高三数学培优补差辅导专题讲座-平面向量单元易错题分析与练习

高三数学培优补差辅导专题讲座-平面向量单元易错题分析与练习

平面向量易错题解析 赵玉苗整理 1、你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用 2 2||   aa ； 22|| yxa  ） 3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算） 4、你弄清“ 02121   yyxxba ”与“ 0// 1221   yxyxba ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1） 在实数中：若 0a ，且 ab=0,则 b=0,但在向量的数量积中，若   0a ，且 0  ba ，不能推 出   0b . （2） 已知实数 )(,,, obcba  ，且 bcab  ，则 a=c,但在向量的数量积中没有   cacbba . （3） 在实数中有 )()( cbacba  ，但是在向量的数量积中 )()(   cbacba ，这是因为 左边是与  c 共线的向量，而右边是与  a 共线的向量. 5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？ 6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注 意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知 A（1,2），B（4,2），则把向量 AB  按向 量 a  ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB  共线的单位向量是 | | AB AB    )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作： a ∥b ， 规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平 行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合；③平行向量无传递性！（因为有 0  )；④三点 A B C、 、 共线  AB AC  、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是－ a 。 如下列命题：（1）若 a b  ，则 a b  。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3）若 AB DC  ，则 ABCD 是平行四边形。（4）若 ABCD 是平行四边形，则 AB DC  。（5）若 ,a b b c     ， 则 a c  。（6）若 // , //a b b c     ，则 //a c   。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在 后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ，b ， c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立 直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为  ,a xi y j x y     ，称  ,x y 为向量 a 的坐标， a ＝  ,x y 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a， 有且只有一对实数 1 、 2 ，使 a= 1 e1＋ 2 e2。如（1）若 (1,1),a b   (1, 1), ( 1,2)c   ，则 c  ______（答：1 3 2 2a b  ）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 1 2(0,0), (1, 2)e e    B. 1 2( 1,2), (5,7)e e    C. 1 2(3,5), (6,10)e e   D. 1 2 1 3(2, 3), ( , )2 4e e     （答：B）；（3）已知 ,AD BE   分别是 ABC 的边 ,BC AC 上的中线,且 ,AD a BE b     ,则 BC  可用向量 ,a b   表 示为_____（答：2 4 3 3a b  ）；（4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且   DBCD 2 ，   ACsABrCD ， 则 sr  的值是___（答：0） 4、实数与向量的积：实数  与向量 a 的积是一个向量，记作  a ，它的长度和方向规定如下：    1 , 2a a   当  >0 时， a 的方向与 a 的方向相同，当  <0 时， a 的方向与 a 的方向相反，当  ＝0 时， 0a   ，注意：  a ≠0。 5、平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量 a ，b ，作 ,OA a OB b     ， AOB    0    称为向量 a ，b 的夹角，当 ＝0 时， a ，b 同向，当 ＝ 时， a ，b 反向，当 ＝ 2  时， a ，b 垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 a ，b ，它们的夹角为 ，我们把数量| || | cosa b   叫做 a 与b 的数量积（或内积或点积），记作： a  b ，即 a  b ＝ cosa b   。规定：零向量与任一向量的数 量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如 （1）△ABC 中， 3||   AB ， 4||   AC ， 5||   BC ，则 BCAB _________（答：－9）； （2）已知 1 1(1, ), (0, ), ,2 2a b c a kb d a b              ， c  与 d  的夹角为 4  ，则 k 等于____（答：1）； （3）已知 2, 5, 3a b a b        ，则 a b  等于____（答： 23 ）；（4）已知 ,a b   是两个非零向量，且 a b a b      ，则 与a a b   的夹角为____（答： 30 ） （3） b 在 a 上的投影为| | cosb  ，它是一个实数，但不一定大于 0。如已知 3||   a ， 5||   b ，且 12  ba ，则向量  a 在向量  b 上的投影为______（答： 5 12 ） （4） a  b 的几何意义：数量积 a  b 等于 a 的模| |a  与b 在 a 上的投影的积。 （5）向量数量积的性质：设两个非零向量 a ，b ，其夹角为 ，则： ① 0a b a b       ； ②当 a ，b 同向时，a  b ＝ a b   ，特别地， 22 2 ,a a a a a a         ；当 a 与b 反向时，a  b ＝ － a b   ；当 为锐角时， a  b ＞0，且 a b  、 不同向， 0a b   是 为锐角的必要非充分条件；当 为钝 角时， a  b ＜0，且 a b  、 不反向， 0a b   是 为钝角的必要非充分条件； ③非零向量 a ，b 夹角 的计算公式： cos a b a b       ；④| | | || |a b a b     。如（1）已知 )2,(   a ， )2,3(   b ，如果  a 与  b 的夹角为锐角，则  的取值范围是______（答： 4 3    或 0  且 1 3   ）；（2） 已知 OFQ 的面积为 S ，且 1  FQOF ，若 2 3 2 1  S ，则  FQOF, 夹角 的取值范围是_________ （ 答 ： ( , )4 3   ）；（ 3 ） 已 知 (cos ,sin ), (cos ,sin ),a x x b y y   a  与 b  之 间 有 关 系 式 3 , 0ka b a kb k       其中 ，①用 k 表示 a b  ；②求 a b  的最小值，并求此时 a  与 b  的夹角 的大小（答： ① 2 1( 0)4 ka b kk     ；②最小值为 1 2 ， 60   ） 6、向量的运算： （1）几何运算： ①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之 外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ,AB a BC b     ，那么向量 AC  叫做 a  与 b  的和，即 a b AB BC AC        ； ②向量的减法：用“三角形法则”：设 , ,AB a AC b a b AB AC CA             那么 ，由减向量的终 点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：① AB BC CD     ___； ② AB AD DC     ____；③ ( ) ( )AB CD AC BD       _____（答：① AD  ；② CB  ；③ 0 ）；（2）若正方 形 ABCD 的边长为 1， , ,AB a BC b AC c        ，则| |a b c    ＝_____（答：2 2 ）；（3）若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 2OB OC OB OC OA        ，则 ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4） 若 D 为 ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点 P ，满足 0PA BP CP      ，设 | | | | AP PD    ， 则  的值为___（答：2）；（5）若点O 是 ABC△ 的外心，且 0OA OB CO      ，则 ABC△ 的内角 C 为____ （答：120 ）； （2）坐标运算：设 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y   ，则： ①向量的加减法运算： 1 2(a b x x    ， 1 2 )y y 。如（1）已知点 (2,3), (5,4)A B ， (7,10)C ，若 ( )AP AB AC R      ，则当  ＝____时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（答： 1 2 ）；（2）已知 1(2,3), (1,4), (sin ,cos )2A B AB x y且 ， , ( , )2 2x y    ，则 x y  （答： 6  或 2  ）；（3）已知作 用在点 (1,1)A 的三个力 1 2 3(3,4), (2, 5), (3,1)F F F      ，则合力 1 2 3F F F F      的终点坐标是 （答：（9,1）） ②实数与向量的积：    1 1 1 1, ,a x y x y     。 ③若 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则  2 1 2 1,AB x x y y   ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点坐标。如设 (2,3), ( 1,5)A B  ，且 1 3AC AB  ， 3AD AB  ，则 C、D 的坐标分别是 __________（答： 11(1, ),( 7,9)3  ）； ④平面向量数量积： 1 2 1 2a b x x y y    。如已知向量 a ＝（sinx，cosx）, b ＝（sinx，sinx）, c ＝（－ 1，0）。（1）若 x＝ 3  ，求向量 a 、 c 的夹角；（2）若 x∈ ]4,8 3[  ，函数 baxf  )( 的最大值为 2 1 ， 求  的值（答： 1(1)150 ;(2) 2  或 2 1  ）； ⑤向量的模： 22 2 2 2 2| | , | |a x y a a x y       。如已知 ,a b   均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那 么| 3 |a b  ＝_____（答： 13 ）； ⑥两点间的距离：若    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则    2 2 2 1 2 1| |AB x x y y    。如如图，在平面斜坐 标系 xOy 中， 60xOy   ，平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐 标是这样定义 的：若 1 2OP xe ye    ，其中 1 2,e e   分别为与 x 轴、y 轴同方向的单 位向量，则 P 点斜坐标为 ( , )x y 。（1）若点 P 的斜坐标为（2，－2），求 P 到 O 的 距离｜PO｜； （2）求以 O 为圆心，1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程。（答： （1）2；（2） 2 2 1 0x y xy    ）； 7、向量的运算律：（1）交换律： a b b a      ，    a a    ， a b b a      ；(2)结合律：    ,a b c a b c a b c a b c                     ，      a b a b a b            ；（ 3 ） 分 配 律 ：    ,a a a a b a b                  ，  a b c a c b c            。 如 下 列 命 题 中 ： ①   cabacba )( ；②   cbacba )()( ；③ 2( )a b    2| |a   22 | | | | | |a b b       ；④ 若 0  ba ，则 0  a 或 0  b ；⑤若 ,a b c b      则 a c  ；⑥ 2 2 a a  ；⑦ 2 a b b aa       ； ⑧ 2 22( )a b a b      ；⑨ 2 22( ) 2a b a a b b          。其中正确的是______（答：①⑥⑨） 提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、 两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约 去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 cbacba )()(  ， 为什么？ 8、向量平行(共线)的充要条件： //a b a b     2 2( ) (| || |)a b a b      1 2 1 2x y y x  ＝0。如(1)若向 量 ( ,1), (4, )a x b x   ，当 x ＝_____时 a  与 b  共线且方向相同（答：2）；（2）已知 (1,1), (4, )a b x   ， 2u a b    ， 2v a b    ，且 //u v   ，则 x＝______（答：4）；（3）设 ( ,12), (4,5), (10, )PA k PB PC k     ，则 k＝_____时，A,B,C 共线（答：－2 或 11） 9 、 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ： 0 | | | |a b a b a b a b               1 2 1 2 0x x y y   . 特 别 地 ( ) ( )AB AC AB AC AB AC AB AC            。如(1)已知 ( 1,2), (3, )OA OB m    ，若 OA OB  ，则 m  （答： 3 2 ）；（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， 90B   ，则点 B 的坐标是________（答： (1,3)或（3，－1））；（3）已知 ( , ),n a b 向量 n m  ，且 n m  ，则 m  的坐标是________（答：( , ) ( , )b a b a 或 ） 10.线段的定比分点： （1）定比分点的概念：设点 P 是直线 P 1 P 2 上异于 P 1 、P 2 的任意一点，若存在一个实数  ，使 1 2PP PP  ，则  叫做点 P 分有向线段 1 2PP  所成的比，P 点叫做有向线段 1 2PP  的以定比为  的定比分点； （2） 的符号与分点 P 的位置之间的关系：当 P 点在线段 P 1 P 2 上时   >0；当 P 点在线段 P 1 P 2 的延长线上时   <－1；当 P 点在线段 P 2 P 1 的延长线上时 1 0    ；若点 P 分有向线段 1 2PP  所成 的比为  ，则点 P 分有向线段 2 1P P  所成的比为 1  。如若点 P 分 AB  所成的比为 3 4 ，则 A 分 BP  所成的比为 _______（答： 7 3  ） （3）线段的定比分点公式：设 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ， ( , )P x y 分有向线段 1 2PP  所成的比为  ，则 1 2 1 2 1 1 x xx y yy           ，特别地，当  ＝1 时，就得到线段 P 1 P 2 的中点公式 1 2 1 2 2 2 x xx y yy     。在使用定比分点的坐 标公式时，应明确 ( , )x y ， 1 1( , )x y 、 2 2( , )x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时 应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比  。如（1）若 M（-3，-2）， N（6，-1），且 1MP MN3     ，则点 P 的坐标为_______（答： 7( 6, )3   ）；（2）已知 ( ,0), (3,2 )A a B a ， 直线 1 2y ax 与线段 AB 交于 M ，且 2AM MB  ，则 a 等于_______（答：２或－４） 11.平移公式：如果点 ( , )P x y 按向量  ,a h k 平移至 ( , )P x y  ，则 x x h y y k        ；曲线 ( , ) 0f x y  按 向量  ,a h k 平移得曲线 ( , ) 0f x h y k   .注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ （2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量 a  把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ，则按向量 a  把点 ( 7,2) 平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数 xy 2sin 的图象按向量  a 平移后，所得函数的解析式是 12cos  xy ，则  a ＝________（答： )1,4(  ） 12、向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2）|| | | || | | | | | |a b a b a b          ，特别地，当 a b  、 同向或有 0   | | | | | |a b a b       || | | || | |a b a b      ； 当 a b  、 反 向 或 有 0   | | | | | |a b a b       || | | || | |a b a b      ； 当 a b  、 不 共 线  || | | || | | | | | |a b a b a b          (这些和实数比较类似). （ 3 ） 在 ABC 中 ， ① 若      1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y ， 则 其 重 心 的 坐 标 为 1 2 3 1 2 3,3 3 x x x y y yG         。如若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1）， 则⊿ABC 的重心的坐标为_______（答： 2 4( , )3 3  ）； ② 1 ( )3PG PA PB PC       G 为 ABC 的重心，特别地 0PA PB PC P       为 ABC 的重 心； ③ PA PB PB PC PC PA P           为 ABC 的垂心； ④向量 ( )( 0) | | | | ACAB AB AC       所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所在直线)； ⑤| | | | | | 0AB PC BC PA CA PB P          ABC 的内心； （3）若 P 分有向线段 1 2PP  所成的比为  ，点 M 为平面内的任一点，则 1 2 1 MP MPMP       ，特别地 P 为 1 2PP 的中点 1 2 2 MP MPMP     ； （ 4 ） 向量 PA PB PC   、 、 中 三终 点 A B C、 、 共 线  存 在实 数  、 使 得 PA PB PC     且 1   . 如 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 已 知 两 点 )1,3(A , )3,1(B , 若 点 C 满 足   OC   OBOA 21  ,其中 R21, 且 121   ,则点 C 的轨迹是_______（答：直线 AB） 例题 1 已知向量           2sin,2cos,2 3sin,2 3cos xxbxxa  ,且 ,2,0     x 求 (1) ba   及 ba   ; (2)若   babaxf   2 的最小值是 2 3 ,求实数  的值. 错误分析:(1)求出 ba   = x2cos22  后,而不知进一步化为 xcos2 ,人为增加难度; (2)化为关于 xcos 的二次函数在 1,0 的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (1)易求 xba 2cos  , ba   = xcos2 ; (2)   babaxf   2 = xx cos222cos   = 1cos4cos2 2  xx  =   12cos2 22  x     2,0 x  1,0cos  x 从而:当 0 时,   1min xf 与题意矛盾, 0 不合题意; 当 10   时,   2 1,2 312 2 min  xf ; 当 1 时,   ,2 341min  xf 解得 8 5 ,不满足 1 ;综合可得: 实数  的值为 2 1 . 例题 2 在 ABC 中,已知    kACAB ,1,3,2  ,且 ABC 的一个内角为直角,求实数 k 的值. 错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若 ,90BAC 即 ,ACAB  故 0 ACAB ,从而 ,032  k 解得 3 2k ; (2)若 ,90BCA 即 ACBC  ,也就是 0 ACBC ,而  ,3,1  kABACBC 故   031  kk ,解得 2 133 k ; (3)若 ,90ABC 即 ABBC  ,也就是 ,0 ABBC 而  3,1  kBC ,故   0332  k ,解得 .3 11k 综合上面讨论可知, 3 2k 或 2 133 k 或 .3 11k 例题 4 已知向量 m=(1,1)，向量 n  与向量 m  夹角为  4 3 ，且 m  · n  =-1， (1)求向量 n  ； (2)若向量 n  与向量 q  =(1,0)的夹角为 2  ，向量 p  =(cosA,2cos2 2 c )，其中 A、C 为ABC 的内角，且 A、B、 C 依次成等差数列，试求 n  + p  的取值范围。 解：(1)设 n  =(x,y) 则由< m  , n  >=  4 3 得：cos< m  , n  >= nm nm     = 2 2 2 22    yx yx ① 由 m  ·n  =-1 得 x+y=-1 ② 联立①②两式得      1 0 y x 或      0 1 y x ∴ n  =(0,-1)或(-1,0) (2) ∵< n  , q  >= 2  得 n  · q  =0 若 n  =(1,0)则 n  · q  =-10 故 n  (-1,0) ∴ n  =(0,-1) ∵2B=A+C，A+B+C= B= 3  ∴C= A 3 2 n  + p  =(cosA,2cos2 12 c ) =(cosA,cosC) ∴ n  + p  = CA 22 coscos  = 2 2cos1 2 2cos1 CA  = 12 2cos2cos  CA = 12 )23 4cos(2cos   AA  = 12 2sin2 3 2 2cos2cos   AAA = 12 2sin2 32cos2 1   AA = 12 )32cos(   A ∵00 ∴当 m>0 时，2mcos2>0，即 f( ba   )>f( dc   ) 当 m<0 时，2mcos2<0，即 f( ba   )为锐角，求实数 x 的取值范围. 解：要满足< ba , >为锐角 只须 ba  >0 且 ba  （ R ） ba  = xmx mx 1 2 = 1 22   mx xmxmx = 01 mx x 即 x (mx-1) >0 1°当 m > 0 时 x<0 或 mx 1 2°m<0 时，x ( -mx+1) <0 ， 01  xmx 或 3°m=0 时 只要 x<0 综上所述：x > 0 时， ),1()0,(  mx  x = 0 时， )0,(x x < 0 时， ),0()1,(  mx 例题 8 已知 a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a 与 b 之间有关系|ka+b|= 3 |a－kb|，其中 k>0， （1）用 k 表示 a·b;（2）求 a·b 的最小值，并求此时 a·b 的夹角的大小。 解 （1）要求用 k 表示 a·b,而已知|ka+b|= 3 |a－kb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=( 3 |a－kb|)2 k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b) ∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2 a·b = k kk 8 )13()3( 2222 ba  ∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，∴a2=1, b2=1, ∴a·b = k kk 8 133 22  = k k 4 12  （2）∵k2+1≥2k，即 k k 4 12  ≥ k k 4 2 = 2 1 ，∴a·b 的最小值为 2 1 ， 又∵a·b =| a|·|b |·cos ，|a|=|b|=1 ∴ 2 1 =1×1×cos 。∴ =60°,此时 a 与 b 的夹角为 60°。 错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有 |a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b 或|a|2+|b|2+2a·b。 例题 9 已知向量 (cos ,sin )a   ， (cos ,sin )b   ， 2 5 5a b   ． （Ⅰ）求 cos( )  的值；（Ⅱ）若 0 2   ， 02     ，且 5sin 13    ，求sin 的值． 解（Ⅰ）    cos sin cos sina b       ， ， ， ,  cos cos sin sina b          ， . 2 5 5a b    ,    2 2 2 5cos cos sin sin 5         , 即   42 2cos 5     .   3cos 5     . （Ⅱ） 0 , 0, 0 .2 2                 3cos 5    ，   4sin .5     5sin 13    ， 12cos .13        sin sin sin cos cos sin                   4 12 3 5 33 5 13 5 13 65          . 例题 10 已知 O 为坐标原点，点 E、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点 A、M、N 满足| | | |AE m EF  （ 1m  ）， 0MN AF   ， 1 ( )2ON OA OF    ， //AM ME   ． （Ⅰ）求点 M 的轨迹 W 的方程； （Ⅱ）点 0( , )2 mP y 在轨迹 W 上，直线 PF 交轨迹 W 于点 Q，且 PF FQ  ，若1 2≤ ≤ ，求实数 m 的范围． 解：（Ⅰ）∵ 0MN AF   ， 1 ( )2ON OA OF    ， ∴ MN 垂直平分 AF． 又 //AM ME   ，∴ 点 M 在 AE 上， ∴ | | | | | | | | 2AM ME AE m EF m       ，| | | |MA MF  ， ∴ | | | | 2 | |ME MF m EF     ， ∴ 点 M 的轨迹 W 是以 E、F 为焦点的椭圆，且半长轴 a m ，半焦距 1c  ， ∴ 2 2 2 2 1b a c m    ． ∴ 点 M 的轨迹 W 的方程为 2 2 2 2 11 x y m m   （ 1m  ）． （Ⅱ）设 1 1( , )Q x y ∵ 0( , )2 mP y ， PF FQ  ， ∴ 1 0 1 1 ( 1),2 . m x y y         ∴ 1 1 0 1 ( 1 ),2 1 . mx y y          由点 P、Q 均在椭圆 W 上， ∴ 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 1 1,4 1 1 ( 1 ) 1.2 ( 1) y m ym m m             消去 0y 并整理，得 2 2 1 1 m m m     ， 由 2 2 11 21 m m m    ≤ ≤ 及 1m  ，解得1 2m ≤ ． 基础练习题 1、设平面向量 a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A、 ),2()2,2 1(  B、 ),2(  C、 ),2 1(  D、 )2 1,(  答案：A 点评：易误选 C，错因：忽视 a 与b 反向的情况。 2、O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ),0[), |||| (   AC AC AB ABOAOP ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 正确答案：B。 错误原因：对 ),0[), |||| (   AC AC AB ABOAOP 理解不够。不清楚 || AB AB || AC AC 与∠BAC 的角平分线有关。 3、若向量 a =(cos,sin) ， b =  sin,cos ， a 与b 不共线，则 a 与b 一定满足（ ） A． a 与b 的夹角等于- B． a ∥b C．( a +b )( a -b ) D． a ⊥b 正确答案：C 错因：学生不能把 a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 4、已知 O、A、B 三点的坐标分别为 O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是 P 线段 AB 上且 AP =t AB (0≤t≤1) 则OA ·OP 的最大值为 （ ） A．3 B．6 C．9 D．12 正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当OPcos最大时，OA ·OP 即为最大。 5、在 ABC 中,  60,8,5 Cba ,则 CABC  的值为 ( ) A 20 B 20 C 320 D 320 错误分析:错误认为  60, CCABC ,从而出错. 答案: B 略解: 由题意可知 120,CABC , 故 CABC  = 202 185,cos      CABCCABC . 6、已知向量 a =(2cos，2sin)，(  ,2 )， b =（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( ) A．  3 2 - B． 2  + C．- 2  D． 正确答案：A 错因：学生忽略考虑 a 与b 夹角的取值范围在[0，]。 7、如果 , 0a b a c a        且 ，那么 （ ） A．b c  B．b c  C． b c  D． ,b c   在 a  方向上的投影相等 正确答案：D。 错误原因：对向量数量积的性质理解不够。 8、已知向量 (2,0), (2,2), ( 2 cos , 2 sin )OB OC CA a a     则向量 ,OA OB   的夹角范围是（ ） A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、 [5π/12，π/2] 正确答案：A 错因：不注意数形结合在解题中的应用。 9、设 a =(x1，y1)，b =(x2，y2)，则下列 a 与b 共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ② |a ·b |=|a | |b |； ③ 2 1 2 1 y y x x  ； ④ (a +b )//(a －b ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 答案：C 点评：①②④正确，易错选 D。 10、以原点 O 及点 A（5，2）为顶点作等腰直角三角形 OAB，使 90A ，则 AB 的坐标为（ ）。 A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5） C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7） 正解：B 设 ),( yxAB  ，则由 2222 25|||| yxABOA  ① 而又由 ABOA  得 025  yx ② 由①②联立得 5,25,2  yxyx 或 。 ），（－或 52)5,2(  AB 误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。 11、设向量 ),(),,( 2211 yxbyxa  ，则 2 1 2 1 y y x x  是 ba // 的（ ）条件。 A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要 正解：C 若 2 1 2 1 y y x x  则 bayxyx //,01221  ，若 ba // ，有可能 2x 或 2y 为 0，故选 C。 误解： ba //  01221  yxyx  2 1 2 1 y y x x  ，此式是否成立，未考虑，选 A。 12、在  OAB 中， )sin5,cos5(),sin2,cos2(   OBOA ，若 5OBOA ， 则 OABS =（ ） A、 3 B、 2 3 C、 35 D、 2 35 正解：D。 ∵ 5OBOA ∴ 5cos||||  VOBOA （LV 为OA 与OB 的夹角）     5cossin5)cos5()sin2(cos2 2222  V ∴ 2 1cos V ∴ 2 3sin V ∴ 2 35sin||||2 1  VOBOAS OAB 误解：C。将面积公式记错，误记为 VOBOAS OAB sin||||  13 、 设 平 面 向 量 a )()1,()1,2( Rb   ，， ， 若 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 ， 则  的 取 值 范 围 是 （A） A、 ），（），（  222 1 B、（2，+ ） C、（— ），  2 1 D、（- ）， 2 1 错解：C 错因：忽视使用 0ba 时，其中包含了两向量反向的情况 正解：A 14、设 cba ,, 是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题： ①   0)(  baccba ② a b a b      ③     垂直不与cbacacb  ④若 cbaba 与则  , 不平行 其中正确命题的个数是 （ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 正确答案：(B) 错误原因：本题所述问题不能全部搞清。 15、若向量 a =  xx 2, ，b =  2,3x ，且 a ，b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是______________. 错误分析：只由 ba , 的夹角为钝角得到 ,0ba  而忽视了 0ba  不是 ba , 夹角为钝角的充要条件,因 为 ba , 的夹角为 180 时也有 ,0ba  从而扩大 x 的范围,导致错误. 正确解法: a ，b 的夹角为钝角,    xxxba 23  0432 2  xx 解得 0x 或 3 4x (1) 又由 ba , 共线且反向可得 3 1x (2) 由(1),(2)得 x 的范围是       3 1,           ,3 40,3 1  答案:       3 1,           ,3 40,3 1  . 16、已知平面上三点 A、B、C 满足 ABCACABCBCABCABCAB  则,5||,4||,3|| 的值等于 （ C ） A．25 B．24 C．－25 D．－24 17、已知 AB 是抛物线 )0(22  ppyx 的任一弦，F 为抛物线的焦点，l 为准线.m 是过点 A 且以向量 )1,0( v 为方向向量的直线. （1）若过点 A 的抛物线的切线与 y 轴相交于点 C，求证：|AF|=|CF|； （2）若 BApOBOA ,(02  异于原点），直线 OB 与 m 相交于点 P，求点 P 的轨迹方程； （3）若 AB 过焦点 F，分别过 A，B 的抛物线两切线相交于点 T，求证： ,BTAT  且 T 在直线 l 上. 解：（1）设 A（ ), 11 yx ，因为导数 p xkp xy AC 1,  所以 ， 则直线 AC 的方程： ).,0(:0),( 11 1 1 yCxxxp xyy  得令 由抛物线定义知，|AF|= 1y + 2 p ，又|CF|= 2 p －（－ 1y ）= 1y + 2 p ，故|AF|=|CF|. （2）设 ),,(),,(),,( 2211 yxPyxByxA 由 0 4 )(,0,0 2 2 2 21 21 2 2121 2  p p xxxxpyyxxpOBOA 得 2 21 2pxx  . ① 直线 OB 方程： ,2 2 xp xy  ② 直线 m 的方程: 1xx  ， ③ 由①②③得 y=－p，故点 P 的轨迹方程为 y=－p（x≠0）. （3）设 ).,(),,(),,( 002211 yxTyxByxA 则 p xkp xk BTAT 21 ,  因为 AB 是焦点弦，设 AB 的方程为： ,22 2 pyxpkxy  代入 得 .,1,,02 2 21 22 BTATkkpxxppkxx BTAT  故于是 由（1）知直线 AT 方程： .,, 011010 1 01 1 pypyxxyxp xyyxp xy  即 同理直线 BT 方程： .,, 022020 2 02 2 pypyxxyxp xyyxp xy  即 所以直线 AB 方程： 00 pypyxx  ， 又因为 AB 过焦点， 2,2 00 2 pypyp  即 ，故 T 在准线上. 18、如图，已知直线 与半径为 的⊙ 相切于点 ，动点 到直线 的距离为 ，若 .||2 PDd  （Ⅰ）求点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）若轨迹上的点 与同一平面上的点 、 分别满足 0,3,2  PMGMPGGMPDMPDCGD ， 求以 、 、 为项点的三角形的面积 解：（Ⅰ） ).1,0(2 2|||,|2  d PDPDd ∴点 的轨迹是 为焦点， 为相应准线的椭圆 由 .1.1,2,1,2 2 2  bcacc a a ce 于是解得又 以 所在直线为 轴，以 与⊙ 的另一个交点 为坐标原点建立直角坐标系 ∴所求点 的轨迹方程为 .12 2 2  yx （Ⅱ）  ,2||,2 GDDCGD 为椭圆的左焦点 又 .0)(,0  PMPGGMPMGMPGGM 由题意， 0,0  PMPGGM （否则 、 、 、 四点共线与已经矛盾） .||3||||.0,0)()( 22 PDMPPGPGPMPMPGPGPM  又∵点 在椭圆上， .22 3||,2 2||,222||||  PGPDaPDPG 又  90,,2||  PDGRtPDGGD 为 .2 222 2 2 1  PDGS 、已知 O 是△ABC 所在平面内的一定点，动点 P 满足 ) sin||sin|| ( CAC AC BAB ABOAOP    , ),0(  ，则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的 （D） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 20、已知向量 ba, 是两个不共线的非零向量, 向量 c 满足 |||| b bc a ac  .则向量 c 用向量 ba, 一定可以表示为 （C） A. bnamc  且 1,,  nmRnm . B.          |||| b b a ac  R C.          |||| b b a ac  R D.          |||| b b a ac  R  ,0 , 或          |||| b b a ac  R  ,0