,‎ 用列举法求出基本事件数,计算对应的概率值.‎ ‎【解答】解:(1)根据表中数据,计算X2=‎72‎‎×(28×20-16×8)‎‎2‎‎44×28×36×36‎=‎648‎‎77‎≈8.416>6.635,‎ 因此,有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;‎ 第20页(共20页)‎ ‎(2)选取的数学及格的人数为7×‎8‎‎25‎=2人,‎ 选取的数学不及格的人数为7×‎20‎‎28‎=5人,设数学及格的学生为A、B,‎ 不及格的学生为c、d、e、f、g,则基本事件为:‎ AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、‎ cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个,‎ 其中满足条件的是 AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个,‎ 故所求的概率为P=‎11‎‎21‎.‎ ‎【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,M,N分别是PD,PA的中点,AC⊥AD,∠ACD=∠ACB=60°,PC=AC.‎ ‎(1)求证:PA⊥平面CMN;‎ ‎(2)求证:AM∥平面PBC.‎ ‎【分析】(1)推导出MN∥AD,PC⊥AD,AD⊥AC,从而AD⊥平面PAC,进而AD⊥PA,MN⊥PA,再由CN⊥PA,能证明PA⊥平面CMN.‎ ‎(2)取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,推导出MQ∥PC,从而MQ∥平面PBC,再求出AQ∥平面,从而平面AMQ∥平面PCB,由此能证明AM∥平面PBC.‎ ‎【解答】证明:(1)∵M,N分别为PD、PA的中点,‎ ‎∴MN为△PAD的中位线,∴MN∥AD,‎ ‎∵PC⊥底面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PC⊥AD,‎ 又∵AD⊥AC,PC∩AC=C,∴AD⊥平面PAC,‎ ‎∴AD⊥PA,∴MN⊥PA,‎ 又∵PC=AC,N为PA的中点,∴CN⊥PA,‎ 第20页(共20页)‎ ‎∵MN∩CN=N,MN⊂平面CMN,CM⊂平面CMN,‎ ‎∴PA⊥平面CMN.‎ 解(2)取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,‎ ‎∵MQ是△PCD的中位线,∴MQ∥PC,‎ 又∵PC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC,‎ ‎∵AD⊥AC,∠ACD=60°,∴∠ADC=30°.‎ ‎∴∠DAQ=∠ADC=30°,∴∠QAC=∠ACQ=60°,‎ ‎∴∠ACB=60°,∴AQ∥BC,‎ ‎∵AQ⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AQ∥平面PBC,‎ ‎∵MQ∩AQ=Q,∴平面AMQ∥平面PCB,‎ ‎∵AM⊂平面AMQ,∴AM∥平面PBC.‎ ‎【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)已知等差数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,等比数列{bn}的首项b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)数列{cn}满足cn=bn+(﹣1)nan,记数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.根据a1=2,b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.‎ 可得2+d=q2,3×2+‎3×2‎‎2‎d=6q,联立解得d,q.即可得出..‎ ‎(2)cn=bn+(﹣1)nan=2n﹣1+(﹣1)n•2n.可得数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n•2n].对n 第20页(共20页)‎ 分类讨论即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.‎ ‎∵a1=2,b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.‎ ‎∴2+d=q2,3×2+‎3×2‎‎2‎d=6q,‎ 联立解得d=q=2.‎ ‎∴an=2+2(n﹣1)=2n,bn=2n﹣1.‎ ‎(2)cn=bn+(﹣1)nan=2n﹣1+(﹣1)n•2n.‎ ‎∴数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n•2n]=‎2‎n‎-1‎‎2-1‎+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n•2n].‎ ‎∴n为偶数时,Tn=2n﹣1+[(﹣2+4)+(﹣6+8)+…+(﹣2n+2+2n)].‎ ‎=2n﹣1+n.‎ n为奇数时,Tn=2n﹣1+‎2×‎n-1‎‎2‎﹣2n.‎ ‎=2n﹣2﹣n.‎ ‎∴Tn=‎&‎2‎n-1-n,n为偶数‎&‎2‎n-2-n,n为奇数.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)已知函数f(x)=ex﹣1﹣axx-1‎,a∈R.‎ ‎(1)若函数g(x)=(x﹣1)f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,求a的范围;‎ ‎(2)当a≤﹣1时,证明:f(x)<0对任意x∈(0,1)成立.‎ ‎【分析】(1)求出导函数,由题意可知f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,相当于导函数有一个零点;‎ ‎(2)问题可转换为(x﹣1)(ex﹣1)﹣ax>0恒成立,构造函数G(x)=(x﹣1)(ex﹣1)﹣ax,通过二次求导,得出结论.‎ 第20页(共20页)‎ ‎【解答】解:(1)g(x)=(x﹣1)(ex﹣1)﹣ax,‎ g'(x)=xex﹣a﹣1,g''(x)=ex(x+1)>0,‎ ‎∵f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,‎ ‎∴g'(0)=﹣a﹣1<0,g'(1)=e﹣a﹣1>0,‎ ‎∴﹣a<a<e﹣1;‎ ‎(2)当a≤﹣1时,f(x)<0,‎ ‎∴(x﹣1)(ex﹣1)﹣ax>0恒成立,‎ 令G(x)=(x﹣1)(ex﹣1)﹣ax,‎ G'(x)=xex﹣a﹣1,G''(x)=ex(x+1)>0,‎ ‎∴G'(x)在(0,1)单调递增,‎ ‎∴G'(x)≥G'(0)=﹣a﹣1≥0,‎ ‎∴G(x)在(0,1)单调递增,‎ ‎∴G(x)≥G(0)=0,‎ ‎∴(x﹣1)(ex﹣1)﹣ax≥0,‎ ‎∴当a≤﹣1时,f(x)<0对任意x∈(0,1)成立.‎ ‎【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用,难点是对导函数的二次求导.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率是‎3‎‎2‎,点P(1,‎3‎‎2‎)在椭圆E上.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ,yQ)(点Q异于点P),若0<xQ<1,求直线l斜率k的取值范围;‎ ‎(3)若以点P为圆心作n个圆Pi(i=1,2,…,n),设圆Pi交x轴于点Ai、Bi,且直线PAi、PBi分别与椭圆E交于Mi、Ni(Mi、Ni皆异于点P),证明:M1N1∥M2N2∥…∥MnNn.‎ ‎【分析】(1)根据椭圆的离心率求得a2=4b2,将P代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;‎ 第20页(共20页)‎ ‎(2)设直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,求得xQ,由0<xQ<1,即可求得k的取值范围;‎ ‎(3)由题意可知:故直线PAi,PBi的斜率互为相反数,分别设直线方程,代入椭圆方程,即可求得xi,xi′,根据直线的斜率公式,即可求得yi‎-yi'‎xi‎-xi'‎=‎3‎‎6‎,kM‎1‎N‎1‎=kM‎2‎N‎2‎=…=kMnNn,则M1N1∥M2N2∥…∥MnNn.‎ ‎【解答】解:(1)由椭圆的离心率e=ca=‎1-‎b‎2‎a‎2‎=‎3‎‎2‎,则a2=4b2,‎ 将P(1,‎3‎‎2‎)代入椭圆方程:‎1‎‎4‎b‎2‎‎+‎3‎‎4‎b‎2‎=1‎,解得:b2=1,则a2=4,‎ ‎∴椭圆的标准方程:x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎;‎ ‎(2)设直线l的方程y﹣‎3‎‎2‎=k(x﹣1),‎ 则‎&y-‎3‎‎2‎=k(x-1)‎‎&x‎2‎‎4‎+y‎2‎=1‎,消去y,整理得:(1+4k2)x2+(4‎3‎k﹣8k2)x+(4k2﹣4‎3‎k﹣1)=0,‎ 由x0•1=‎4k‎2‎-4‎3‎k-1‎‎1+4‎k‎2‎,由0<x0<1,则0<‎4k‎2‎-4‎3‎k-1‎‎1+4‎k‎2‎<1,‎ 解得:﹣‎3‎‎6‎<k<‎3‎‎-2‎‎2‎,或k>‎3‎‎+2‎‎2‎,经验证,满足题意,‎ 直线l斜率k的取值范围(﹣‎3‎‎6‎,‎3‎‎-2‎‎2‎)∪(‎3‎‎+2‎‎2‎,+∞);‎ ‎(3)动圆P的半径为PAi,PBi,故PAi=PBi,△PAiBi为等腰三角形,故直线PAi,PBi的斜率互为相反数,设PAi的斜率ki,则直线PBi的斜率为﹣ki,‎ 设直线PAi的方程:y﹣‎3‎‎2‎=ki(x﹣1),则直线PBi的方程:y﹣‎3‎‎2‎=﹣ki(x﹣1),‎ ‎&y-‎3‎‎2‎=ki(x-1)‎‎&x‎2‎‎4‎+y‎2‎=1‎‎,消去y,整理得:(1+4ki2)x2+(4‎3‎ki﹣8ki2)x+(4ki2﹣4‎3‎ki﹣1)=0,设Mi(xi,yi),Ni(xi′,yi′),‎ 第20页(共20页)‎ 则xi•1=‎4ki‎2‎-4‎3‎ki-1‎‎1+4‎ki‎2‎,则xi=‎4ki‎2‎-4‎3‎ki-1‎‎1+4‎ki‎2‎,‎ 将﹣ki代替ki,则xi′=‎4ki‎2‎+4‎3‎ki-1‎‎1+4‎ki‎2‎,‎ 则xi+xi′=‎8ki‎2‎-2‎‎1+4‎ki‎2‎,xi﹣xi′=﹣‎8‎‎3‎ki‎1+4‎ki‎2‎,yi﹣yi′=ki(xi﹣1)+‎3‎‎2‎+ki(xi﹣1)﹣‎3‎‎2‎=ki(xi+xi′)﹣2ki,‎ ‎=ki×‎8ki‎2‎-2‎‎1+4‎ki‎2‎﹣2ki,‎ ‎=‎-4‎ki‎1+4‎ki‎2‎,‎ 则yi‎-yi'‎xi‎-xi'‎=‎-4‎ki‎1+4‎ki‎2‎‎-8‎‎3‎ki‎1+4‎ki‎2‎=‎3‎‎6‎,‎ 故kM‎1‎N‎1‎=kM‎2‎N‎2‎=…=kMnNn,‎ ‎∴M1N1∥M2N2∥…∥MnNn.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公式,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 第20页(共20页)‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档