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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教A版平面向量的数量积与应用举例课时作业
26 平面向量的数量积与平面向量的应用 1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 答案B 解析A项,设向量a与b的夹角为θ, 则a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立; B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立; C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立; D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2, 故等式恒成立. 综上,选B. 2.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案B 解析由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°, 则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2 =2×1×1×cos60°-12=0,故选B. 3.已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+a·b=0,则实数m等于( ) A.-4 B.4 C.-2 D.2 答案C 解析设a,b的夹角为θ, ∵|a||b|+a·b=0,∴|a||b|+|a||b|cosθ=0, ∴cosθ=-1,即a,b的方向相反. 又向量a=(1,2),b=(m,-4), ∴b=-2a,∴m=-2. 4.[2019·陕西西安地区八校联考]已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是( ) A.-3 B.- C.3 D. 解析:依题意得,=(-2,-1),=(5,5),·=(-2,-1)·(5,5)=-15,||=,因此向量在方向上的投影是==-3,选A. 答案:A 5.[2019·惠州市调研考试]若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 解析:(-)·(+-2)=0,即·(+)=0,∵- eq o(AC,sup15(→))=,∴(-)·(+)=0,即||=||,∴△ABC是等腰三角形. 答案:A 6.[2019·云南省高三11校跨区调研考试]平面向量a与b的夹角为45°,a=(1,1),|b|=2,则|3a+b|等于( ) A.13+6 B.2 C. D. 解析:依题意得a2=2,a·b=×2×cos45°=2,|3a+b|====,选D. 答案:D 7.[2019·石家庄高中模拟考试]已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A,C),其中|AB|=2,则·=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:连接BC,∵AC为直径,∴∠ABC=90°,∴AB⊥BC,在上的投影||cos〈,〉=||=2,∴·=||||·cos〈,〉=4.故选D. 答案:D 8.[2019·武汉市高中调研测试]已知平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=-2,|a+b|=2,则a·b的最大值为( ) A.-1 B.-2 C.- D.- 解析:不妨设e=(1,0),则a=(1,m),b=(-2,n)(m,n∈R),则a+b=(-1,m+n),所以|a+b|==2,所以(m+n)2=3,即3=m2+n2+2mn≥2mn+2mn=4mn,当且仅当m=n时等号成立,所以mn≤,所以a·b=-2+mn≤-,综上可得a·b的最大值为-.故选D. 答案:D 9.[2019·呼伦贝尔模拟]O是平面上一定点,A,B,C 是该平面上不共线的三个点,一动点P满足:=+λ(+),λ∈(0,+∞),则直线AP一定通过△ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析: 如图,取BC中点D.因为=+λ(+),-=λ(+),即=2λ, 所以A,P,D三点共线, 所以AP一定通过△ABC的重心. 答案:C 10.[2018·天津卷]如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为( ) A. B. C. D.3 解析:本题主要考查数量积的综合应用. 解法一 如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B,C(0,),令E(0,t),t∈[0,],∴·=(-1,t)·=t2-t+,∵t∈[0,], ∴当t==时,·取得最小值,(·)min=-×+=.故选A. 解法二 令=λ(0≤λ≤1),由已知可得DC=, ∵=+λ, ∴=+=++λ, ∴·=(+λ)·(++λ) =·+||2+λ·+λ2||2 =3λ2-λ+. 当λ==时,·取得最小值.故选A. 答案:A 二、填空题 11.[2019·广东五校高三第一次考试]已知向量a=(1,),b=(3,m),且b在a上的投影为3,则向量a与b的夹角为________. 解析:因为a·b=3+m,|a|==2,|b|=,由|b|cos〈a,b〉=3可得|b|=3,故=3,解得m=,故|b|= eq r(9+3)=2,故cos〈a,b〉==,故〈a,b〉=,即向量a与b的夹角为. 答案: 12.已知e1,e2 是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=________. 解析:∵e1·e2=, ∴|e1||e2|cos〈e1,e2〉=,∴〈e1,e2〉=60°. 又∵b·e1=b·e2=1>0, ∴〈b,e1〉=〈b,e2〉=30°. 由b·e1=1,得|b||e1|cos30°=1, ∴|b|==. 答案: 13.已知平面向量a,b,c不共线,且两两所成的角相等,若|a|=|b|=2,|c|=1,则|a+b+c|=________. 解析:∵平面向量a,b,c不共线,且两两所成的角相等,∴它们两两所成的角为120°. ∵|a+b+c|2=(a+b+c)2=a+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|·cos120°+2|b||c|cos120°+2|a||c|cos120°=22+22+12+2×2×2×+2×2×1×+2×2×1×=1,∴|a+b+c|=1. 答案:1 14.[2018·上海卷]在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为________. 解析:本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n), 又A(-1,0),B(2,0), ∴=(1,m),=(-2,n). ∴·=-2+mn, 又知||=2,∴|m-n|=2. ①当m=n+2时,·=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3. ∴当n=-1,即E的坐标为(0,1),F的坐标为(0,-1)时,·取得最小值-3. ②当m=n-2时,·=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3. ∴当n=1,即E的坐标为(0,-1),F为坐标为(0,1)时,·取得最小值-3. 综上可知,·的最小值为-3. 答案:-3 15.[2018·浙江卷]已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( ) A.-1 B.+1 C.2 D.2- 解析:本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离. 设=a,=b,=e,以O为原点,的方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨设A点在第一象限,∵a与e的夹角为,∴点A在从原点出发,倾斜角为,且在第一象限内的射线上.设B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而=a-b,∴|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=x(x≥0)的距离减去圆的半径,所以|a-b|min=-1.选A. 一题多解 将b2-4e·b+3=0转化为b2-4e·b+3e2=0, 即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e). 设=e,=a,=b,=3e,=2e,则⊥, ∴点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图. ∵|a-b|=||,∴|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径. ∵||=2,∠AOM=, ∴|a-b|min=2sin-1=-1. 答案:A 16.定义平面向量的一种运算a⊙b=|a+b|×|a-b|×sin〈a,b〉,其中〈a,b〉是a与b的夹角,给出下列命题: ①若〈a,b〉=90°,则a⊙b=a2+b2; ②若|a|=|b|,则(a+b)⊙(a-b)=4a·b; ③若|a|=|b|,则a⊙b≤2|a|2; ④若a=(1,2),b=(-2,2),则(a+b)⊙b=. 其中真命题的序号是________. 解析:①中,因为〈a,b〉=90°,则a⊙b=|a+b|×|a-b|= a2+b2,所以①成立; ②中,因为|a|=|b|,所以〈(a+b),(a-b)〉=90°,所以(a+b)⊙(a-b)=|2a|×|2b|=4|a||b|,所以②不成立; ③中,因为|a|=|b|,所以a⊙b=|a+b|×|a-b|×sin〈a,b〉≤|a+b|×|a-b|≤=2|a|2,所以③成立; ④中,因为a=(1,2),b=(-2,2),所以a+b=(-1,4),sin〈(a+b),b〉=,所以(a+b)⊙b=3××=,所以④不成立. 答案:①③ 17.如图,设α∈(0,π),且α≠.当∠xOy=α时,定义平面坐标系xOy为α-仿射坐标系,在α-仿射坐标系中,任意一点P的斜坐标这样定义:e1,e2分别为x轴,y轴正方向上的单位向量,若=xe1+ye2,则记为=(x,y),那么在以下的结论中,正确的是________.(填序号) ①设a=(m,n),b=(s,t),若a=b,则m=s,n=t; ②设a=(m,n),则|a|=; ③设a=(m,n),b=(s,t),若a∥b,则mt-ns=0; ④设a=(m,n),b=(s,t),若a⊥b,则ms+nt=0; ⑤设a=(1,2),b=(2,1),若a与b的夹角为,则α=. 解析:显然①正确; |a|=|me1+ne2|=, 因为α≠,所以②错误; 由a∥b,得b=λa(λ∈R),所以s=λm,t=λn, 所以mt-ns=0,故③正确; 因为a·b=(me1+ne2)·(se1+te2)=ms+nt+(mt+ns)cosα≠ms+nt,所以④错误; 根据夹角公式a·b=|a||b|cos〈a,b〉, 又|a|=|b|=,a·b=4+5e1·e2, 所以4+5e1·e2=(5+4e1·e2)cos, 故e1·e2=-, 即cosα=-,所以α=,⑤正确. 答案:①③⑤查看更多