2019届浙江省杭州市高考命题比赛模拟（三）数学试卷（word版）
2019年高考模拟试卷数学卷双向细目表
题型
题号
分值
考查内容（难易程度）
选择题40
1
4
集合的基本运算（★）
2
4
复数的基本运算（★）
3
4
简单的二元一次线性规划（★★）
4
4
立体几何线面平行、面垂直的性质定理（★★）
5
4
斐波那契数列的简单推理（★★）
6
4
函数的图像与性质（★★★）
7
4
排列组合（★★★）
8
4
向量的应用（★★★★）
9
4
求曲线的离心率（★★★★）
10
4
用函数数形结合（★★★★）
填空题36
11
6
抛物线的标准方程（★）
12
6
随机变量的期望和方差计算（★★）
13
6
三视图求表面积体积（★★）
14
6
二项式定理（★★）
15
4
考查正弦定理以及切化弦的应用（★★★）
16
4
含参绝对值函数恒成立问题（★★★★）
17
4
基本不等式与导数综合应用（★★★★★）
解答题74
18
14
三角恒等变形及正余弦定理的运用（★★★）
19
15
立体几何线面平行的证明及线面角二面角的求解（★★★）
20
15
等比数列及数列求和（★★★）
21
15
直线与圆锥曲线的综合应用（★★★★★）
22
15
函数与导数综合应用（★★★★★）
绝密★考试结束前
2019年高考模拟试卷数学卷
考生须知：
1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；
2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。
13
3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：
如果事件互斥，那么 柱体的体积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率为,那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率为 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
球的表面积公式
台体的体积公式
球的体积公式
其中分别表示台体的上、下底面积，
表示为台体的高 其中表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(原创) 1．已知，集合，则
A． B． C． D．
【命题意图】考查集合的基本运算（★）
(原创) 2．设，（i是虚数单位），则＝
A．1 B．－1 C．i D．－i
【命题意图】考查复数的基本运算（★）
(原创) 3．若实数满足约束条件 则的取值范围是
A． B． C． D．
【命题意图】考查简单的二元一次线性规划（★★）
(原创) 4．已知互相垂直的平面交于直线．若直线满足，，则
A． B． C． D．
【命题意图】考查立体几何线面平行、面垂直的性质定理（★★）
(原创) 5．观察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11 ,
则a11+b11=
A．196 B．197 C．198 D．199
13
【命题意图】考查斐波那契数列的简单推理（★★）
(改编) 6．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0
9
【命题意图】考查函数的图像与性质（★★★）
(原创) 7．已知x1,x2,x3,x4 是正整数，满足x1+x2+x3+x4=9的正整数解有
A．54种 B．55种 C．56种 D．57种
【命题意图】考查排列组合（★★★）
(改编) 8．已知点O为ΔABC的外心，AB=2a,AC=2a,∠BAC=120°,若AO=αAB+βAC,
则α+β的最小值为
A．1 B．2 C．32 D．34
【命题意图】考查向量的应用（★★★★）
(原创) 9．已知P为双曲线C:x2a2+y2b2=1a>0,b>0上的一点，F1,F2分别为C的左右焦点，
若∆PF1F2的内切圆的直径为a,则双曲线C的离心率的取值范围为
A.52,+∞ B. 2,+∞ C. 52,2 D. 2,5
【命题意图】考查求曲线的离心率（★★★★）
10．已知函数fx=2-x,x≤2(x-2)2,x>2 ,函数gx=b-f2-x,其中b∈R,若函
数y=fx-g(x)恰有4个零点，则b的取值范围为
A．（74，+∞） B．(-∞,74) C．(0,74) D．(74,2)
【命题意图】用函数数形结合（★★★★）摘自《至精至简的数学思想方法》
非选择题部分 (共110分)
二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
(原创) 11．抛物线y=4x2的焦点坐标是 ，离心率是 ．
【命题意图】考查抛物线的标准方程（★）
(原创)第13题图
12．已知随机变量的分布列是：
-1
0
1
12
1-2q
q2
则q= ，= ．
【命题意图】考查随机变量的期望和方差计算（★★）
(原创)13．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何 体的体积（单位：）是 ，最长棱的长度（单位：）是 ．
【命题意图】考查三视图求表面积体积（★★）
(原创) 14．的展开式中各项系数之和为162，则 ，展开式中的 的系数为
13
．
【命题意图】考查二项式定理（★★★）
(改编)15．在中，角所对的边分别为，若acoB-bcosA=35c，
则tanAtanB= .
【命题意图】考查正弦定理以及切化弦的应用（★★★）
(改编) 16. 已知函数f(x)=x1-ax+1,a>0,若fx+a≤fx对任意x∈R恒成立，
则a的取值范围为 .
【命题意图】考查含参绝对值函数恒成立问题（★★★★）
(改编) 17. 已知角A,B,C为锐角三角形的三个内角，则 14tanA+7tanB+4tanC的最小值为
．改编自《导数压轴题与放缩应用》
【命题意图】考查基本不等式与导数综合应用（★★★★★）
三、解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(原创) 18．（本题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.
知cos(B－C)＝1－cosA，且b，a，c成等比数列．
1求sinB∙sinC的值
2求A的值
3求tanB+tanA的值
【命题意图】考查三角恒等变形及正余弦定理的运用（★★★）
(改编) 19．（本题满分15分）如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE//AF，AB⊥AF，AB=BE=12AF=2，∠CBA=π3，P为DF的中点．
(1)证：DE//平面ABCD；
(2)二面角D-EF-A的余弦值；
(3)G为线段AD上一点，AG=λAD，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为3926，求AG的长．
【命题意图】考查立体几何线面平行的证明及线面角二面角的求解（★★★）
(原创) 20．（本题满分15分）已知数列and的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*
(1) 证明：an-1是等比数列
(2) 求数列Sn的通项公式，并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整数n.( log56225≈13.9)
【命题意图】考查等比数列及数列求和（★★★）
(改编)21．（本题满分15分）已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点，且离心率为63．
(1)椭圆C的标准方程；
13
(2)A为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM与AN的斜率 之积为-3
① 试问M、N所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；
②若P点为椭圆C上异于M，N的一点，且|MP|=|NP|，求△MNP的面积的最小值．
【命题意图】考查直线与圆锥曲线的综合应用（★★★★★）
22．（本题满分15分）已知函数fx=exx2-ax+1(a≥0)
1试讨论函数f(x)的单调区间
2若不等式f(x)≥x对任意x∈0,a+1恒成立，求a 的取值范围
【命题意图】考查函数与导数综合应用（★★★★★）摘自《导数压轴题与放缩应用》
2019年高考模拟试卷数学答卷
题号
1-10
11-17
18
19
20
21
22
总分
得分
学校 班级 姓 名 试场 座位号
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
……………………………………密……………………………………封……………………………………线……………………………………
一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（本题共有7小题，其中第12、13、14、17题每空3分，第11、15、16题每空4分，共36分）
11． ___________， ___________ 12．___________， ___________
13．___________， ___________ 14．___________ , ___________
15．___________ 16. ___________
17. ___________
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（本小题满分14分）
13
19．（本小题满分15分）
第
页
20．（本小题满分15分）
13
21．（本小题满分15分）
13
22．（本小题满分15分）
2019年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准
一、选择题：（共8小题，每小题4分，共40分）
13
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
C
D
C
C
B
A
D
二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11、 0,116 1 12、1-22 12-2
13、 83 23 14、2
15、 4 16、(√2，+∞)
17、 157
8：解：设AO交BC于点E，EO=m,AO=r,
易知,AO=rr-mAE=rr-mx1A B+y1A C ,其中x1+y1=1,m∈r2,r,所以x+y=rr-m≥2
9：解：不妨设点Px0,y0在第一象限，设∆PF1F2的内切圆I与三边分别切于M,N,T,
则有PM=PN,F1M=F1T,F2N=F2T,由双曲线定义可知PF1-PF2=2a
所以F1M-F2N=2a，F1T-F2T=2a，所以T点在双曲线上，即T为双曲线的右顶点
Ta,0,内切圆圆心为Ia,a2,当焦点F2远离顶点T时，双曲线的离心率越来越大，当当焦点
F2接近顶点T时，双曲线的离心率越来越小，其临界状态为MF1∥NF2
当MF1∥NF2时，∠MF1F2+∠NF2F1=π,因为∠MF1F2=2∠IF1F2, ∠NF2F1=2∠IF2F1
所以∠IF1F2+∠IF2F1=π2，tan∠IF1F2=a2a+c，tan∠IF2F1=a2a-c
因为tan∠IF1F2∙tan∠IF2F1=1，所以a2a+c∙a2a-c=1，所以4c2-4a2=a2，此时e=52
所以e>52
10：解：f2-x=2-2-x,x≥0x2,x<0,即f2-x=x2,x<0x,0≤x≤24-x,x>2,又fx=2+x,x<02-x,0≤x≤2x-22,x>2
所以f2-x+fx=x2+x+2,x<02,0≤x≤2x2-5x+8,x>2,在同一坐标系中画出函数f2-x+fx的图像，以及画出直线y=b的图像，只需有四个公共点即可，
又f2-x+fx的最小值为74，所以740)对任意x∈R恒成立，则fx向左平移到fx+a处，确保fx+a与fx相切，即fx+a与fx只有一个公共点，
即，-ax+a2+x+a+1=ax2+ax+1,化简得2ax2+2a2x+a3-a=0只有一个解，
即∆=0，解得a=2,所以a∈2,+∞
17：解：令tanA=x,tanB=y,tanC=z,则有x+y+z=xyz,得z=z+yxy-1
代入化简得，14x+7y+4z=14x+7y+4z+yxy-1=14x+7y+41yxy-1+1y+yxy-1=14x+7y+4y+4y+4yxy-1
=14xy-1y+4y+4yxy-1+18y+7y≥4141+y2y2+18y+7y
13
令gy=4141+y2y2+18y+7y,g'y=7y2-1814y2+1-56y214y2+1,令g'y=0，y=577
当y∈0,577, g'y<0,gy单调递减；y∈577,+∞时，g'y>0，gy单调递增
所以gy≥g577=157，当且仅当x=377,y=577,z=7
三、解答题：(本大题共5小题，共74分)．
18. 本题主要考查三角恒等变换以及三角形正余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
（1）因为A+B+C＝π，所以A＝π-(B+C)，
由cos(B-C)＝1-cosA，得cos(B-C)＝1+cos(B+C)，
整理得sinBsinC=12． …(4分)
（2）因为b，a，c成等比数列，所以a2＝bc，
由正弦定理，得sin2A＝sinBsinC， …(5分)
由（1）可得sin2A=12． 因为A∈(0，π)，所以sinA=22． …(7分)
又因为a边不是最大边，所以A=π4． …(9分)
（3）因为B+C=π-A=3π4，
所以cosB+C=-22， …(10分)
所以cosBcosC=1-22， …(12分)
所以tanB+tanC=sinBcosB+sinCcosC=sinB+CcosBcosC=221-22=-2-2．…(14分)
19. 本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15 分。
(Ⅰ)取AD的中点Q，连接PQ，BQ，则PQ//AF//BE，且PQ=12AF=BE，
所以四边形BEPQ为平行四边形，…(2分)
所以PE//BQ，又BQ⊂平面ABCD，PE⊄平面ABCD，
则PE//平面ABCD.…(4分)
(Ⅱ)取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，交线为AB，
则CO⊥平面ABEF…(4分)
作OM//AF，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(-2,0,3),F(-1,4,0),E(1,2,0)…(6分)
于是DF=(1,4,-3),EF=(-2,2,0)，设平面DEF的法向量m=(x,y,z)，
则x+4y-3z=0-2x+2y=0令x=1，则y=1,z=53…(7分)
平面
13
AEF的法向量n=(0,0,1)…(8分)
所以cos〈m,n>=53313=53131.…(9分)
又因为二面角D-EF-A为锐角，所以其余弦值为53131. …(10分)
(Ⅲ)A(-1,0,0),AD=(-1,0,3),AG=(-λ,0,3λ)，则G(-λ-1,0,3λ)，FG=(-λ,-4,3λ)，而平面ABEF的法向量为m=(0,0,1)，
设直线FG与平面ABEF所成角为θ，
于是sinθ=3λ16+4λ2=3926…(13分)
于是λ=33，AG=233.…(15分)
20. 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。
力。满分15分。
（Ⅰ）当n=1时，a1=-14,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1
所以an-1=56an-1-1,又a1-1=-15,所以数列an-1是等比数列…(7分)
（Ⅱ）由（1）知an-1=-15(56)n-1,得an=1-1556n-1…(10分)
所以Sn=75(56)n-1+n-90…(12分)
由Sn+1>Sn得56n-1<25,n>log56225+1≈14.9,所以n=15…(15分)
21. 本题主要考查直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。
(1)由题意，椭圆的焦点坐标为(0,±2)，Ca=63，
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
∴c=3，a=3，b=1，
∴椭圆C的标准方程为y23+x2=1；…(4分)
(2)若MN
13
的斜率不存在，设M(x1,y1)，N(x1,-y1).
则kAM⋅kAN=y1+3x1⋅-y+3x1=3-y12x12=-3，
而y12≤3，故不成立，∴直线MN的斜率存在，…(5分)
设直线MN的方程y=kx+m，
联立y=kx+my23+x2=1，得(k2+3)x2+2kmx+m2-3=0．
∴x1+x2=-2kmk2+3，x1x2=m2-3k2+3，kAM=y1+3x1，kAN=y2+3x2，…(7分)
∵直线AM与直线AN斜率之积为-3．
∴kAM⋅kAN=y1+3x1⋅y2+3x2=kkx1+m+3)(kx2+m+3)x1x2=k2⋅m2-3k2+3+k(m+3)(x1+x2)+(m+3)2m2-3k2+3
=3(m+3)m-3=-3，
整理得m=0．…(8分)
∴直线MN恒过(0,0)．…(10分)
②由①知xM2=3k2+3，yM2=3k2k2+3，
∵|MP|=|NP|，∴OP⊥MN，
当k≠0时，设OP所在直线方程为y=-1kx，则xp2=3k23k2+1，yp2=33k2+1，…(11分)
当k=0时，也符合上式，…(12分)
∴S△MNP=|OM|⋅|OP|=xM2+yM2⋅xP2+yP2=3(k2+1)k2+3⋅3(k2+1)3k2+1=3(k2+1)2(k2+3)(3k2+1)，
令k2+1=t(t≥1)，k2=t-1，
S△MNP=3t23t2+4t-4=311t2+4t+3，…(13分)
∵t≥1，∴0<1t≤1．
当1t=12，即t=2时，-4t2+4t+3取最大值4，…(14分)
∴当k2=1，即k=±1时，△MNP的面积最小，最小值为32．…(15分)
22. 本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，不等式及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能
⑴f'x=exx2-a+2x+1+ax2-ax+12=exx-1x-a+1x2-ax+12 …(2分)
①当a=0时，f'x=exx-12x2+12≥0,所以fx在R上单调递增 …(3分)
②当a∈0,2时，∆=a2-4<0,a2-x+1>0
13
所以fx在-∞，1上单调递增，在1,1+a上单调递减，在1+a,+∞上单调递增
…(4分)
③当a=2时，函数的定义域为-∞，1∪1，+∞，f'x=exx-3x-1,
所以，fx在-∞，1上单调递增, 在1,3上单调递减，在3,+∞上单调递增 …(5分)
④当a∈2,+∞时，∆=a2-4>0,设x2-ax+1=0的两根为x1,x2,且x10,所以x22时，x∈x1,x2⊆0,a+1,有fx<0即fx≥x在x∈0,a+1上成立
…(8分)
当a=2时，由⑴知不合题意 …(9分)
当a=0时，f0=1,fe=12>1,fx单调递增，所以fx≥x在x∈0,a+1上成立
…(10分)
当01,f1+a=ea+1a+2
要证f1+a=ea+1a+2≥a+1
即证ex-x+1x≥0,x=a+1∈1,3,即证x2+xex<1 …(11分)
构造函数hx=x2+x+14ex,则h'x=-4x2+4x+3ex=3-2x2x+1ex …(12分)
则当10,hx单调递增;当32
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