（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题1

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第 1章 锐角三角函数 1.1 锐角三角函数（第 1课时） 一、单选题 1．在Rt ABC△ 中， 90C  ， B   ， AB a= ，那么 BC的长为（ ） A． sina  B． cosa  C． cos a  D． tana  【答案】B 【分析】 根据余弦的定义进行解答即可． 【详解】 解：根据已知条件可画出图形，如图： ∵ cos BC BC AB a    ∴ cosBC a  ． 故选：B 【点睛】 本题考查了锐角三角函数，掌握余弦的定义是解题的关键． 2．在 Rt△ABC中，各边都扩大 5倍，则锐角 A的正切函数值（ ） A．不变 B．扩大 5倍 C．缩小 5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】 根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】 因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大 5倍后，锐有 A的各三角函数值没有变化， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键． 3．已知 ABC 中， 90C  ，CD是 AB上的高，则 CD BD =（ ） A． sin A B． cos A C． tan A D． cot A 【答案】D 【分析】 根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】 解：∵△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB， ∴∠A=∠BCD， ∴ cot BCD cotA CD BD    . 故选 D． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义．三角函数：锐角 A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 4．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则 sinB 的值是（ ） A． 4 5 B． 3 5 C． 4 3 D． 3 4 【答案】A 【分析】 先根据勾股定理计算出斜边 AB的长，然后根据正弦的定义求解． 【详解】 如图， ∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB= 2 2 2 26 8BC AC   =10， ∴sinB= 8 4 10 5 AC AB   ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理． 5．△ABC中，∠C=90°，则 sin tanB A 的値是（ ） A． a c B． c a C． a b D． b a 【答案】A 【分析】 根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】 解： sin tan b a aB A c b c     ， 故选：A． 【点睛】 本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．如图，在 Rt△ABC中，CD是斜边 AB上的中线，已知 AC=3，CD=2，则 cosA的值为（ ） A． 3 4 B． 4 3 C． 7 3 D． 7 4 【答案】A 【分析】 利用直角三角形的斜边中线与斜边的关系，先求出 AB，再利用直角三角形的边角关系计算 cosA． 【详解】 解：∵CD是 Rt△ABC斜边 AB上的中线， ∴AB=2CD=4, ∴cosA= AC AB = 3 4 . 故选 A. 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边的中线与斜边的关系、锐角三角函数．掌握直角三角形斜边的中线与斜边的关 系是解决本题的关键．在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半． 7．如图所示，CD是一个平面镜，光线从 A点射出经CD上的E点反射后照射到 B点，设入射角为（入 射角等于反射角），AC CD ，BD CD ，垂足分别为C，D．若 3AC  ， 6BD  ， 12CD  ，则 tan 的值为（ ） A． 4 3 B． 3 4 C． 4 5 D． 3 5 【答案】A 【分析】 由镜面反射对称可知 A B      ，继而证明 ACE BDE∽△ △ ，由相似三角形对应边成比例结合正切 的定义解题． 【详解】 由镜面反射对称可知 A B      ， 在 ACE△ 和 BDE 中， A B ACE BDE       ， ACE BDE ∽ ， AC CE BD DE   ， 3AC  ， 6BD  ， 12CD  ， 12DE CD CE CE    ， 3 6 12 CE CE    ， 3(12 ) 6CE CE   ， 解得： 4CE  ， 4tan tan 3 CEA AC      ． 故选 A． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．在 Rt ABC 中， 90C  ， 5AC  ， A   ，那么 BC的长是（ ） A．5cot B．5tan C． 5 cos D． 5 sin 【答案】B 【分析】 先画出图形，再根据正切三角函数的定义即可得． 【详解】 由题意，画出图形如下： 则 tan BCA AC  ，即 tan 5 BC  ， 解得 5tanBC  ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了正切三角函数，熟记定义是解题关键． 二、填空题 9．计算： 21 |1 2 | 3 tan30 2           ________ 【答案】2 2 【分析】 利用负指数幂 1 ( 0)p pa a a    、绝对值的性质及特殊的三角函数值 3tan 30 3   计算即可. 【详解】 解： 21 |1 2 | 3 tan 30 2          34 2 1 3 3      4 2 1 1    2 2  故答案为：2 2 . 【点睛】 本题主要考查了负指数幂、绝对值、特殊三角函数值的混合运算，去绝对值是一个易错点，注意判断绝对 值里的正负，灵活的利用相应的公式与性质是解题的关键. 10．在Rt ABC△ 中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，则 BC的长为__________ ． 【答案】120 【分析】 根据正弦的概念得到 sin BCA AC  ，代入数据即可求出 BC． 【详解】 解：∵ sin 0.6BCA AC   ， ∴ sin 200 0.6 120BC AC A    ， 故答案为：120． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念解题的关键． 11．如图，在 ABC 中， 90C  ， 3AC  ， 5AB  ，则 sin A  ________． 【答案】 4 5 【分析】 在 ABC 中，根据勾股定理可以求得 BC的长度，∠A的正弦值为： BC AB ，根据求得的值即可求出∠A的正 弦值． 【详解】 解：∵ 90C   ∴在 Rt ABC 中，由勾股定理得： 2 2 2AB AC BC  ， 即： 2 2BC AB AC  = 2 25 3 4  ∴ 4sin 5 BCA AB   ． 【点睛】 本题重点在于利用勾股定理求出未知的边长，然后解出直角三角形中对应的三角函数值． 12．如图，A点的坐标为（2，3），则 tan∠AOX的值是______． 【答案】 3 2 【分析】 作 AB⊥x轴于 B，如图，则 OB=2，AB=3，然后根据正切的定义求解． 【详解】 解：作 AB⊥x轴于 B，如图， ∵A（2，3）， ∴OB=2，AB=3， ∴tan∠AOX= AB OB = 3 2 ． 故答案为 3 2 ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义求直角三角形中未知的角和边． 13．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 3cmb  ，则螺帽边长 a ________cm． 【答案】 3 【分析】 根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得 CD的长，根据锐角三 角函数的余弦，可得答案． 【详解】 解：如图：作 BD⊥AC于 D 由正六边形，得 ∠ABC=120°，AB=BC=a， ∠BCD=∠BAC=30°． 由 AC=3，得 CD= 3 2 ． cos∠BCD= CD BC = 3 2 ，即 3 32 2a  ， 解得 a= 3， 故答案为： 3． 【点睛】 本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余 弦函数． 14．如图，在ΔABC中，AC BC ， 90C  ，点D在 BC上，且 2CD DB ，将ΔABC折叠，使点 A 与点D重合， EF 为折痕，则 sin BED  _________． 【答案】 5 13 【分析】 先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到 ∠BED=∠CDF，设 CD=2，CF=x，则 CA=CB=3，再根据勾股定理即可求解． 【详解】 ∵△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠EDF=45，由三角形外角性质得∠CDF+ 45=∠BED+ 45， ∴∠BED=∠CDF， 设 CD=2，CF=x，则 CA=CB=3， ∴DF=FA=3−x， ∴在 Rt△CDF中，由勾股定理得， 2 2 2CF CD DF  ，即：  22 4 3x x   ，解得： 5 6 x  ， 5 56 5 133 6 CFsin BED sin CDF DF         ， 故答案为： 5 13 ． 【点睛】 本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广， 但难易适中．解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 三、解答题 15．（1）计算： 0 114 ( 2016) 2cos60 ( ) 2      （2）化简：a(a＋1)-(a＋1)(a-1)． 【答案】（1）4；（2） 1a ． 【分析】 （1）分别计算算术平方根，零次幂，余弦函数值，负整数指数幂，再合并即可， （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】 解：(1) 原式= 12 1 2 2 2     =4． (2) 原式= 2 2 1a a a   = 1a ． 【点睛】 本题考查的是实数运算中的算术平方根，零次幂，余弦函数值，负整数指数幂的运算，同时考查了整式的 混合运算，注意利用平方差公式进行简便运算． 16．计算： ( 6 2)( 6 2) | 6 1| 2 3sin 45     ． 【答案】3． 【分析】 先按平方差公式计算二次根式的乘法，绝对值与锐角三角函数，再合并即可． 【详解】 原式 6 4 ( 6 1) 6     2 6 1 6    3 ． 【点睛】 本题考查的是二次根式的混合运算，绝对值，及锐角三角函数的运算，掌握以上知识是解题的关键． 17．计算： （1）计算： 0 18 cos 45 2020 2    ； （2）化简：(x－1)(x＋3) －(x－2)2． 【答案】（1） 3 2 ，（2）6 7.x  【分析】 （1）先化简算术平方根，再计算锐角三角函数，零次幂，负整数指数幂，后合并即可得到答案， （2）先按多项式乘以多项式，利用完全平方公式进行简便计算，再合并同类项即可． 【详解】 解：（1） 0 18 cos 45 2020 2    2 12 2 1 2 2     12 1 2    3 . 2  （2）(x－1)(x＋3) －(x－2)2 2 23 3 ( 4 4)x x x x x       2 22 3 4 4x x x x      6 7.x  【点睛】 本题考查的是算术平方根的化简，锐角三角函数，零次幂，负整数指数幂的运算，整式的乘法运算，特别 是利用完全平方公式进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键． 18．如图，已知在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点坐标分别是 (0, 2)A ， ( 3, 2)B   ， ( 2, 4)C   ． （1）将 ABC 向右平移 4个单位长度后得到 1 1 1ABC ，请画出 1 1 1ABC ； （2）画出 1 1 1ABC 关于 x轴对称的 2 2 2A B C ； （3）连接 2OA ，求 2 2sin OA C 的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 2 2 【分析】 (1)将 A、B、C三点分别向右平移 4个单位即可得到的△A1B1C1； (2)利用关于 x轴的点的坐标特征描出 A2、B2、C2的坐标，然后顺次连接即可； (3)利用勾股定理的逆定理证得 2 2OA C 是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】 (1)如图，△A1B1C1为所作； (2)如图，△A2B2C2为所作； (3)连接 2OC ， 2 2 2 2 4 2 5OC    ， 2 2 2 2 4 2 5OA    ， 2 2 2 2 2 6 2 10A C    ， ∵      2 2 2 2 5 2 5 2 10  ， ∴ 2 2 2 2 2 2 2OC OA A C  ，且 2 2OC OA ， ∴ 2 2OA C 是等腰直角三角形，且∠ 2 2C OA =90 ， ∴∠ 2 2OA C =45 ， ∴ 2 2 2sin sin 45 2 OA C    ． 【点睛】 本题主要考查了平移变换以及轴对称变换，勾股定理的逆定理，锐角三角函数等知识，正确得出对应点位 置是解题关键． 19．如图，在 ABC 中， 2cos 2 B  ， 3sin 5 C  ， 10AC  ，求 ABC 的面积． 【答案】 ABC 的面积为 42． 【分析】 根据已知作出三角形的高线 AD，进而得出正弦三角函数求 AD，利用等腰直角三角形求 BD，利用勾股定 理求 CD，的长，即可得出三角形的面积． 【详解】 解：作 AD BC 于点D， 在Rt ACD△ 中， sin ADC AC  ， ∵ 3sin 5 C  ， 10AC  ， ∴ 3 5 10 AD  ， ∴ 6AD  ， ∵在Rt ABD△ 中， 2cos 2 B  ， ∴ 45B  ，即 45BAD B   ， ∴ 6BD AD  ， ∵在 Rt ACD△ 中，由勾股定理得 8CD  ， ∴ 6 8 14BC BD CD     ， ∴ ABC 的面积 1 14 6 42 2     ． 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的知识，作出 AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2y ax x  的对称轴直线 2x  与 x轴交于点 B，顶点为 A （1）求抛物线对应的函数表达式及顶点 A的坐标 （2）点 P为抛物线对称轴上一点，连接OA、OP，当OA OP 于点时，求 AP的长 【答案】（1） 21 4 y x x   ，(2，1)；（2）5 【分析】 （1）根据抛物线对称轴列方程求出 a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标即可； （2）设对称轴与 x轴的交点为 B，①求出∠OAB=∠BOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解 得到 PB，然后计算 AB+BP 即可得解； 【详解】 解：（1）∵抛物线 y=ax2+x的对称轴为直线 x=2， ∴ 1 2 2a   ， ∴a=- 1 4 ， ∴抛物线的表达式为：y=- 1 4 x2+x， ∴顶点 A的坐标为（2，1）； （2）（2）设对称轴与 x轴的交点为 E． ①如图，在直角三角形 AOB和直角三角形 POB中，tan∠OAB= OB AB ，tan∠BOP= BP OB ， ∵OA⊥OP， ∴∠OAB=∠BOP， ∴ OB AB = BP OB ， ∵AB=1，OB=2， ∴ 2 1 2 PB  ， 解得 PB=4， 1 4 5AP AB BP      【点睛】 本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角 函数的定义．