高中数学第一讲坐标系单元整合学案新人教A版选修4-41

高中数学第一讲坐标系单元整合学案新人教A版选修4-41

第一讲 坐标系 单元整合 知识网络 专题探究 专题一 平面直角坐标系中的伸缩变换 函数 y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω＞0，且ω≠1)的图象，可以看作把 f(x)图象上所有点的 横坐标缩短或伸长为原来的 1 ω 倍(纵坐标不变)而得到的．函数 y＝Af(x)(x∈R)(其中 A＞0， 且 A≠1)的图象，可以看作把 f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当 A＞1 时)或缩短(当 0＜A ＜1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的． 图形变换中的伸缩变换我们可记作变换公式 x′＝λx(λ＞0)， y′＝μy(μ＞0)， 在使用时，需分清 新旧坐标． 【应用】在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换： (1)曲线 x2－y2－2x＝0 变成曲线 x′2－16y′2－4x′＝0； (2)曲线 x2＋y2＝4 变成曲线x′2 4 ＋y′2 9 ＝1. 解：(1)设变换为 x′＝λx(λ＞0)， y′＝μy(μ＞0)， 则 x′2－16y′2－4x′＝0 可化为λ2x2－16μ2y2－4λx＝0， 即 x2－16μ2 λ2 y2－ 4 λ x＝0. ∵x2－y2－2x＝0， ∴ 4 λ ＝2， 16μ2 λ2 ＝1. ∴ λ＝2， μ＝1 2 . ∴所求变换为 x′＝2x， y′＝1 2 y. (2)设变换为 x′＝λx(λ＞0)， y′＝μy(μ＞0)， 则有 λ2 4 x2＋μ2 9 y2＝1. 又x2 4 ＋y2 4 ＝1，∴ λ2 4 ＝1 4 ， μ2 9 ＝1 4 . ∴ λ＝1， μ＝3 2 . ∴所求变换为 x′＝x， y′＝3 2 y. 专题二 极坐标的应用 在极坐标系中，有关点到直线的距离，圆与直线的位置关系的判断等问题，一般先将极 坐标(方程)转化为直角坐标(方程)．再求解． 【应用】求点 M 4，π 3 到直线ρcos θ－π 3 ＝2 上的点的距离的最小值． 提示：可以先化为直角坐标再求解． 解：点 M 的直角坐标为(2,2 3)， ∵ρcos θ－π 3 ＝2， ∴ρ cos θcosπ 3 ＋sin θsinπ 3 ＝2. ∴1 2 ρcos θ＋ 3 2 ρsin θ＝2. ∴1 2 x＋ 3 2 y＝2，即 x＋ 3y－4＝0. ∴d＝|2＋2 3× 3－4| 1＋3 ＝2， 即点 M 到直线ρcos θ－π 3 ＝2 上的点的距离的最小值为 2. 专题三 求轨迹的极坐标方程 求轨迹方程的方法——直接法、定义法、相关点代入法等，在极坐标中仍然适用，注意 求谁设谁，找出所设点的坐标，ρ，θ所满足的关系式，再化简求解． 【应用 1】从原点 O 引直线交直线 2x＋4y－1＝0 于点 M，P 为 OM 上一点，已知|OP||OM| ＝1.求点 P 的轨迹的极坐标方程． 提示：本题中，由于 P，M，O 三点共线，因此∠POx＝∠MOx，可建立极坐标系，求其轨 迹方程． 解：以 O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为 2ρcos θ＋4ρsin θ －1＝0.设 M(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)， 则 2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.① 由 θ＝θ0， ρ0·ρ＝1， 知 θ0＝θ， ρ0＝ 1 ρ . 代入①得，2 1 ρ cos θ＋4 1 ρ sin θ－1＝0， ∴ρ＝2cos θ＋4sin θ. 点评 (1)当所求的动点的轨迹与已知点及原点共线时，可用建立极坐标系的方法求其 轨迹方程，因为此时动点与已知点有相同的极角． (2)本题中求轨迹的方法称为代入法． 【应用 2】已知定点 A(a,0)，动点 P 对极点 O 和点 A 的张角∠OPA＝π 3 .在 OP 的延长线 上取点 Q，使|PQ|＝|PA|.当点 P 在极轴上方运动时，求点 Q 的轨迹的极坐标方程． 解：设点 Q，P 的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)， 则θ＝θ1. 在△POA 中，|OP|＝ρ1＝ a sinπ 3 ·sin 2π 3 －θ ，|PA|＝ asin θ sinπ 3 . 又|OQ|＝|OP|＋|PQ|＝|OP|＋|PA|，化简可得 ρ＝2acos π 3 －θ . 故点 Q 的轨迹的极坐标方程为ρ＝2acos π 3 －θ . 点评 求曲线的极坐标方程，一般方法是构造三角形，利用直角三角形的边角关系或余 弦定理列出关系式．