贵州省凯里一中 2016-2017 学年高二第一学期期中考试试题

贵州省凯里一中 2016-2017 学年高二第一学期期中考试试题

贵州省凯里一中 2016-2017 学年高二第一学期期中考试试题 数 学 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间 120 分钟，共 150 分. 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. ） 1.某学校为了调查高一年级的 200 名学生完成课后作业所需时间，采取了抽样调查的方式：从学生 中随机抽取 20 名同学进行抽查。这种抽样的方法是( ) A．分层抽样 B．简单随机抽样 C．系统抽样 D．复杂随机抽样 2.函数 )2lg(  xy 的定义域为（ ） A． ,0 B． ，0 C．  ,2 D．   ，2 3.某小组有 2 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，在下列选项中,互斥而不对立 的两个事件是（ ） A．“至少有 1 名女生”与“都是女生” B．“至少有 1 名女生”与“至多有 1 名女生” C．“恰有 1 名女生”与“恰有 2 名女生” D．“至少有 1 名男生”与“都是女生” 4.下列向量中，与向量 )3,4(a 垂直的是（ ） A． )43( ， B．  3,4 C． )3,4(  D． 43  ， 5．某学校数学兴趣班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所 示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m n 的值是（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 6.若右图输入 A=1，B=3 时，输出的结果是（ ） A．1，3 B．4，1 C．4，-2 D．1，1 7.函数 2)( 3  xxf 的零点所在的区间是（ ） A．（-1,0） B．（0,1） C．（1,2） D．（2,3） 8.下表是某厂1 4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程 是 0.7y x a   ，则 a 等于（ ） A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25 9.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取 20 名学生进行心 理测试，其中高三有学生 900 人，已知高一与高二共抽取了 14 人，则全校 学生的人数为（ ） A．2400 B．2700 C．3000 D．3600 10.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5 名评委打的分数用茎叶图表示(如右图)．s1、 s2 分别表示甲、乙选手分数的标准差，则 s1 与 s2 的关系是( ) A．s1＞s2 B．s1＝s2 C．s1＜s2 D．不确定 11.如图所示的程序框图，若输出的 41S  ，则判断框内应填入的条件是（ ） A． 3?k  B． 4?k  C． 5?k  D． 6?k  12. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 )(xfy  ， 恒 有 )2()()4( fxfxf  成 立 ， 且 ， 1)0( f , 当 20 21  xx 时， 0)()( 21 21   xx xfxf 则方程 0||lg)(  xxf 的根的个数为（ ） A．3 B．6 C．8 D．10 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。） 13. ABCD 为矩形， OBCAB ,1,2  为 AB 的中点，在矩形 ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ． 第 11 题 14.在等比数列 }{ na 中, ,8,16 41  aa 则 7a _________ 15.二进制数 10102)化为十进制后为___________ 16. 032)1,2(  xyP 且与直线过点 平行的直线方程是_____________ 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分 12 分）随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各 10 名同学，测量出他们的身高（单 位： cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损． （1）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据； （2）现从乙班这 10 名同学中随机抽取 2 名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm的同学被抽中 的概率． 18．（本小题满分 12 分）某汽车公司为了考查某 4S 店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访 调查，每个用户在到此店或保养后可以对该店进行打分，最高分为10 分．上个月公司对该 4S 店的 100 位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组[0,2) ，第 二组[2,4) ，第三组[4,6) ，第四组[6,8) ，第五组 8,10 ，得到频率分布直方图如图所示． （1）求所打分值在 6,10 的客户的人数； （2）该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取 6 名客户进行深入调查，之后将从这 6 人中 随机抽取 2 人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率． 19．（本小题满分 10 分）y.co 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级．现从一批该零件中随 机抽取 20 个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n （1）在抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，求 m，n； （2）在（1）的条件下，从等级为 3 和 5 的所有零件中，任意抽取 2 个，求抽取的 2 个零件等级恰 好相同的概率． 20.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为平行 四边形，AB=3，AC=4，AD=5，SA  平面 ABCD. （1）证明：AC  平面 SAB; （2）若 SA=2，求三棱锥 A-SCD 的体积. 21.（本小题满分 12 分）已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 55, 20a S    . （1）求数列 na 的通项公式； （2）求使不等式 n nS a 成立的 n 的最小值. 22．（本小题满分 12 分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告 费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数 据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的． （Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度； （Ⅱ）估计该公司投入 4 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该 组的取值）； （Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广 告 投 入 x （单位：万元） 1 2 3 4 5 销 售 收 益 y （单位：万元） 2 3 2 7 表中的数据显示，x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算 y 关于 x 的 回归方程． 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 xbya xnx yxnyx b n i i n i ii           , 1 22 1 ． 2016-2017 学年度凯里一中洗马河校区高二数学半期考卷 答案 命题人：王庭光 审题人：杨再艺 第 I 卷（选择题） 1-5：BDCAC 6-10：BCDCA 11-12：BD 1.某学校为了调查高一年级的 200 名学生完成课后作业所需时间，采取了抽样调查的方式：从学生 中随机抽取 20 名同学进行抽查。这种抽样的方法是( B ) A．分层抽样 B．简单随机抽样 C．系统抽样 D．复杂随机抽样 2.函数 )2lg(  xy 的定义域为（ D ） A． ,0 B．  ，0 C．  ,2 D．   ，2 3.某小组有 2 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，在下列选项中,互斥而不对立 的两个事件是（ C ） A．“至少有 1 名女生”与“都是女生”B．“至少有 1 名女生”与“至多有 1 名女生” C．“恰有 1 名女生”与“恰有 2 名女生”D．“至少有 1 名男生”与“都是女生” 【答案】C 试题分析：“至少有 1 名女生”包含“都是女生”，所以 A 错误；“至少有 1 名女生”包含“（男，女）” 这种情况，所以与“至多有 1 名女生”不互斥，所以 B 错误；“恰有 1 名女生”与“恰有 2 名女生” 互斥，但不对立，C 正确；“至少有 1 名男生”与“都是女生”既互斥又对立，所以 D 错误 。 考点：互斥与对立。 4.下列向量中，与向量 )3,4(a 垂直的是（ A ） A． )43( ， B．  3,4 C． )3,4(  D．  43  ， 解析：若  1 1,a x y ,  2 2,b x y , a b    (共线) b a   或 1 2 2 1x y x y （内外坐标相乘相等） 0a b a b      或 1 2 1 2 0x x y y  5．某学校数学兴趣班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所 示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m n 的值是（ C ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 试题分析：∵甲组学生成绩的平均数是 88， ∴由茎叶图可知 78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3 又乙组学生成绩的中位数是 89，∴n=9， ∴m+n=12 考点：茎叶图 6.若右图程序输入 A=1，B=3 时，输出的结果是（ B ） A．1，3 B．4，1 C．4，-2 D．1，1 解析：A=1+3=4，B=4-3=1 所以答案为 B. 7.函数 2)( 3  xxf 的零点所在的区间是（ C ） A .（-1,0） B .（0,1） C .（1,2） D .（2,3） 解析：判断 f(x)零点是否在(a,b)内：只要 (a) (b) 0f f  即可. 因为 (1) 1 2 1, (2) 8 2 6 (1) (2) 0f f f f         8.下表是某厂1 4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知， 用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是 0.7y x a   ，则 a 等于（ D ） A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25 【答案】D 试题分析： 5 7 7 5, , 0.7 , 5.252 2 2 2x y a a         ，故选 D. 考点：回归直线． 9.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取 20 名学生进行心理测试，其中高三有学生 900 人，已知高一与高二共抽取了 14 人，则全校学生的人数为（ C ） A．2400 B．2700 C．3000 D．3600 【答案】C 试题分析： 300020 1420900  （人），故选 C. 考点：分层抽样． 10.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5 名评委打的分数用茎叶图 表示(如右图)．s1、s2 分别表示甲、乙选手分数的标准差，则 s1 与 s2 的关系是( A ) A．s1＞s2 B．s1＝s2 C．s1＜s2 D．不确定 解析：用方差公式    n i xxns 1 22 )(1 计算可得 11.如图所示的程序框图，若输出的 41S  ，则判断框内应填入的条件是（ B ） A． 3?k  B． 4?k  C． 5?k  D． 6?k  【答案】B 试 题 分 析 ： 因 当 220221,1,0  SkkS ； 当 732231,2,2  SkkS ； 当 1847241,3,7  SkkS ； 当 41518251,4,18  SkkS ,运算程序结束,故应选 B． 考点：算法流程图的识读和理解． 12. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 )(xfy  ， 恒 有 )2()()4( fxfxf  成 立 ， 且 ， 1)0( f , 当 20 21  xx 时， 0)()( 21 21   xx xfxf 则方程 0||lg)(  xxf 的根的个数为（ D ） A．3 B．6 C．8 D．10 解析：因为当 20 21  xx 时， 0)()( 21 21   xx xfxf ，所以 上单调递减，在或 ]10[)(0,0)()(0,0)()( 21212121 xfxxxfxfxxxfxf  0)2(0)2()2()2()2()2()( )2()2()2()2()2()42(2 )2()()4(,x    ffffffxf ffffffx fxfxfR 是偶函数又 代入得可取 都有对于  求 方 程 0||lg)(  xxf 的 根 的 个 数 ， 等 价 于 求 ||lg)( xxf  的 根 ， 又 等 价 于 求 两 个 函 数 ||lg)( xyxfy  与 函数图的交点个数 如图这两个函数图象的草图上单调递减在而 轴对称函数图像都关于也是偶函数，所以它们是偶函数   ]1,0[)(,1)0(,0)1( ||lg,)( xfff yxyxfy 第 II 卷（非选择题） 13. ABCD 为矩形， OBCAB ,1,2  为 AB 的中点，在矩形 ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ． 【答案】 41  试题分析：由图形可知 4112 1 2 11 2   P . 考点：几何概型． 14.在等比数列 }{ na 中, ,8,16 41  aa 则 7a ___-4______ 解析：由等比数列性质 41664 77714 2  aaaaa 15.二进制数 101 0(2)化为十进制后为___10____ 102820212021 0123 解析： 16. 032)1,2(  xyP 且与直线过点 平行的直线方程是_____________ 32)2(2)1( 2k32032   xyxy xyxy ，即： ，所求直线方程为：由直线方程的点斜式知 其斜率解析：直线 三、解答题 17．（12 分）随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各 10 名同学，测量出他们的身高（单位： cm ）， 获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损． （1）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据； （2）现从乙班这 10 名同学中随机抽取 2 名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm的同学被抽中 的概率． 【答案】（１） 170 ；（２） 2 5 ． 试题分析：（１）可设污损处的数据为 x ，由已知甲班同学身高平均数为170cm，可建立等式求得 x 的值；（２）利用古典概型，求出10 名学生中抽取 2 人的基本事件个数，即可求解． 试题解析： 甲班同学身高的平均数  1 158 162 163 168 168 170 171 179 182 17010 a           ， 解得 179a  ，所以污损处是 9．………………………………5 分 （2）设“身高176cm 的同学被抽中”的事件为 A ， 从乙班 10 名同学中抽取 2 名身高不低于173cm 的同学有：              181,173 , 181,176 , 181,178 , 181,179 , 179,173 , 179,176 , 179,178 ，      178,173 , 178,176 , 176,173 ， 共 10 个基本事件， 而事件 A 含有 4 个基本事件， 所以   4 2 10 5P A   ． ……………………………………12 分 考点：平均数；古典概型． 【易错点睛】古典概型求解中的注意事项：（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定 要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．（2）用列举法求 古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．（3）注 意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 18．（12 分）某汽车公司为了考查某 4S 店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个 用户在到此店或保养后可以对该店进行打分，最高分为 10 分．上个月公司对该 4S 店的 100 位到店 维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组[0,2) ，第二组[2,4) ， 第三组[4,6) ，第四组[6,8) a，第五组 8,10 ，得到频率分布直方图如图所示． （1）求所打分值在 6,10 的客户的人数； （2）该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取 6 名客户进行深入调查，之后将从这 6 人中 随机抽取 2 人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率． 【答案】（1）65（2） 8 15 试题解析：（1）由直方图知，所打分值在 6,10 的频率为 0.175 2 0.150 2 0.65    ， 所以所打分值在 6,10 的客户的人数为 0.65 100 65  人．…………………………5 分 （2）由直方图知，第二、三组客户人数分别为 10 人和 20 人，所以抽出的 6 人中，第二组有 2 人， 设为 A ， B ；第三组有 4 人，设为 a ，b ， c ， d ． 从中随机抽取 2 人的所有情况如下： AB ， Aa ， Ab ， Ac ， Ad ， Ba ， Bb ， Bc ， Bd ， ab ， ac ， ad ，bc ， bd ， cd 共 15 种， 其中，两人来自不同组的情况有: Aa , Ab , Ac , Ad , Ba , Bb , Bc , Bd 共有 8 种， 所以，得到奖励的人来自不同组的概率为 8 15 ．………………………………12 分 考点：频率分布直方图，古典概型概率 19．(10 分)某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级．现从一批该零件中随机抽取 20 个，对 其等级进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n (1)在抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，求 m，n； (2)在(1)的条件下，从等级为 3 和 5 的所有零件中，任意抽取 2 个，求抽取的 2 个零件等级恰好 相同的概率． 解：(1)由频率分布表得 0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1， 即 m＋n＝0.45. 由抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个， 得 n＝ 2 20 ＝0.1. 所以 m＝0.45－0.1＝0.35.………………………………4 分 (2)等级为 3 的零件有 20×0.15＝3 个，记作 x1，x2，x3；由(1)得，等级为 5 的零件有 2 个，记 作 y1，y2. 从 x1，x2，x3，y1，y2 中任意抽取 2 个零件，所有可能的结果为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)， (x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共计 10 个． 记事件 A 为“从零件 x1，x2，x3，y1，y2 中任取 2 个，其等级相同”，则 A 包含的基本事件为(x1， x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共 4 个． 故所求概率为 P(A)＝ 4 10 ＝0.4.………………………………10 分 20.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为平 行 四 边形，AB=3，AC=4，AD=5，SA  平面 ABCD. （3）证明：AC  平面 SAB; （4）若 SA=2，求三棱锥 A-SCD 的体积. 2 2 2(1) 2 , 4 6 BC AB AC AC AB SA ABCD SA AC AC SA AC AB                证明： 分 平面 即 分 平面S 分 1(2) 83 9 1 1= 4 3 6 102 2 1 1 6 2 4 123 3 A SCD S ACD ACD ACD A SCD S ACD ACD V V S SA SA ABCD SA S AC CD V V S SA                               分 平面 是三棱锥S-ACD的高 分 分 分 21.（本小题满分 12 分）已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 55, 20a S    . （1）求数列 na 的通项公式； （2）求使不等式 n nS a 成立的 n 的最小值。 5 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 5(a a ) (a a 4d) (2a 4d)2 2 2 =5a +10d= 20 a 2 4 2 3 2 1 1 4 1 1 a 5 a 6 S d d d                              2 1解：(1)由题得a =a +d=-5 <1> 分 分 得 分 代入 得 =-6 分 an= +(n-1)d=-6+n-1=n-7 分 1 n 2 2 2 (a a )2 13( 6 7) 82 2 2 13 92 2 15 14 0 (n 1)(n 14) 0 1( ) n 14 11 15 12 n n n n n nS n n nS n n n n                           1 n n n （2）把a =-6,a =n-7代入S = 得 分 a 变为 n-7 分 舍 或 分 最小可取 分 22．（12 分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各 地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可 以确定横轴是从 0 开始计数的． （Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度； （Ⅱ）估计该公司投入 4 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该 组的取值）； （Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入 x（单位： 万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y（单位： 万元） 2 3 2 7 表中的数据显示，x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算 y 关于 x 的 回归方程． 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 xbya xnx yxnyx b n i i n i ii           , 1 22 1 ． 【答案】（Ⅰ） 2 ；（Ⅱ）5；（Ⅲ）5，  1.2 0.2y x  试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算小长方形的宽度；（Ⅱ）平均值 为各组的区间中点值与对应组频率乘积之和，由此可求平均值的估计值；（Ⅲ）首先由（Ⅱ）求得空 白处应为5，由此计算 yx, ，然后结合所给公式求 ab ˆ,ˆ ，从而求出回归直线方程． 试题解析：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为 m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知 (0.08 0.1 0.14 0.12 0.04 0.02) 0.5 1m m        ，故 2m  ；…………3 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12] ， 其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为 0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04 ， 故可估计平均值为1 0.16 3 0.2 5 0.28 7 0.24 9 0.08 11 0.04 5            ； …………………………………………………………………………………………7 分 （Ⅲ）空白栏中填 5． 由题意可知， 1 2 3 4 5 35x      ， 2 3 2 5 7 3.85y      ， 5 1 1 2 2 3 3 2 4 5 5 7 69i i i x y             ， 5 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 5 55i i x        ， 根据公式，可求得 2 69 5 3 3.8 12 1.255 5 3 10b        ，  3.8 1.2 3 0.2a     ， 即回归直线的方程为  1.2 0.2y x  ．…………………………………………12 分 考点：1、频率分布直方图；2、平均数；3、回归直线方程．