四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题1理

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四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题1理

- 1 - 四川省广元市苍溪县实验中学校 2020 届高三数学下学期适应性考试 试题(1)理 第 I 卷 选择题(60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知i 为虚数单位,复数 z 满足  1z i i   ,则复数 z 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合  2( , ) | 1A x y y x   ,  ( , ) | 2B x y y x  ,则 A B 中元素的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 3.已知条件 : 1p a   ,条件 :q 直线 1 0x ay   与直线 2 1 0x a y   平行,则 p 是 q的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条 件 4.函数 21( ) cos2f x x x  的大致图象是 A. B. C. D. 5.已知数列  na 是公比为 q 的等比数列,且 1a , 3a , 2a 成等差数列,则公比 q 的值为 - 2 - A. 1 2  B. 2 C. 1 或 1 2 D.1 或 1 2  6. 5( )(2 )x y x y  的展开式中 3 3x y 的系数为( ) A.-30 B.-40 C.40 D.50 7.已知 A 类产品共两件 1 2,A A ,B 类产品共三件 1 2 3, ,B B B ,混放在一起,现需要通过检测将 其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件 A 类产品或者检测出 3 件 B 类产品时,检测结束,则第一次检测出 B 类产品,第二次检测出 A 类产品的概率为 A. 1 2 B. 3 5 C. 2 5 D. 3 10 8.设长方体的长、宽、高分别为 2 , ,a a a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 A.3 a2 B.6 a2 C.12 a2 D.24 a2 9.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作,每项工作至少一人,每人做且仅 做一项工作,甲不能安排木工工作,则不同的安排方法共有 A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.64 种 10.关于函数   cos sinf x x x  有下述四个结论: ①  f x 是偶函数;②  f x 的最大值为 2 ; ③  f x 在 ,  有3个零点;④  f x 在区间 0, 4      单调递增. 其中所有正确结论的编号是 A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 11.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     ,点  0 0,P x y 是直线 4 0bx ay a   上任意一 点,若圆   2 2 0 0 1x x y y    与双曲线C 的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范 - 3 - 围是 A. 1,2 B. 1,4 C. 2, D. 4, 12.已知函数   ln 1f x x  ,   1 22 x g x e   ,若    f m g n 成立,则 m n 的最小值是 A. 1 ln 22  B. 2e C. 1ln 2 2  D. 1 2e  第 II 卷 非选择题(90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知随机变量 服从正态分布  22,N  ,则  2P    ___________. 14.已知实数 x , y 满足 2 0 5 y x x y x y        ,则 2 yz x   的最大值为______. 15.已知 ( ) | |f x x x ,则满足 (2 1) ( ) 0f x f x   的 x 的取值范围为_______. 16.函数 3 2( ) sin 3cos ,3 2f x x x x            的值域为_________. 三.解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分 17.(12 分)△ ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且  sin sin sinC B A B   . (I)求角 A 的大小 (II)若 7a  ,△ ABC 的面积 3 3 2S  ,求△ ABC 的周长. 18.(12 分)某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行 - 4 - 一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春 节前 7 天参加抽奖活动的人数进行统计,y 表示第 x 天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如 下: x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 8 8 10 14 15 17 (I)经过进一步统计分析,发现 y 与 x 具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二 乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ; (II)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取 600 元购物券;抽中“二等奖”可领取 300 元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为 1 6 , 获得“二等奖”的概率为 1 3 .现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独 立,求此二人所获购物券总金额 X 的分布列及数学期望. 参考公式: 1 22 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        , ˆˆa y bx  , 7 1 364i i i x y   , 7 2 1 140i i x   . 19.(12 分)如图在直角 ABC 中, B 为直角, 2AB BC , E ,F 分别为 AB , AC 的中 点,将 AEF 沿 EF 折起,使点 A 到达点 D 的位置,连接 BD , CD , M 为 CD 的中点. (Ⅰ)证明: MF  面 BCD; (Ⅱ)若 DE BE ,求二面角 E MF C  的余弦值. - 5 - 20.(12 分)已知抛物线  2 1 : 2 0C x py p  和圆  2 2 2 : 1 2C x y   ,倾斜角为 45°的 直线 1l 过抛物线 1C 的焦点,且 1l 与圆 2C 相切. (Ⅰ)求 p 的值; (II)动点 M 在抛物线 1C 的准线上,动点 A 在 1C 上,若 1C 在 A 点处的切线 2l 交 y 轴于点 B , 设 MN MA MB    .求证点 N 在定直线上,并求该定直线的方程. 21.(12 分)已知函数     22 2 ln , 2af x ax x g x ax axx       (Ⅰ)若 0,a  讨论  f x 的单调性; (II)当 0a  时,若函数  f x 与  g x 的图象有且仅有一个交点 0 0,x y ,求 0x 的值(其中  x 表示不超过 x 的最大整数,如   0.371 0, 0.37 1. 2.9 2] )     . 参考数据: 2 0.693 , 3 1.099 , 5 1.609, 7 1.946ln ln ln ln    (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆C 的参数方程 1 3cos , 2 3sin x t y t       (t 为参数),在极坐标系(与 平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴)中, - 6 - 直线l 的方程为  2 sin 4 m m R       . (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; (II)若圆心 C 到直线l 的距离等于 2,求 m 的值. 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知函数 ( ) | 2 1|f x x  . (Ⅰ)解不等式 ( ) | | 3f x x  ; (II)若对于 x , y R ,有 1| 3 1| 3x y   , 1| 2 1| 6y   ,求证: ( 6 7)f x  . 理科数学参考答案 1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.C 7.D 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A - 7 - 13. 1 2 14.10 11 15. 1[ , )3  16. 6 3 3 ,38       17.(I)∵ A B C    ,∴ ( )C A B   . ∴sin sin( ) sin sin( )C A B B A B     , ∴sin ·cos cos ·sin sin sin ·cos cos sinA B A B B A B A B    , ∴ 2cos ·sin sinA B B ,∴ 1cos 2A  ,∴ 3A  . (II)依题意得: 2 2 2 1 3 3·sin{ 2 2 2 cos ABCS bc A a b c bc A       ∴ 2 2 6{ 13 bc b c    , ∴ 2 2 2( ) 2 25b c b c bc     ,∴ 5b c  , ∴ 5 7a b c    , ∴ ABC 的周长为 5 7 . 18.(I)依题意:  1 1 2 3 4 5 6 7 47x         ,  1 5 8 8 10 14 15 17 117y         , 7 2 1 140i i x   , 7 1 364i i i x y   , 7 1 7 2 2 1 7 364 7 4 11 2140 7 167 ˆ i ii ii x y xy b x x            , 11 2 4 3ˆˆa y bx      , 则 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ 2 3y x  . (II)二人所获购物券总金额 X 的可能取值有 0 、300、600 、900、1200元,它们所对应 的概率分别为:   1 1 10 2 2 4P X     ,   1 1 1300 2 2 3 3P X      , - 8 -   1 1 1 1 5600 23 3 2 6 18P X        ,   1 1 1900 2 3 6 9P X      ,   1 1 11200 6 6 36P X     . 所以,总金额 X 的分布列如下表: X 0 300 600 900 1200 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 总金额 X 的数学期望为 1 1 5 1 10 300 600 900 1200 4004 3 18 9 36EX            元. 19.证明:(Ⅰ )取 DB 中点 N ,连结 MN 、 EN , ∵ 1 2MN BC    , 1 2EF BC   ,∴ 四边形 EFMN 是平行四边形, ∵ EF BE , EF DE , BE EF E ,∴ EF BDE 平面 , ∴ EF EN ,∴ MF MN ,在 DFC 中, DF FC , 又∵ M 为 CD 的中点,∴ MF CD , 又∵ MF MN M ,∴ MF BCD 平面 . 解:(Ⅱ)∵ DE BE , DE EF , BE EF E , ∴ DE BEF 平面 , 以 E 为原点, BE 、 EF 、 ED 所在直线分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系, 设 2BC  ,则  0 0 0E ,, ,  010F ,, ,  2 2 0C  ,, ,  111M  ,, , ∴  0,1,0EF  ,  1,0,1FM   ,  2, 1,0CF   , - 9 - 设面 EMF 的法向量  , ,m x y z ,则 0 0 m EF y m FM x z             ,取 1x  ,得  1,0,1m  , 同理,得平面 CMF 的法向量  1,2,1n  ,设二面角 E MF C  的平面角为 , 则 3cos 3 m n m n         ,∴ 二面角 E MF C  的余弦值为 3 3 . 20.解:(1)依题意设直线 1l 的方程为 2 py x  , 由已知得:圆 2 2 2 :( 1) 2C x y   的圆心 2 ( 1,0)C  ,半径 2r  ,因为直线 1l 与圆 2C 相切, 所以圆心到直线 1 : 2 pl y x  的距离 2 2 1 2 2 1 ( 1) p d       ,即 1 2 2 2 p   ,解得 6p = 或 2p   (舍去). 所以 6p = ; (2)依题意设 ( , 3)M m  ,由(1)知抛物线 1C 方程为 2 12x y , 所以 2 12 xy  ,所以 6 xy  ,设 1 1( , )A x y ,则以 A 为切点的切线 2l 的斜率为 1 6 xk  , 所以切线 2l 的方程为 1 1 1 1 ( )6y x x x y   . 令 0x  , 2 1 1 1 1 1 1 1 126 6y x y y y y         ,即 2l 交 y 轴于 B 点坐标为 1(0, )y , 所以 1 1( , 3)MA x m y   , 1( , 3)MB m y    ,   1 2 ,6MN MA MB x m      , 1( ,3)ON OM MN x m      .设 N 点坐标为 ( , )x y ,则 3y  , 所以点 N 在定直线 3y  上. - 10 - 21.解:(1)   2 2 2 2 1 2 2' 2a ax x af x ax x x       对于函数   22 2 ,h x ax x a   21 16 0a    当 0a  时,则   1' 0,f x x     f x 在 0,  单调递减; 当 0a  时,令   0f x  ,则 22 2 0ax x a   ,解得 21 1 160 4 ax a      f x 在 21 1 160, 4 a a       单调递减; 令   0f x  ,解得 21 1 16 4 ax a   ,所以  f x 在 21 1 16 ,4 a a        单调递增. (2) 0a  且两函数有且仅有一个交点  0 0,x y ,则方程 22 2 ln 2a ax x ax axx      即方程 2 2 ln 0aax xx    在 0,  只有一个根 令   2 2 lnaF x ax xx    ,则   3 2 2 2' ax x aF x x   令    32 2 , 0,x ax x a x      ,则   2' 6 1x ax    0,a x  在 10, 6a       单调递减,在 1 ,6a      上单调递增,故  min 1 6x a         注意到    0 2 0,a x     在 10, 6a       无零点,在 1 ,6a      仅有一个变号的零点 m  F x 在 0.m 单调递减,在 ,m  单调递增,注意到  1 3 0F a  根据题意 m 为  F x 的唯一零点即 0m x - 11 - 2 0 0 0 3 0 0 2 ln 0 2 2 0 aax xx ax x a         消去 a ,得: 3 0 0 3 3 0 0 2 32ln 11 1 xx x x     令   3 32ln 1 1H x x x     ,可知函数  H x 在  1, 上单调递增   10 102 2ln 2 2 0.693 07 7H       ,   29 293 2ln3 2 1.009 026 26H          0 02,3 , 2x x    22.(Ⅰ)消去参数t ,得到圆 C 的普通方程为    2 21 2 9x y    . 由 π2 sin 4 m      ,得 sin cos 0m      .所以直线 l 的直角坐标方程为 0x y m   . (Ⅱ)依题意,圆心C 到直线l 的距离等于 2,即  1 2 2 2 m    ,解得 3 2 2m    . 23.(1)由 ( ) | | 3f x x  得| 2 1| | | 3x x   , 则 1 2 2 1 3 x x x       , 或 10 2 1 2 3 x x x        , 或 0 1 2 3. x x x       , 解得 1 42 x  ,或 10 2x  ,或 2 0x   ,即 2 4x   , 所以不等式 ( ) | | 1f x x  的解集为{ | 2 4}x x   . (2)证明:由 1| 3 1| 3x y   , 1| 2 1| 6y   , 所以 2 1 7( ) | 2 1| | 2( 3 1) 3(2 1) | 2 | 3 1| 3| 2 1| 3 2 6f x x x y y x y y               .
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