【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-1任意角和弧度制及任意角的三角函数作业
[基础达标]
1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C.设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝r2α＝r2×4，求得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )
A．在x轴的正半轴上 B．在x轴的负半轴上
C．在y轴的负半轴上 D．在y轴的正半轴上
解析：选A.由于角α与β的终边相同，
所以α＝k·360°＋β(k∈Z)，从而α－β＝k·360°(k∈Z)，此时角α－β的终边在x轴正半轴上．
3．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B.因为r＝，
所以cos α＝＝－，
所以m＞0，所以＝，因此m＝.
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C.当k＝2n时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和≤α≤的终边一样．当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样．故选C.
5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B.由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，
又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，
所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.故选B.
6. 已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，P沿直线l匀速向右，Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q运动到如图所示的位置时，点P也停止运动，连接OQ，OP，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是( )
A．S1≥S2
B．S1≤S2
C．S1＝S2
D．先S1
S2
解析：选C.因为圆O与直线l相切，所以OA⊥AP，
所以S扇形AOQ＝··r＝··OA，S△AOP＝OA·AP，因为＝AP，
所以S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，则S1＝S2.故选C.
7. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________．
解析：因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.
答案：－
8．已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．
解析：因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ<0，即所以θ为第二象限角．
答案：二
9．函数y＝的定义域为________．
解析：因为2cos x－1≥0，
所以cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．
所以x∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
答案：(k∈Z)
10．已知角α的终边上有一点的坐标为，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．
解析：因为角α的终边上有一点的坐标为，所以角α为第四象限角，且tan α＝－，即α＝－＋2kπ，k∈Z，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为.
答案：
11．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．
解：因为θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，所以tan θ＝－.
又tan θ＝－x，所以x2＝1，即x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝.
因此sin θ＋cos θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，
因此sin θ＋cos θ＝－.故sin θ＋cos θ的值为0或－.
12．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得解得或
所以α＝＝或α＝＝6.
(2)因为2r＋l＝8，
所以S扇＝lr＝l·2r
≤()2＝×()2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
[能力提升]
1．若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )
A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α
C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α
解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT＞OM＞MP，故有sin α＜cos α＜tan α.
2．已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1，0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x>0恒成立，则实数θ的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选A.由题意知，令f(x)＝(cos θ＋sin θ＋1)·x2＋(2sin θ＋1)x＋sin θ>0，因为cos θ＋sin θ＋1≠0，所以f(x)>0在[－1，0]上恒成立，只需满足
⇒⇒
θ∈，故选A.
3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．
解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，
所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.
答案：1∶2
4．已知x∈R，则使sin x>cos x成立的x的取值范围是________．
解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x∈(，)时，sin x>cos x，所以在(－∞，＋∞)上使sin x>cos x成立的x的取值范围是(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z.
答案：(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z
5．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．
6．设α为锐角，求证：1OP，
所以sin α＋cos α>1.①
而S△OPB＝OB·RP＝cos α，
S△OAP＝OA·QP＝sin α，
S扇形OAB＝×1×＝.
又因为四边形OAPB被扇形OAB覆盖，
所以S△OPB＋S△OAP
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