【数学】2019届一轮复习人教A版(文)集合的概念与运算学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版(文)集合的概念与运算学案

‎1.1 集合的概念与运算 ‎[知识梳理]‎ ‎1.集合与元素 ‎(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.‎ ‎(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.‎ ‎(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 ‎3.集合的基本运算 ‎4.集合的运算性质 ‎(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.‎ ‎(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.‎ ‎(3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).‎ ‎(4)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集的个数为2n-2个.‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1.概念思辨 ‎(1)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.(  )‎ ‎(2)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.(  )‎ ‎(3)设集合A={0,1},若B={x|x⊆A},则A⊆B.(  )‎ ‎(4)设集合A={x|ax=1},B={x|x2=1},若A⊆B,则a=1或-1.(  )‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.教材衍化 ‎(1)(必修A1P12T10)若集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},则P与Q的关系是(  )‎ A.P=Q B.PQ C.PQ D.P⊄Q 答案 C 解析 因为集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},所以QP.故选C.‎ ‎(2)(必修A1P12T2)已知A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B=________.‎ 答案 {(1,2)}‎ 解析 A∩B={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7}=={(1,2)}.‎ ‎3.小题热身 ‎(1)已知集合A={x|-37},B={x|x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.‎ 本题可结合数轴用数形结合方法.‎ 答案 (-∞,-1]‎ 解析 由题意知2m-1≤-3,m≤-1,∴m的取值范围是(-∞,-1].‎ ‎[条件探究1] 典例2中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余不变,该如何求解?‎ 解 当B=∅时,有m+1>2m-1,则m<2;‎ 当B≠∅时,或 解得m>6.综上可知m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).‎ ‎[条件探究2] 典例2中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},又该如何求解?‎ 解 当B=∅时,满足B⊆A,此时有m+1>2m-1,‎ 即m<2;当B≠∅,要使B⊆A,则有 解得2≤m≤4.‎ 综上可知m的取值范围是(-∞,4].‎ 方法技巧 ‎1.集合相等的问题求解思路 首先分析已知元素与另一个集合中的哪个元素相等,一般要分类讨论,列出方程(组)求解,最后要验证是否满足互异性.例如典例1.‎ ‎2.已知两个集合间的关系求参数时的关键点及注意点 ‎(1)关键点:将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.‎ ‎(2)注意点:①利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论;②注意区间端点的取舍.例如典例2.‎ 提醒:空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.‎ 冲关针对训练 ‎ ‎1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-2或x<0},又B={x|-0},则A∩B=(  )‎ A. B. C. D. 本题用转化法,数形结合法.‎ 答案 D 解析 易知A=(1,3),B=,∴A∩B=.故选D.‎ 角度2 求并集 (2018·浙江模拟)已知集合P={x|-10},B={x|y=lg (x-1)},则(∁UA)∩B=(  )‎ A.{x|x>2或x<0} B.{x|10,即x(x-2)>0,得x<0或x>2,故A={x|x<0或x>2}.集合B是函数y=lg (x-1)的定义域,由x-1>0,解得x>1,所以B={x|x>1}.易知∁UA={x|0≤x≤2},所以(∁UA)∩B={x|0≤x≤2}∩{x|x>1}={x|10},则(  )‎ A.A∩B= B.A∩B=∅‎ C.A∪B= D.A∪B=R 答案 A 解析 由3-2x>0得x<,则B=,所以A∩B=.故选A.‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)│x2+y2=1},B={(x,y)│y=x},则A∩B中元素的个数为(  )‎ A.3 B.2‎ C.1 D.0‎ 答案 B 解析 集合A表示以原点O为圆心,半径为1的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.‎ 由图形可知,直线与圆有两个交点,‎ 所以A∩B中元素的个数为2.故选B.‎ ‎3.(2018·武昌调研)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=(  )‎ A.{0,1} B.{1,2}‎ C.{0,1,2} D.{0,1,2,5}‎ 答案 D 解析 A={0,1,2,3,4,5},B={x|21},则(∁RA)∩B=(  )‎ A.[1,+∞) B.(0,+∞)‎ C.(0,1) D.[0,1]‎ 答案 A 解析 依题意得,A={x|00},故(∁RA)∩B={x|x≥1}=[1,+∞).故选A.‎ ‎5.若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则(  )‎ A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=∅‎ 答案 C 解析 M={x||x|≤1}=[-1,1],N={y|y=x2,|x|≤1}=[0,1],所以N⊆M.故选C.‎ ‎6.(2017·山西模拟)设全集U=R,集合A={x∈N|x2<6x},B={x∈N|30可解得-60},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0},若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.(1,+∞)‎ 答案 B 解析 A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},‎ 设函数f(x)=x2-2ax-1,因为函数f(x)=x2-2ax-1图象的对称轴为x=a(a>0),f(0)=-1<0,根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数,则这个整数为2,‎ 所以有即 所以即≤a<.故选B.‎ 二、填空题 ‎11.(2017·南昌模拟)已知集合M={x|x2-4x<0},N={x|m-2时,B=(m-1,2m+1),因此,要B⊆A,‎ 则只要⇒-1≤m≤2.‎ 综上所述,m的取值范围是{m|m=-2或-1≤m≤2}.‎
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