2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

‎4.6　函数的应用(二)‎ ‎4.7　数学建模活动：生长规律的描述(略)‎ 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.会利用已知函数模型解决实际问题．‎ ‎2．能建立函数模型解决实际问题．‎ ‎　通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 指数函数型模型 ‎ (1)表达形式：f(x)＝abx＋C．‎ ‎(2)条件：a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1．‎ 知识点 对数函数型模型 ‎ (1)表达形式：f(x)＝mlogax＋n．‎ ‎(2)条件：m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1．‎ 知识点 幂函数型模型 ‎ (1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)‎ ‎(2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．‎ 思考：指数型、对数型函数模型都是递增的吗？‎ 提示：不一定，也可能是递减的，根据底数的大小判断．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 指数函数模型 ‎┃┃典例剖析__■‎ - 6 -‎ ‎　典例1　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：‎ ‎(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；‎ ‎(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；‎ ‎(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(取1.01210＝1.127，log1.0121.20＝15)．‎ ‎[分析]　具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数，利用归纳的方法，确定函数关系．‎ ‎[解析]　(1)1年后该城市人口总数为：‎ y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；‎ ‎2年后该城市人口总数为：‎ y＝100×(1＋1.2%)＋100×1.2%(1＋1.2%)‎ ‎＝100(1＋1.2%)2；‎ ‎3年后该城市人口总数为：‎ y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2%‎ ‎＝100(1＋1.2%)3；‎ x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x．‎ ‎(2)10年后该城市人口数为：100×(1＋1.2%)10‎ ‎＝112.7(万)．‎ ‎(3)设x年后该城市人口将达到120万，即 ‎100×(1＋1.2%)x＝120，‎ ‎∴1.012x＝1.20.∴x＝log1.0121.20＝15(年)．‎ 答：人口总数y与年份x间的函数关系是 y＝100×(1＋1.2%)x，‎ ‎10年后的城市人口总数约为112.7万，大约15年后该城市人口将达到120万人．‎ 规律方法：有关增长(衰减)率问题 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示．解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．当增长率为负数即为降低率，此公式仍然适用，这里P＜0(或y＝N(1－P)x，P＞0)．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ - 6 -‎ ‎1．某公司预投资100万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)‎ ‎[解析]　本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．‎ 本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是 ‎100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．‎ 由此可见，方案二更有利，5年后多得利息约3.86万元．‎ 题型 对数函数模型 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s．‎ ‎(1)求出a、b的值；‎ ‎(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？‎ ‎[分析]　(1)根据已知列出方程组，解方程组求a、b的值；(2)由(1)列出不等式，解不等式求Q的最小值．‎ ‎[解析]　(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0　①；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1　②．‎ 解方程组，得．‎ ‎(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，‎ 即log3≥3，解得≥27，即Q≥270．‎ 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．‎ 规律方法：对数函数y＝logax(x＞0，a＞1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢．‎ 直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算．‎ - 6 -‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　C　)‎ ‎(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)‎ A．2018年　　　　　 B．2019年 C．2020年 D．2021年 ‎[解析]　设经过n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意，得130(1＋12%)n＞200，‎ ‎∴1.12n＞＝，‎ 两边取对数，得n＞log1.12＝＝ ‎＝＝3.8，∵n∈N＋，∴n的最小值为4．‎ 故2020年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．‎ 题型 函数模型的选择问题 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t, 120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)．现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？‎ ‎[解析]　根据题意可列方程组 解得 所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.　①‎ 同理y＝g(x)＝－180×0.5x＋140.　②‎ 再将x＝4分别代入①式与②式得 f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．‎ 与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．‎ - 6 -‎ 规律方法：建立拟合函数与预测的基本步骤 ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．某企业常年生产一种出口产品，近年来，该产品的产量平稳增长．记2019年为第1年，且前4年中，第x年与年产量 f(x)(万件)之间的关系如下表所示： ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f(x)‎ ‎4.00‎ ‎5.58‎ ‎7.00‎ ‎8.44‎ 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋A．‎ 找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2019年和2021年的数据求出相应的解析式．‎ ‎[解析]　最适合的函数模型是f(x)＝ax＋b，理由如下．‎ 若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，‎ 得a＝2，即f(x)＝2x＋2，‎ 此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．‎ 若模型为f(x)＝logx＋a，‎ 则f(x)是减函数，与已知不符合．‎ 故最适合的函数模型是f(x)＝ax＋B．‎ 由已知得 解得 所以f(x)＝x＋，x∈N．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　某工厂在两年内生产产值的月增长率都是a - 6 -‎ ‎，则第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的__(1＋a)12－1__．‎ ‎[错解]　b(1＋a)11‎ ‎[辨析]　若某月的生产产值为b，月增长率为a，则x个月后的生产产值为b(1＋a)x，在解题过程中，易错认为是b(1＋a)x－1，从而导致错误．‎ ‎[正解]　不妨设第一年1月份的生产产值为b，则2月份的生产产值是b(1＋a)，3月份的生产产值是b(1＋a)2，依此类推，到第二年1月份就是第一年1月份后的第12个月，故第二年1月份的生产产值是b(1＋a)12．‎ 故第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的＝(1＋a)12－1．‎ - 6 -‎