数学卷·2018届江苏省连云港市灌南华侨高中高二上学期期中数学试卷 (解析版)

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数学卷·2018届江苏省连云港市灌南华侨高中高二上学期期中数学试卷 (解析版)

‎2016-2017学年江苏省连云港市灌南华侨高中高二(上)期中数学试卷 ‎ ‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,合计70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.‎ ‎1.命题:“若a=0,则ab=0”的逆否命题是  .‎ ‎2.在等差数列{an}中,a2=1,a4=7,则{an}的前5项和S5=  .‎ ‎3.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1,2,2,3,3,3.若连续抛掷该玩具两次,则向上一面数字之和为5的概率为  .‎ ‎4.已知椭圆+=1上的一点P到焦点F1的距离为2,M是线段PF1的中点,O为原点,则|OM|等于  .‎ ‎5.若x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值为  .‎ ‎6.若a<0,则不等式(x﹣1)(ax﹣4)<0的解集是  .‎ ‎7.在等比数列{an}中,若a7•a9=4,a4=1,则a12的值是  .‎ ‎8.“x>1”是“x>a”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是  .‎ ‎9.下列说法中,正确说法的序号是  .‎ ‎①若x≠0,则x+≥2;②若xy>0,则+≥2;‎ ‎③若θ为锐角,则sinθ+最小值为2;④若x+y=0,则2x+2y≥2.‎ ‎10.等差数列{an}中,已知a3=3,a5=6,且a3,a5,am成等比数列,则m=  .‎ ‎11.不等式ax2+bx+c>0的解集为(﹣2,1),则不等式cx2﹣bx+a<0的解集是  .‎ ‎12.在等差数列{an}中,<﹣1,若它的前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的最大正整数n的值为  .‎ ‎13.若关于x不等式|3x+t|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则t的取值范围  .‎ ‎14.已知a,b∈R,且a2+ab+b2=6,设a2﹣ab+b2的最大值和最小值分别为M,m,则M﹣m的值为  .‎ ‎ ‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.求适合下列条件的椭圆的标准方程:‎ ‎(1)焦点在x轴上,a=6,e=;‎ ‎(2)焦点在y轴上,c=3,e=.‎ ‎16.已知命题p:关于x的函数y=loga(x2﹣2ax+7a﹣6)的定义域为R;命题q:存在x∈R,使得关于x的不等式x2﹣ax+4<0成立,若p或q为真命题,p且q为假命题.求实数a的取值范围.‎ ‎17.已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a3=17,a1a3=16‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=logan+11,Tn为数列{bn}前n项的绝对值之和,求Tn.‎ ‎18.为了保护一件珍贵文物,博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体.假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成:①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米,且每立方米气体费用1千元;②需支付一定的保险费用,且支付的保险费用与保护罩容积成反比,当容积为2立方米时,支付的保险费用为8千元.‎ ‎(1)求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式;‎ ‎(2)求博物馆支付总费用的最小值;‎ ‎(3)如果要求保护罩为正四棱柱形状,高规定为2米,当博物馆需支付的总费用不超过9.5千元时,求保护罩底面积的最大值.‎ ‎19.已知数列{an}前n项的和为Sn,且满足a1=23,a2=﹣9,an+2=an+6×(﹣1)n+1﹣2.n∈N*‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求当Sn最大时n的值.‎ ‎20.已知关于x的函数f(x)=x2+bx+b+a.a,b为实数.‎ ‎(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞),且不等式f(x)<c的解集为(t,t+2),求实数c值;‎ ‎(2)若任意b∈R,总存在x1∈r,使得f(x1)<0成立,求a的取值范围;‎ ‎(3)当b=1时,解不等式f(x)<a(x2+1)‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年江苏省连云港市灌南华侨高中高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,合计70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.‎ ‎1.命题:“若a=0,则ab=0”的逆否命题是 若ab≠0,则a≠0 .‎ ‎【考点】四种命题.‎ ‎【分析】根据命题的逆否命题 书写即可 ‎【解答】解:∵:“若a=0,则ab=0”‎ ‎∴逆否命题:若ab≠0,则a≠0‎ 故答案为:若ab≠0,则a≠0‎ ‎ ‎ ‎2.在等差数列{an}中,a2=1,a4=7,则{an}的前5项和S5= 20 .‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】由等差数列{an}的性质可得:a1+a5=a2+a4,再利用求和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:由等差数列{an}的性质可得:a1+a5=a2+a4,‎ ‎∴S5===20.‎ 故答案为:20.‎ ‎ ‎ ‎3.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1,2,2,3,3,3.若连续抛掷该玩具两次,则向上一面数字之和为5的概率为  .‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【分析】古典概型,可用列举法列举出所有可能,然后找出数字之和为5的或者去掉数字之和不是5的事件.‎ ‎【解答】解:一共投掷可能性有6×6=36种.和为5的必须一次为2,一次为3,共有2=12种,则概率P==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎4.已知椭圆+=1上的一点P到焦点F1的距离为2,M是线段PF1的中点,O为原点,则|OM|等于 4 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由题意画出图形,利用椭圆定义求得|PF2|,再由三角形中位线定理得答案.‎ ‎【解答】解:如图,由椭圆+=1,得a=5,则2a=10,‎ ‎∵|PF1|=2,∴|PF2|=8,‎ 又M是线段PF1的中点,‎ ‎∴|OM|=.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎5.若x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值为 7 .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移,可得当x=1且y=2时,z取得最大值.‎ ‎【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,‎ 得到如图的三角形及其内部,由 可得A(1,2),z=x+3y,将直线进行平移,‎ 当l经过点A时,目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值=1+2×3=7.‎ 故答案为:7‎ ‎ ‎ ‎6.若a<0,则不等式(x﹣1)(ax﹣4)<0的解集是  .‎ ‎【考点】其他不等式的解法.‎ ‎【分析】将(x﹣1)(ax﹣4)<0的最高次项的系数变成正数,得(x﹣1)(﹣ax+4)>0,求不等式的解集即可.‎ ‎【解答】解:由于a<0,可将(x﹣1)(ax﹣4)<0的最高次项的系数变成正数,‎ 得(x﹣1)(﹣ax+4)>0,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎7.在等比数列{an}中,若a7•a9=4,a4=1,则a12的值是 4 .‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】在等比数列中,若m+n=p+q,m,n,p,q∈Z+,则aman=apaq.本题中7+9=4+12,所以a7•a9=a4•a12,由此可求出a12的值.‎ ‎【解答】解:∵a7•a9=4,a4=1,a7•a9=a4•a12,‎ ‎∴a12=4.‎ 故答案:4.‎ ‎ ‎ ‎8.“x>1”是“x>a”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 a<1 .‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.‎ ‎【解答】解:若“x>1”是“x>a”的充分不必要条件,‎ 则a<1,‎ 故答案为:a<1.‎ ‎ ‎ ‎9.下列说法中,正确说法的序号是 ②④ .‎ ‎①若x≠0,则x+≥2;②若xy>0,则+≥2;‎ ‎③若θ为锐角,则sinθ+最小值为2;④若x+y=0,则2x+2y≥2.‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】根据基本不等式的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:①若x≠0,当x>0时,则x+≥2;当x<0,则x+≤﹣2.①不对;‎ ‎②若xy>0,x,y是同号,则+≥2成立.②对;‎ ‎③若θ为锐角,则sinθ+最小值为2,当且仅当sinθ=1时取等号,此时θ=.与题设不符.③不对;‎ ‎④若x+y=0,则2x+2y≥2=2.当且仅当x=y=0时取等号.④对;‎ 故答案为:②④.‎ ‎ ‎ ‎10.等差数列{an}中,已知a3=3,a5=6,且a3,a5,am成等比数列,则m= 9 .‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式可得an,再利用等比数列的通项公式及其性质即可得出.‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵a3=3,a5=6,∴a1+2d=3,a1+4d=6,联立解得a1=0,d=.‎ ‎∵a3,a5,am成等比数列,∴62=3am,解得am=12.‎ ‎∴=12,解得m=9.‎ 故答案为:9.‎ ‎ ‎ ‎11.不等式ax2+bx+c>0的解集为(﹣2,1),则不等式cx2﹣bx+a<0的解集是 (﹣∞,﹣1)∪(,+∞) .‎ ‎【考点】二次函数的性质.‎ ‎【分析】由已知可得函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口朝下,且有两个零点﹣2和1,由韦达定理,可得a,b,c之间的关系,进而可将不等式cx2﹣bx+a<0化为:2x2+x﹣1>0,解得答案.‎ ‎【解答】解:若不等式ax2+bx+c>0的解集为(﹣2,1),‎ 则函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口朝下,且有两个零点﹣2和1,‎ 故=﹣1, =﹣2,即b=a,c=﹣2a 故不等式cx2﹣bx+a<0可化为:﹣2ax2﹣ax+a<0,‎ 即2x2+x﹣1>0,‎ 解得:x∈(﹣∞,﹣1)∪(,+∞),‎ 故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(,+∞)‎ ‎ ‎ ‎12.在等差数列{an}中,<﹣1,若它的前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的最大正整数n的值为 2018 .‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】<﹣1,若它的前n项和Sn有最大值,可得等差数列{an}是单调递减数列,d<0,a1010<0,a1009>0,a1010+a1009>0,再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵<﹣1,若它的前n项和Sn有最大值,‎ ‎∴等差数列{an}是单调递减数列,d<0,a1010<0,a1009>0,a1010+a1009>0,‎ ‎∴S2018==1009(a1010+a1009)>0,‎ S2019==2019a1010<0,‎ ‎∴使Sn>0的最大正整数n的值为2018.‎ 故答案为:2018.‎ ‎ ‎ ‎13.若关于x不等式|3x+t|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则t的取值范围 (﹣7,﹣5) .‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】首先分析题目已知不等式|3x﹣b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,求t的取值范围,考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x﹣b|<4含有参数t的解,使得解中只有整数1,2,3,即限定左边大于或等于0小于1,右边大于3小于或等于4.即可得到答案.‎ ‎【解答】解:∵|3x+t|<4,等价于﹣4<3x+t<4,‎ 等价于﹣4﹣t<3x<4﹣t,即<x<.‎ ‎∵解集中的整数有且仅有1,2,3,则,求得﹣7<t<﹣5,‎ 故答案为:(﹣7,﹣5).‎ ‎ ‎ ‎14.已知a,b∈R,且a2+ab+b2=6,设a2﹣ab+b2的最大值和最小值分别为M,m,则M﹣m的值为 8 .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】令t=a2﹣ab+b2,由a2+ab+b2=3可得a2+b2=3﹣ab,结合基本不等式的性质,进而可得ab﹣3≤2ab≤3﹣ab,解可得ab的范围,又由a2+b2=3﹣ab,则t可变形为3﹣2ab,由ab的范围,可得M、m的值,代入可得答案.‎ ‎【解答】解:令t=a2﹣ab+b2,‎ 由a2+ab+b2=3,可得a2+b2=3﹣ab,‎ 由基本不等式的性质,﹣(a2+b2)≤2ab≤a2+b2,‎ 进而可得:ab﹣3≤2ab≤3﹣ab,‎ 解可得,﹣3≤ab≤1,‎ t=a2﹣ab+b2=3﹣ab﹣ab=3﹣2ab,‎ 故:1≤t≤9,‎ 则M=9,m=1,‎ M﹣m=8,‎ 故答案为:8.‎ ‎ ‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.求适合下列条件的椭圆的标准方程:‎ ‎(1)焦点在x轴上,a=6,e=;‎ ‎(2)焦点在y轴上,c=3,e=.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(1)由离心率公式,求得c,再由a,b,c的关系,求得b,即可得到椭圆方程;‎ ‎(2)由离心率公式,求得a,再由a,b,c的关系,求得b,即可得到椭圆方程.‎ ‎【解答】解:(1)a=6,e=,即,解得c=2,b2=a2﹣c2=32,‎ 则椭圆的标准方程为: =1;‎ ‎(2)c=3,e=,即,解得,a=5,b2=a2﹣c2=25﹣9=16.‎ 则椭圆的标准方程为: =1.‎ ‎ ‎ ‎16.已知命题p:关于x的函数y=loga(x2﹣2ax+7a﹣6)的定义域为R;命题q:存在x∈R,使得关于x的不等式x2﹣ax+4<0成立,若p或q为真命题,p且q为假命题.求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假;函数恒成立问题.‎ ‎【分析】若p或q为真命题,p且q为假命题,则命题p命题q一真一假,进而可得实数a的取值范围.‎ ‎【解答】(本小题分14分)‎ 解:命题p:关于x的函数y=loga(x2﹣2ax+7a﹣6)的定义域为R,‎ 则x2﹣2ax+7a﹣6>0恒成立,‎ 则△=4a2﹣4(7a﹣6)<0,‎ 解得:a∈(1,6)…‎ 命题q:存在x∈R,使得关于x的不等式x2﹣ax+4<0成立,‎ 则△=a2﹣16>0,‎ 解得:a∈(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)…‎ ‎∵p或q为真命题,p且q为假命题;‎ ‎∴命题p命题q一真一假;…‎ 当p真q假时,a∈(1,4],…‎ 当p假q真时,a∈(﹣∞,﹣4)∪[6,+∞)…(…‎ ‎∴实数a的取值范围为(﹣∞,﹣4)∪(1,4]∪[6,+∞)…‎ ‎ ‎ ‎17.已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a3=17,a1a3=16‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=logan+11,Tn为数列{bn}前n项的绝对值之和,求Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】(1)根据等比数列的定义即可求出,‎ ‎(2)先化简bn,当1≤n≤6时,bn>0;当n≥7时,bn<0.分类计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)由a1+a3=17,a1a3=16,解得a1=1,a3=16,或a1=16,a3=1,‎ ‎∵数列{an}是递增的等比数列,‎ ‎∴a1=1,a3=16,‎ ‎∴q2==16,解得q=4‎ ‎∴an=4n﹣1,‎ ‎(2)bn=logan+11=13﹣2n,‎ 由bn=13﹣2n≥0,得n≤,‎ ‎∴当1≤n≤6时,bn>0;当n≥7时,bn<0.‎ 当1≤n≤6时,Tn=|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|=b1+b2+b3+…+bn=12n﹣n2,‎ 当n≥7时,Tn=|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|=b1+b2+b3+…+b6﹣(b7+b8+b9+…+bn)=2S6﹣Sn=n2﹣12n+72,‎ 综上可知:Tn=‎ ‎ ‎ ‎18.为了保护一件珍贵文物,博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体.假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成:①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米,且每立方米气体费用1千元;②需支付一定的保险费用,且支付的保险费用与保护罩容积成反比,当容积为2立方米时,支付的保险费用为8千元.‎ ‎(1)求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式;‎ ‎(2)求博物馆支付总费用的最小值;‎ ‎(3)如果要求保护罩为正四棱柱形状,高规定为2米,当博物馆需支付的总费用不超过9.5千元时,求保护罩底面积的最大值.‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用.‎ ‎【分析】(1)由需要支付的总费用由两部分组成,当容积为2立方米时,支付的保险费用为8千元,可求比例系数,从而可求支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式;‎ ‎(2)由(1)得:y=1000V+﹣500利用基本不等式可求出当且仅当1000V=,博物馆支付总费用的最小值;‎ ‎(3)由题意得不等式:1000V+﹣500≤9500,V=2S,代入整理得:S2﹣5S+4≤0,即可求保护罩底面积的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)依据题意,当保护罩体积等于V时,保险费用为(其中k为比例系数,k>0)‎ 且当V=2时, =8000,∴k=16000,…‎ ‎∴y=1000(V﹣0.5)+=1000V+﹣500(V>0.5).(单位:元)…‎ ‎(2)y=1000V+﹣500≥7500‎ 当且仅当1000V=,即V=4立方米时不等式取得等号.‎ 所以,博物馆支付总费用的最小值为750元. ‎ ‎(3)由题意得不等式:1000V+﹣500≤9500,V=2S,‎ 代入整理得:S2﹣5S+4≤0,解得1≤S≤4. …‎ 所以面正方形的面积最大可取4平方米. …‎ ‎ ‎ ‎19.已知数列{an}前n项的和为Sn,且满足a1=23,a2=﹣9,an+2=an+6×(﹣1)n+1﹣2.n∈N*‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求当Sn最大时n的值.‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】(1)由题意可知:当n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=4,数列{an}中的奇项构成首项为23,公等于4的等差数列;当n=2k时,a2k+2﹣a2k=﹣8,偶数项构成首项为﹣9,公差等于﹣8的等差数列,根据等差数列通项公式,即可求得数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)由(1)可知:a2k﹣1+a2k=﹣4k+18,因此数列{a2k﹣1+a2k}是以14为首项,以﹣4为公差的等差数列,S2k==﹣2k2+16k=﹣2(k﹣4)2+32,‎ 当k=4时,S8取得最大值32,即S8取得最大值32,S2k﹣1=S2k﹣a2k=﹣2k2+24k+1=﹣2(k﹣6)2+73,则k=6时,S11取得最大值73,因此当Sn最大时,n的值为11.‎ ‎【解答】解:(1)由an+2=an+6×(﹣1)n+1﹣2.n∈N*,‎ 当n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=4,‎ 当n=2k时,a2k+2﹣a2k=﹣8…‎ 数列{an}中的奇项构成首项为23,公等于4的等差数列;‎ 偶数项构成首项为﹣9,公差等于﹣8的等差数列.‎ a2k﹣1=23+(k﹣1)×4=4k+19,‎ 当n为奇数时an=2n+21…‎ a2k=﹣9+(k﹣1)×(﹣8)=﹣8k﹣1,‎ 当n为偶数时,an=﹣4n﹣1,…‎ ‎∴an=;…‎ ‎(2)由(1)知:a2k﹣1+a2k=﹣4k+18,‎ 当k=1时,a1+a2=14,‎ ‎∴{a2k﹣1+a2k}是以14为首项,以﹣4为公差的等差数列,‎ S2k==﹣2k2+16k=﹣2(k﹣4)2+32,‎ 当k=4时,S8取得最大值32.…‎ S2k﹣1=S2k﹣a2k=﹣2k2+24k+1=﹣2(k﹣6)2+73,‎ 当k=6时,S11取得最大值73,…‎ ‎∴当Sn最大时,n的值为11.…‎ ‎ ‎ ‎20.已知关于x的函数f(x)=x2+bx+b+a.a,b为实数.‎ ‎(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞),且不等式f(x)<c的解集为(t,t+2),求实数c值;‎ ‎(2)若任意b∈R,总存在x1∈r,使得f(x1)<0成立,求a的取值范围;‎ ‎(3)当b=1时,解不等式f(x)<a(x2+1)‎ ‎【考点】函数的值域.‎ ‎【分析】(1)根据二次函数的值域为[0,+∞),可得△=0,不等式f(x)<c的解集为(t,t+2),求解c是值.‎ ‎(2)任意b∈R,总存在x1∈r,使得f(x1)<0成立,即△>0,分离参数,转化为二次函数问题求解.‎ ‎(3)当b=1时,化简f(x),解不等式f(x)<a(x2+1),对a进行讨论可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)由题意:函数f(x)的值域为[0,+∞),可得△=0,即a+b=,那么a=﹣b.‎ ‎∴f(x)=x2+bx+=(x+)2‎ ‎∵f(x)<c,即,‎ 解得:﹣c﹣<x<c﹣‎ 又∵解集为(t,t+2),‎ 可得:,‎ ‎∴c=1.‎ ‎(2)总存在x1∈r,使得f(x1)<0成立,‎ ‎∴△>0,即b2﹣4(a+b)>0任意b∈R都成立,‎ ‎∴a<恒成立,‎ 故得:a<﹣1.‎ ‎(3)当b=1时,函数f(x)=x2+x+1+a 解不等式f(x)<a(x2+1)可化为:x2+x+1+a<a(x2+1),‎ 整理可得:(a﹣1)x2﹣x﹣1>0.‎ ‎,若a=1,则x<﹣1,不等式解集为(﹣∞,﹣1);‎ 若a≠1,则△=4a﹣3,‎ 当△=4a﹣3≤0,即时,不等式解集为:∅;‎ 当△=4a﹣3>0,且a<1,即时,不等式解集为(,);‎ 当△=4a﹣3>0,且a>1,即a>1时,不等式解集为(﹣∞,)∪(,+∞);‎ 综上可知:当时,解集为∅;‎ 当时,不等式解集为(,);‎ 当a=1时,不等式解集为(﹣∞,﹣1);‎ 当a>1时,不等式解集为(﹣∞,)∪(,+∞);‎ ‎ ‎
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