2018年高三数学试卷(文科)

2018年高三数学试卷(文科)

‎2018年高考数学试卷（文科）‎ ‎　一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=‎1‎lnx-1‎的定义域为A，则∁UA为（　　）‎ A．（0，e] B．（0，e） C．（e，+∞） D．[e，+∞）‎ ‎2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i ‎3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与AB‎→‎反方向的单位向量为（　　）‎ A．（﹣‎3‎‎5‎，‎4‎‎5‎） B．（‎3‎‎5‎，﹣‎4‎‎5‎） C．（﹣‎3‎‎5‎，﹣‎4‎‎5‎） D．（‎3‎‎5‎，‎4‎‎5‎）‎ ‎4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（　　）‎ A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（　　）‎ A．19 B．20 C．21 D．22‎ ‎6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（　　）‎ A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106‎ ‎8．（5分）若直线x=‎5‎‎4‎π和x=‎9‎‎4‎π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ 第20页（共20页）‎ 的一个可能取值为（　　）‎ A．‎3π‎4‎ B．π‎2‎ C．π‎3‎ D．‎π‎4‎ ‎9．（5分）如果实数x，y满足约束条件‎&3x+y-6≤0‎‎&x-y-2≤0‎‎&x≥1‎，则z=y+1‎x+1‎的最大值为（　　）‎ A．‎1‎‎3‎ B．‎1‎‎2‎ C．2 D．3‎ ‎10．（5分）函数f（x）=‎&-x-1，x＜1‎‎&‎2‎‎1-x，x≥1‎的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＞1 B．a≤﹣‎3‎‎4‎ C．a≥1或a＜﹣‎3‎‎4‎ D．a＞1或a≤﹣‎‎3‎‎4‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为　 　．‎ ‎12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为　 　．‎ ‎13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足x-2‎x+1‎＜0的概率为‎1‎‎2‎，则实数a的值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线x‎2‎a‎2‎﹣y‎2‎‎9‎=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为　 　．‎ ‎15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ 第20页（共20页）‎ ‎16．（12分）已知向量m‎→‎=（sinx，﹣1），n‎→‎=（cosx，‎3‎‎2‎），函数f（x）=（m‎→‎+n‎→‎）•m‎→‎．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）将函数f（x）的图象向左平移π‎8‎个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（A‎2‎）=‎6‎‎6‎，sinB=cosA，求b的值．‎ ‎17．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：‎ ‎ ‎ 物理及格 物理不及格 合计 数学及格 ‎28‎ ‎8‎ ‎36‎ 数学不及格 ‎16‎ ‎20‎ ‎36‎ 合计 ‎44‎ ‎28‎ ‎72‎ ‎（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；‎ ‎（2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．‎ 附：x2=n(n‎11‎n‎22‎-‎n‎21‎n‎12‎‎)‎‎2‎n‎1‎‎⋅n‎2‎⋅n‎+1‎⋅‎n‎+2‎． ‎ P（X2≥k）‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．‎ ‎（1）求证：PA⊥平面CMN；‎ ‎（2）求证：AM∥平面PBC．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ 第20页（共20页）‎ ‎（2）数列{cn}满足cn=bn+（﹣1）nan，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎20．（13分）已知函数f（x）=ex﹣1﹣axx-1‎，a∈R．‎ ‎（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；‎ ‎（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．‎ ‎21．（14分）已知椭圆E：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1（a＞b＞0）的离心率是‎3‎‎2‎，点P（1，‎3‎‎2‎）在椭圆E上．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（xQ，yQ）（点Q异于点P），若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围；‎ ‎（3）若以点P为圆心作n个圆Pi（i=1，2，…，n），设圆Pi交x轴于点Ai、Bi，且直线PAi、PBi分别与椭圆E交于Mi、Ni（Mi、Ni皆异于点P），证明：M1N1∥M2N2∥…∥MnNn．‎ ‎　‎ 第20页（共20页）‎ ‎2018年高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=‎1‎lnx-1‎的定义域为A，则∁UA为（　　）‎ A．（0，e] B．（0，e） C．（e，+∞） D．[e，+∞）‎ ‎【分析】先求出集合A，由此能求出CUA．‎ ‎【解答】解：∵全集U={x∈R|x＞0}，‎ 函数f（x）=‎1‎lnx-1‎的定义域为A，‎ ‎∴A={x|x＞e}，‎ ‎∴∁UA={x|0＜x≤e}=（0，e]．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：（1+i）z=﹣2i，则z=‎-2i‎1+i=‎-2i(1-i)‎‎(1+i)(1-i)‎=﹣i﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与AB‎→‎反方向的单位向量为（　　）‎ A．（﹣‎3‎‎5‎，‎4‎‎5‎） B．（‎3‎‎5‎，﹣‎4‎‎5‎） C．（﹣‎3‎‎5‎，﹣‎4‎‎5‎） D．（‎3‎‎5‎，‎4‎‎5‎）‎ ‎【分析】与AB‎→‎反方向的单位向量=﹣AB‎→‎‎|AB‎→‎|‎，即可得出．‎ ‎【解答】解：AB‎→‎=（3，4）．‎ 第20页（共20页）‎ ‎∴与AB‎→‎反方向的单位向量=﹣AB‎→‎‎|AB‎→‎|‎=﹣‎(3，4)‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎(-‎3‎‎5‎，-‎4‎‎5‎)‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（　　）‎ A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m ‎【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：m=0.52=‎1‎‎4‎，n=20.5=‎2‎＞1，p=log20.5=﹣1，‎ 则n＞m＞p．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（　　）‎ A．19 B．20 C．21 D．22‎ ‎【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是 计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，求出即可．‎ ‎【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，‎ 该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，‎ 由S=n(n+1)‎‎2‎≥210，解得n≥20，‎ ‎∴输出n的值为20．‎ 第20页（共20页）‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出．‎ ‎【解答】解：q：（x﹣1）（x+2）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．‎ 又p：x≥k，p是q的充分不必要条件，则实数k＞1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（　　）‎ A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106‎ ‎【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．‎ ‎【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔‎600‎‎24‎=25个号抽到一个人，‎ 则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若直线x=‎5‎‎4‎π和x=‎9‎‎4‎π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（　　）‎ A．‎3π‎4‎ B．π‎2‎ C．π‎3‎ D．‎π‎4‎ ‎【分析】根据直线x=‎5‎‎4‎π和x=‎9‎‎4‎π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0‎ 第20页（共20页）‎ ‎）图象的两条相邻对称轴，可得周期T，利用x=‎5‎‎4‎π时，函数y取得最大值，即可求出φ的取值．‎ ‎【解答】解：由题意，函数y的周期T=‎2×(‎9‎‎4‎π-‎5‎‎4‎π)‎=2π．‎ ‎∴函数y=sin（x+φ）．‎ 当x=‎5‎‎4‎π时，函数y取得最大值或者最小值，即sin（‎5π‎4‎+φ）=±1，‎ 可得：‎5π‎4‎‎+‎φ=π‎2‎‎+kπ．‎ ‎∴φ=kπ‎-‎‎3π‎4‎，k∈Z．‎ 当k=1时，可得φ=π‎4‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）如果实数x，y满足约束条件‎&3x+y-6≤0‎‎&x-y-2≤0‎‎&x≥1‎，则z=y+1‎x+1‎的最大值为（　　）‎ A．‎1‎‎3‎ B．‎1‎‎2‎ C．2 D．3‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，z=y+1‎x+1‎的几何意义是区域内的点到定点（﹣1，﹣1）的斜率，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出约束条件‎&3x+y-6≤0‎‎&x-y-2≤0‎‎&x≥1‎所对应的可行域（如图阴影），z=‎y+1‎x+1‎ 的几何意义是区域内的点到定点P（﹣1，﹣1）的斜率，‎ 由图象知可知PA的斜率最大，‎ 由‎&x=1‎‎&3x+y-6=0‎，得A（1，3），‎ 则z=‎3+1‎‎1+1‎=2，‎ 即z的最大值为2，‎ 故选：C．‎ 第20页（共20页）‎ ‎【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）函数f（x）=‎&-x-1，x＜1‎‎&‎2‎‎1-x，x≥1‎的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＞1 B．a≤﹣‎3‎‎4‎ C．a≥1或a＜﹣‎3‎‎4‎ D．a＞1或a≤﹣‎‎3‎‎4‎ ‎【分析】作出f（x）的图象和g（x）的图象，它们恰有一个交点，求出g（x）的恒过定点坐标，数形结合可得答案．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=‎&-x-1，x＜1‎‎&‎2‎‎1-x，x≥1‎与函数g（x）的图象它们恰有一个交点，f（x）图象过点（1，1）和（1，﹣2），‎ 而，g（x）的图象恒过定点坐标为（1﹣a，0）．‎ 从图象不难看出：到g（x）过（1，1）和（1，﹣2），它们恰有一个交点，‎ 当g（x）过（1，1）时，可得a=1，恒过定点坐标为（0，0），往左走图象只有一个交点．‎ 当g（x）过（1，﹣2）时，可得a=‎-‎‎3‎‎4‎，恒过定点坐标为（‎7‎‎4‎，0），往右走图象只有一个交点．‎ ‎∴a＞1或a≤﹣‎3‎‎4‎．‎ 故选：D．‎ 第20页（共20页）‎ ‎【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用．数形结合的思想．属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为　（x﹣2）2+（y﹣2）2=8　．‎ ‎【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于（4，0）、（0，4）两点，‎ 即A、B的坐标为（4，0）、（0，4），‎ 经过O、A、B三点的圆，即△AOB的外接圆，‎ 而△AOB为等腰直角三角形，则其外接圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，‎ 则有2r=|AB|=4‎2‎，即r=2‎2‎，‎ 圆心坐标为（2，2），‎ 其该圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，‎ 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．‎ ‎【点评】本题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为　‎16‎‎3‎　．‎ 第20页（共20页）‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．‎ ‎∴该几何体的体积V=‎2‎‎3‎‎-‎1‎‎3‎×‎2‎‎2‎×2‎=‎16‎‎3‎．‎ 故答案为：‎16‎‎3‎．‎ ‎【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足x-2‎x+1‎＜0的概率为‎1‎‎2‎，则实数a的值为　4　．‎ ‎【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度比为测度比得答案．‎ ‎【解答】解：由x-2‎x+1‎＜0，得﹣1＜x＜2．‎ 又x≥0，∴0≤x＜2．‎ ‎∴满足0≤x＜2的概率为‎2‎a‎=‎‎1‎‎2‎，得a=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲 第20页（共20页）‎ 线x‎2‎a‎2‎﹣y‎2‎‎9‎=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为　2　．‎ ‎【分析】设M点到抛物线准线的距离为d，由已知可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则‎4‎‎1+a=‎3‎a，解得实数a的值．‎ ‎【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d，‎ 则丨MF丨=d=1+p‎2‎=5，则p=8，‎ 所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为（1，4）；‎ 又双曲线的左顶点为A（﹣a，0），渐近线为y=±‎3‎a，‎ 直线AM的斜率k=‎4-0‎‎1+a=‎4‎‎1+a，由‎4‎‎1+a=‎3‎a，解得a=3．‎ ‎∴a的值为3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是　[‎-15‎‎4‎，‎-3‎‎2‎]　．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数g（x）和偶函数f（x）的表达式，将等式af（x）+g（2x）=0，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，通过变形可得a=t+‎2‎t，讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：解：∵g（x）为定义在R上的奇函数，f（x）为定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），‎ 又∵由f（x）+g（x）=2x，结合f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=2﹣x，‎ ‎∴f（x）=‎1‎‎2‎（2x+2﹣x），g（x）=‎1‎‎2‎（2x﹣2﹣x）．‎ 等式af（x）+g（2x）=0，化简为a‎2‎（2x+2﹣x）+‎1‎‎2‎（22x﹣2﹣2x）=0．‎ 第20页（共20页）‎ ‎∴a=2﹣x﹣2x ‎∵x∈[1，2]，∴‎3‎‎2‎≤2x﹣2﹣x≤‎15‎‎4‎，‎ ‎ 则实数a的取值范围是[﹣‎15‎‎4‎，﹣‎3‎‎2‎]，‎ 故答案为：[﹣‎15‎‎4‎，﹣‎3‎‎2‎]．‎ ‎【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．属于中档题 ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．（12分）已知向量m‎→‎=（sinx，﹣1），n‎→‎=（cosx，‎3‎‎2‎），函数f（x）=（m‎→‎+n‎→‎）•m‎→‎．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）将函数f（x）的图象向左平移π‎8‎个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（A‎2‎）=‎6‎‎6‎，sinB=cosA，求b的值．‎ ‎【分析】（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；‎ ‎（2）运用图象变换，可得g（x）的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）向量m‎→‎=（sinx，﹣1），n‎→‎=（cosx，‎3‎‎2‎），‎ 函数f（x）=（m‎→‎+n‎→‎）•m‎→‎=（sinx+cosx，‎1‎‎2‎）•（sinx，﹣1）‎ ‎=sin2x+sinxcosx﹣‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎sin2x﹣‎1‎‎2‎（1﹣2sin2x）=‎1‎‎2‎sin2x﹣‎1‎‎2‎cos2x=‎2‎‎2‎sin（2x﹣π‎4‎），‎ 由2kπ﹣π‎2‎≤2x﹣π‎4‎≤2kπ+π‎2‎，k∈Z，‎ 可得kπ﹣π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎，k∈Z，‎ 即有函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣π‎8‎，kπ+‎3π‎8‎]，k∈Z；‎ ‎（2）由题意可得g（x）=‎2‎‎2‎sin（2（x+π‎8‎）﹣π‎4‎）=‎2‎‎2‎sin2x，‎ g（A‎2‎）=‎2‎‎2‎sinA=‎6‎‎6‎，‎ 第20页（共20页）‎ 即sinA=‎3‎‎3‎，cosA=±‎1-‎‎1‎‎3‎=±‎6‎‎3‎，‎ 在△ABC中，sinB=cosA＞0，‎ 可得sinB=‎6‎‎3‎，‎ 由正弦定理asinA=bsinB，‎ 可得b=asinBsinA=‎3×‎‎6‎‎3‎‎3‎‎3‎=3‎2‎．‎ ‎【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：‎ ‎ ‎ 物理及格 物理不及格 合计 数学及格 ‎28‎ ‎8‎ ‎36‎ 数学不及格 ‎16‎ ‎20‎ ‎36‎ 合计 ‎44‎ ‎28‎ ‎72‎ ‎（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；‎ ‎（2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．‎ 附：x2=n(n‎11‎n‎22‎-‎n‎21‎n‎12‎‎)‎‎2‎n‎1‎‎⋅n‎2‎⋅n‎+1‎⋅‎n‎+2‎． ‎ P（X2≥k）‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【分析】（1）根据表中数据，计算观测值X2，对照临界值得出结论；‎ ‎（2）分别计算选取的数学及格与不及格的人数，‎ 用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．‎ ‎【解答】解：（1）根据表中数据，计算X2=‎72‎‎×(28×20-16×8)‎‎2‎‎44×28×36×36‎=‎648‎‎77‎≈8.416＞6.635，‎ 因此，有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；‎ 第20页（共20页）‎ ‎（2）选取的数学及格的人数为7×‎8‎‎25‎=2人，‎ 选取的数学不及格的人数为7×‎20‎‎28‎=5人，设数学及格的学生为A、B，‎ 不及格的学生为c、d、e、f、g，则基本事件为：‎ AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、‎ cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个，‎ 其中满足条件的是 AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个，‎ 故所求的概率为P=‎11‎‎21‎．‎ ‎【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．‎ ‎（1）求证：PA⊥平面CMN；‎ ‎（2）求证：AM∥平面PBC．‎ ‎【分析】（1）推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD⊥PA，MN⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．‎ ‎（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．‎ ‎【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD、PA的中点，‎ ‎∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，‎ ‎∵PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AD，‎ 又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，‎ ‎∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，‎ 又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，‎ 第20页（共20页）‎ ‎∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CM⊂平面CMN，‎ ‎∴PA⊥平面CMN．‎ 解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，‎ ‎∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，‎ 又∵PC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC，‎ ‎∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．‎ ‎∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，‎ ‎∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，‎ ‎∵AQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AQ∥平面PBC，‎ ‎∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，‎ ‎∵AM⊂平面AMQ，∴AM∥平面PBC．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）数列{cn}满足cn=bn+（﹣1）nan，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．‎ 可得2+d=q2，3×2+‎3×2‎‎2‎d=6q，联立解得d，q．即可得出．．‎ ‎（2）cn=bn+（﹣1）nan=2n﹣1+（﹣1）n•2n．可得数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]．对n 第20页（共20页）‎ 分类讨论即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．‎ ‎∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．‎ ‎∴2+d=q2，3×2+‎3×2‎‎2‎d=6q，‎ 联立解得d=q=2．‎ ‎∴an=2+2（n﹣1）=2n，bn=2n﹣1．‎ ‎（2）cn=bn+（﹣1）nan=2n﹣1+（﹣1）n•2n．‎ ‎∴数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=‎2‎n‎-1‎‎2-1‎+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]．‎ ‎∴n为偶数时，Tn=2n﹣1+[（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+（﹣2n+2+2n）]．‎ ‎=2n﹣1+n．‎ n为奇数时，Tn=2n﹣1+‎2×‎n-1‎‎2‎﹣2n．‎ ‎=2n﹣2﹣n．‎ ‎∴Tn=‎&‎2‎n-1-n，n为偶数‎&‎2‎n-2-n，n为奇数．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）已知函数f（x）=ex﹣1﹣axx-1‎，a∈R．‎ ‎（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；‎ ‎（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．‎ ‎【分析】（1）求出导函数，由题意可知f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；‎ ‎（2）问题可转换为（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax＞0恒成立，构造函数G（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，通过二次求导，得出结论．‎ 第20页（共20页）‎ ‎【解答】解：（1）g（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，‎ g'（x）=xex﹣a﹣1，g''（x）=ex（x+1）＞0，‎ ‎∵f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，‎ ‎∴g'（0）=﹣a﹣1＜0，g'（1）=e﹣a﹣1＞0，‎ ‎∴﹣a＜a＜e﹣1；‎ ‎（2）当a≤﹣1时，f（x）＜0，‎ ‎∴（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax＞0恒成立，‎ 令G（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，‎ G'（x）=xex﹣a﹣1，G''（x）=ex（x+1）＞0，‎ ‎∴G'（x）在（0，1）单调递增，‎ ‎∴G'（x）≥G'（0）=﹣a﹣1≥0，‎ ‎∴G（x）在（0，1）单调递增，‎ ‎∴G（x）≥G（0）=0，‎ ‎∴（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax≥0，‎ ‎∴当a≤﹣1时，f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．‎ ‎【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）已知椭圆E：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1（a＞b＞0）的离心率是‎3‎‎2‎，点P（1，‎3‎‎2‎）在椭圆E上．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（xQ，yQ）（点Q异于点P），若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围；‎ ‎（3）若以点P为圆心作n个圆Pi（i=1，2，…，n），设圆Pi交x轴于点Ai、Bi，且直线PAi、PBi分别与椭圆E交于Mi、Ni（Mi、Ni皆异于点P），证明：M1N1∥M2N2∥…∥MnNn．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a2=4b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；‎ 第20页（共20页）‎ ‎（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得xQ，由0＜xQ＜1，即可求得k的取值范围；‎ ‎（3）由题意可知：故直线PAi，PBi的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得xi，xi′，根据直线的斜率公式，即可求得yi‎-yi'‎xi‎-xi'‎=‎3‎‎6‎，kM‎1‎N‎1‎=kM‎2‎N‎2‎=…=kMnNn，则M1N1∥M2N2∥…∥MnNn．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆的离心率e=ca=‎1-‎b‎2‎a‎2‎=‎3‎‎2‎，则a2=4b2，‎ 将P（1，‎3‎‎2‎）代入椭圆方程：‎1‎‎4‎b‎2‎‎+‎3‎‎4‎b‎2‎=1‎，解得：b2=1，则a2=4，‎ ‎∴椭圆的标准方程：x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎；‎ ‎（2）设直线l的方程y﹣‎3‎‎2‎=k（x﹣1），‎ 则‎&y-‎3‎‎2‎=k(x-1)‎‎&x‎2‎‎4‎+y‎2‎=1‎，消去y，整理得：（1+4k2）x2+（4‎3‎k﹣8k2）x+（4k2﹣4‎3‎k﹣1）=0，‎ 由x0•1=‎4k‎2‎-4‎3‎k-1‎‎1+4‎k‎2‎，由0＜x0＜1，则0＜‎4k‎2‎-4‎3‎k-1‎‎1+4‎k‎2‎＜1，‎ 解得：﹣‎3‎‎6‎＜k＜‎3‎‎-2‎‎2‎，或k＞‎3‎‎+2‎‎2‎，经验证，满足题意，‎ 直线l斜率k的取值范围（﹣‎3‎‎6‎，‎3‎‎-2‎‎2‎）∪（‎3‎‎+2‎‎2‎，+∞）；‎ ‎（3）动圆P的半径为PAi，PBi，故PAi=PBi，△PAiBi为等腰三角形，故直线PAi，PBi的斜率互为相反数，设PAi的斜率ki，则直线PBi的斜率为﹣ki，‎ 设直线PAi的方程：y﹣‎3‎‎2‎=ki（x﹣1），则直线PBi的方程：y﹣‎3‎‎2‎=﹣ki（x﹣1），‎ ‎&y-‎3‎‎2‎=ki(x-1)‎‎&x‎2‎‎4‎+y‎2‎=1‎‎，消去y，整理得：（1+4ki2）x2+（4‎3‎ki﹣8ki2）x+（4ki2﹣4‎3‎ki﹣1）=0，设Mi（xi，yi），Ni（xi′，yi′），‎ 第20页（共20页）‎ 则xi•1=‎4ki‎2‎-4‎3‎ki-1‎‎1+4‎ki‎2‎，则xi=‎4ki‎2‎-4‎3‎ki-1‎‎1+4‎ki‎2‎，‎ 将﹣ki代替ki，则xi′=‎4ki‎2‎+4‎3‎ki-1‎‎1+4‎ki‎2‎，‎ 则xi+xi′=‎8ki‎2‎-2‎‎1+4‎ki‎2‎，xi﹣xi′=﹣‎8‎‎3‎ki‎1+4‎ki‎2‎，yi﹣yi′=ki（xi﹣1）+‎3‎‎2‎+ki（xi﹣1）﹣‎3‎‎2‎=ki（xi+xi′）﹣2ki，‎ ‎=ki×‎8ki‎2‎-2‎‎1+4‎ki‎2‎﹣2ki，‎ ‎=‎-4‎ki‎1+4‎ki‎2‎，‎ 则yi‎-yi'‎xi‎-xi'‎=‎-4‎ki‎1+4‎ki‎2‎‎-8‎‎3‎ki‎1+4‎ki‎2‎=‎3‎‎6‎，‎ 故kM‎1‎N‎1‎=kM‎2‎N‎2‎=…=kMnNn，‎ ‎∴M1N1∥M2N2∥…∥MnNn．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 第20页（共20页）‎