高中数学（人教版a版必修一）配套单元检测：第三章函数的应用章末检测bword版含解析
章末检测(B)
(时间：120 分钟 满分：150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．设方程|x2－3|＝a 的解的个数为 m，则 m 不可能等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时，能卖出 400 个，已知该商
品每个涨价 1 元，其销售量就减少 20 个，为了赚得最大利润，售价应定为( )
A．每个 110 元 B．每个 105 元
C．每个 100 元 D．每个 95 元
3．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数
据满足的规律，其中最接近的一个是( )
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
A.y＝log2t B．y＝ 1
2
log t
C．y＝t2－1
2 D．y＝2t－2
4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过 200 元，则不给予优惠；
(2)如果超过 200 元但不超过 500 元，则按标价给予 9 折优惠；
(3)如果超过 500 元，其 500 元内的按第(2)条给予优惠，超过 500 元的部分给
予 7 折优惠．
某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元，假设他去一次购买上述同样的
商品，则应付款是( )
A．413.7 元 B．513.7 元
C．548.7 元 D．546.6 元
5．方程 x2＋ax－2＝0 在区间[1,5]上有解，则实数 a 的取值范围为( )
A．(－23
5
，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[－23
5
，1] D．(－∞，－23
5 ]
6．设 f(x)是区间[a，b]上的单调函数，且 f(a)f(b)<0，则方程 f(x)＝0 在区间[a，
b]( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
7．方程 x2－(2－a)x＋5－a＝0 的两根都大于 2，则实数 a 的取值范围是( )
A．a<－2 B．－5
4 或 a<－4
8．四人赛跑，其跑过的路程 f(x)和时间 x 的关系分别是：f1(x)＝
1
2x ，f2(x)＝1
4x，
f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人
所具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝
1
2x B．f2(x)＝1
4x
C．f3(x)＝log2(x＋1) D．f4(x)＝log8(x＋1)
9．函数 f(x)＝lnx－2
x
的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(e,3) D．(e，＋∞)
10．已知 f(x)＝(x－a)(x－b)－2 的两个零点分别为α，β，则( )
A．a<α0 时是单调函数，则满足 f(2x)＝f(x＋1
x＋4
)
的所有 x 之和为( )
A．－9
2 B．－7
2
C．－8 D．8
12．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录
后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：
①前 5 分钟温度增加的速度越来越快；
②前 5 分钟温度增加的速度越来越慢；
③5 分钟以后温度保持匀速增加；
④5 分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是( )
A．①④ B．②④
C．②③ D．①③
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知函数 f(x)＝ log2x x>0
3xx≤0
，且关于 x 的方程 f(x)＋x－a＝0 有且
只有一个实根，则实数 a 的取值范围是______________．
14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为 3m，长与宽的和为 20m，
则仓库容积的最大值为________．
15．已知函数 f(x)＝ 2x－1， x>0，
－x2－2x，x≤0.
若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，
则实数 m 的取值范围为________．
16．若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．(10 分)讨论方程 4x3＋x－15＝0 在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．
18．(12 分)(1)已知 f(x)＝ 2
3x－1
＋m 是奇函数，求常数 m 的值；
(2)画出函数 y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x－1|＝k
无解？有一解？有两解？
19．(12 分)某出版公司为一本畅销书定价如下：
C(n)＝
12n，1≤n≤24，n∈N*，
11n，25≤n≤48，n∈N*，
10n，n≥49，n∈N*，
这里 n 表示定购书的数量，C(n)是定购
n 本书所付的钱数(单位：元)．
若一本书的成本价是 5 元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买 1 本，两人
共买 60 本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？
20．(12 分)是否存在这样的实数 a，使函数 f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1 在区间[－
1,3]上与 x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请
说明理由．
21．(12 分)已知 a 是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数 y＝f(x)在区
间[－1,1]上有零点，求实数 a 的取值范围．
22．(12 分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达
到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，
且有如下三条规定：
①若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时，只付基本费 9 元和每户每月定
额损耗费 a 元；
②若每月用水量超过 m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分
每立方米付 n 元的超额费；
③每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元．
(1)求每户每月水费 y(元)与月用水量 x(立方米)的函数关系式；
(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
月份 用水量(立方米) 水费(元)
一 4 17
二 5 23
三 2.5 11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求 m，n，
a 的值．
章末检测(B)
1．A [在同一坐标系中分别画出函数 y1＝|x2－3|和 y2＝a 的图象，如图所示．
可知方程解的个数为 0,2,3 或 4，不可能有 1 个解．]
2．D [设售价为 x 元，则利润
y＝[400－20(x－90)](x－80)＝20(110－x)(x－80)
＝－20(x2－190x＋8800)
＝－20(x－95)2＋4500.
∴当 x＝95 时，y 最大为 4500 元．]
3．C [当 t＝4 时，y＝log24＝2，y＝ 1
2
log 4 ＝－2，y＝42－1
2
＝7.5，y＝2×4
－2＝6.
所以 y＝t2－1
2
适合，
当 t＝1.99 代入 A、B、C、D4 个选项，y＝t2－1
2
的值与表中的 1.5 接近，故选
C.]
4．D [购物超过 200 元，至少付款 200×0.9＝180(元)，超过 500 元，至少付
款 500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过 200 元，第二次购物不超过 500
元，则此人两次购物总金额是 168＋423
0.9
＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付
500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．]
5．C [令 f(x)＝x2＋ax－2，则 f(0)＝－2<0，
∴要使 f(x)在[1,5]上与 x 轴有交点，则需要
f1≤0
f5≥0
，即 a－1≤0
23＋5a≥0
，解得－23
5
≤a≤1.]
6．D [∵f(a)·f(b)<0，∴f(x)在区间[a，b]上存在零点，
又∵f(x)在[a，b]上是单调函数，∴f(x)在区间[a，b]上的零点唯一，即 f(x)＝0
在[a，b]上必有唯一实根．]
7．C [由题意知
Δ≥0
2－a
2 >2
f2>0
，解得－51－2
3
＝1
3>0.故零点所在区间为(2,3)．]
10．B [设 g(x)＝(x－a)(x－b)，则 f(x)是由 g(x)的图象向下平移 2 个单位得到
的，而 g(x)的两个零点为 a，b，f(x)的两个零点为α，β，结合图象可得α0 时 f(x)单调且为偶函数，
∴|2x|＝|x＋1
x＋4
|，即 2x(x＋4)＝±(x＋1)．
∴2x2＋9x＋1＝0 或 2x2＋7x－1＝0.
∴共有四根．
∵x1＋x2＝－9
2
，x3＋x4＝－7
2
，
∴所有 x 之和为－9
2
＋(－7
2)＝－8.]
12．B [因为温度 y 关于时间 t 的图象是先凸后平行直线，即 5 分钟前每当 t
增加一个单位增量Δt，则 y 随相应的增量Δy 越来越小，而 5 分钟后 y 关于 t 的增
量保持为 0.故选 B.]
13．(1，＋∞)
解析 由 f(x)＋x－a＝0，
得 f(x)＝a－x，
令 y＝f(x)，y＝a－x，如图，
当 a>1 时，y＝f(x)与 y＝a－x 有且只有一个交点，
∴a>1.
14．300m3
解析 设长为 xm，则宽为(20－x)m，仓库的容积为 V，
则 V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x,00，
－x2－2x，x≤0
的图象如图所示，
该函数的图象与直线 y＝m 有三个交点时 m∈(0,1)，此时函数 g(x)＝f(x)－m 有
3 个零点．
16．[－1,1]
解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范
围．曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1 与
直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件为 b∈[－1,1]．
17．解 令 f(x)＝4x3＋x－15，
∵y＝4x3 和 y＝x 在[1,2]上都为增函数．
∴f(x)＝4x3＋x－15 在[1,2]上为增函数，
∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0，
∴f(x)＝4x3＋x－15 在[1,2]上存在一个零点，
∴方程 4x3＋x－15＝0 在[1,2]内有一个实数解．
18．解 (1)∵f(x)＝ 2
3x－1
＋m 是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴ 2
3－x－1
＋m＝－ 2
3x－1
－m.
∴ 2·3x
1－3x
＋m＝ 2
1－3x
－m，
∴23x－1
1－3x
＋2m＝0.
∴－2＋2m＝0，∴m＝1.
(2)作出直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象，如图．
①当 k<0 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；
②当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以
方程有一解；
③当 00
－1<－ 1
2a<1
f－1f1≥0
，即
8a2＋24a＋4>0
－1<－ 1
2a<1
a－5a－1≥0
.
解得 a≥5 或 a<－3－ 7
2 .
综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数 a 的取值范围为(－∞，
－3－ 7
2 ]∪[1，＋∞)．
22．解 (1)依题意，得 y＝ 9＋a，0m.②
其中 0
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