高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第4节-课件
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章 函数与基本初等函数
函数与基本初等函数
第二章
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第二章 函数与基本初等函数
第四节 二次函数与幂函数
第二章
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第二章 函数与基本初等函数
课前自主导学2 课 时 作 业4
高考目标导航1 课堂典例讲练3
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
课前自主导学
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第二章 函数与基本初等函数
1.二次函数的解析式
(1)一般式：f(x)＝________________；
(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式
为：f(x)＝________________；
(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解
析式为f(x)＝___________________.
ax2＋bx＋c(a≠0)
a(x－h)2＋k(a≠0)
a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
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第二章 函数与基本初等函数
2．二次函数的图像和性质
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
3.若二次函数y＝f(x)恒满足f(x＋m)＝f(－x＋n)，则其对称
轴为______．
4．幂函数概念
形 如 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的 函 数 称 为 幂 函 数 ， 其 中 x 是
________，α为______．
y＝xα(α∈R)
自变量 常数
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点
______．
(2)α>0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)
上是______．
(3)α<0时幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是______．在第
一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼
近______，当x趋于＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近
______．
(4)当α为奇数时，幂函数为______；当α为偶数时，幂函数
为______．
(1,1)
增加的
减少的
y轴
x轴
奇函数
偶函数
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第二章 函数与基本初等函数
6．5个具体幂函数的性质
增 增 增
增 减
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第二章 函数与基本初等函数
1.(文)若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是(
)
A．a>2或a<－2 B．－2
0，
a2>4即a>2或a<－2.
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第二章 函数与基本初等函数
(理)若函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是定义在R上的偶函
数，则f(x)在(0，＋∞)上( )
A．为增函数 B．为减函数
C．先减后增 D．先增后减
[答案] B
[解析] ∵f(x)为R上的偶函数，
∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋3.
由二次函数的图像易知f(x)＝－x2＋3在(0，＋∞)上为减函
数．
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第二章 函数与基本初等函数
2．下列命题：
①幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图像不可能在第四象限；
③n＝0时，函数y＝xn的图像是一条直线；
④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增
大而减小
其中正确的是( )
A．①④ B．④⑤
C．②③ D．②⑤
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第二章 函数与基本初等函数
[答案] D
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
4．已知a、b、c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋C．若f(0)＝
f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
[答案] A
[解析] 本题考查了二次函数的性质．
由题意得f(0)＝c，f(4)＝16a＋4b＋c＝c，即16a＋4b＝0,4a
＋b＝0，f(1)＝a＋b＋c，因为f(0)>f(1)，所以a＋b<0，a>0，故
选A．
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第二章 函数与基本初等函数
5．f(x)＝x2＋2(2－a)x＋2在(－∞，2]上是减少的，则a的取
值范围是__________．
[答案] [4，＋∞)
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第二章 函数与基本初等函数
课堂典例讲练
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第二章 函数与基本初等函数
已知二次函数f(x)同时满足条件：
(1)f(1＋x)＝f(1－x)；
(2)f(x)的最大值为15；
(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.
求f(x)的解析式．
求二次函数的解析式
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
[方法总结] 在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次
函数解析式的表达形式：
(1)已知三个点的坐标，应选择一般形式；
(2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式；
(3)已知函数图像与x轴的交点坐标，应选择两根式．
提醒：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引
入的系数过多，会加大运算量，易出错．
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第二章 函数与基本初等函数
已知二次函数f(x)的图像过A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－8)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；
(3)求不等式f(x)≥0的解集．
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第二章 函数与基本初等函数
[解析] (1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，
将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，
∴a＝2.
即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.
(2)f(x)＝2(x－1)2－8，
当x∈[0,3]时，由二次函数图像知
f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.
(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥3}．
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第二章 函数与基本初等函数
(2015·保定月考)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，
x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调
函数．
[思路分析] (1)配方成顶点式，利用函数在各个区间上的
单调性求解；(2)讨论对称轴相对于区间的位置．
二次函数的图像和性质
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第二章 函数与基本初等函数
[规范解答] (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－
1，由于x∈[－4,6]．
所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
故f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以
要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤
－6或a≥4.
故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
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第二章 函数与基本初等函数
[方法总结] 1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类
型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，
解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依
据对称轴与区间的关系进行分类讨论；
2．二次函数的单调性问题主要依据二次函数的对称轴进
行分析讨论求解．
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第二章 函数与基本初等函数
若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，
且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数
m的取值范围．
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－
m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－
3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，
由－m－1>0得，m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
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第二章 函数与基本初等函数
已知关于x的方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根
异号，且负根的绝对值比正根大，求实数m的取值范围．
[思路分析] 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借
助于二次函数的图像数形结合来解，一般从四个方面分析：①
开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号．
一元二次方程根的分布问题
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
[方法总结] 此类方程根的分布问题通常有两种解法：一
是方程思想，利用根与系数的关系；二是函数思想，构造二次
函数利用其图像分析，从而求解．
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第二章 函数与基本初等函数
(1)关于x的方程2x2－3x＋2m＝0有且仅有一根在[－1，1]
内，求m的取值范围；
(2)关于x的方程2x2－3x＋2m＝0两实根均在[－1,1]内，求m
的取值范围．
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
幂函数的图像与性质
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
[思路分析] (1)根据函数图像联系幂函数的性质解答．(2)
根据幂函数图像过的点确定幂函数解析式，然后通过图像考虑
其性质．
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
[方法总结] 幂函数y＝xα的性质和图像，由于α的取值不
同而比较复杂，一般可从三方面考查：
(1)α的正负：α>0时图像经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限
的部分“上升”；α<0时图像不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第
一象限的部分“下降”；
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凸，0<α<1时
曲线上凸，α<0时曲线下凸；
(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形
式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．
无论α取何值，幂函数的图像必经过第一象限，且一定不
经过第四象限．
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第二章 函数与基本初等函数
幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像关于y轴对称，且当
x>0时，函数是减函数，则m的值为( )
A．－1
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