山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用课件

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山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用课件

第二章 函数、导数及其应用 第十讲 函数模型及其应用 1   知识梳理 • 双基自测 2     考点突破 • 互动探究 3     名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点 函数模型及其应用 1 . 几类常见的函数模型 2. 三种函数模型的性质 递增 递增 快 慢 y 轴 x 轴 3. 解函数应用问题的步骤 (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2) 建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3) 解模:求解数学模型,得出数学结论; (4) 还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下: ABCD 题组二 走进教材 2 . ( 必修 1P 107 BT1 改编 ) 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是 (    ) A .收入最高值与收入最低值的比是 3 ∶1 B .结余最高的月份是 7 月 C . 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D .前 6 个月的平均收入为 40 万元 D 3 . ( 必修 1P 104 例 5 改编 ) 某种动物繁殖量 y 只与时间 x 年的关系为 y = a log 3 ( x + 1) ,设这种动物第 2 年有 100 只,到第 8 年它们将发展到 (    ) A . 200 只 B . 300 只 C . 400 只 D . 500 只 [ 解析 ]   ∵ 繁殖数量 y 只与时间 x 年的关系为 y = a log 3 ( x + 1) ,这种动物第 2 年有 100 只, ∴ 100 = a log 3 (2 + 1) , ∴ a = 100 , ∴ y = 100log 3 ( x + 1) , ∴ 当 x = 8 时, y = 100log 3 (8 + 1) = 100 × 2 = 200. 故选 A . A 18 题组三 考题再现 5 . (2015 · 北京, 5 分 ) 某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况 . 注: “ 累计里程 ” 指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为 (    ) A . 6 升 B . 8 升 C . 10 升 D . 12 升 B 加油时间 加油量 / 升 加油时的累计里程 / 千米 2015 年 5 月 1 日 12 35 000 2015 年 5 月 15 日 48 35 600 [ 解析 ]   因为第一次 ( 即 5 月 1 日 ) 把油加满,而第二次把油加满加了 48 升,即汽车行驶 35 600 - 35 000 = 600 千米耗油 48 升,所以每 100 千米的耗油量为 8 升,选 B . 6 . (2015 · 四川, 5 分 ) 某食品的保鲜时间 y ( 单位:时 ) 与储藏温度 x ( 单位:℃ ) 满足函数关系 y = e kx + b (e = 2.718 … 为自然对数的底数, k , b 为常数 ) .若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃ 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是 ________ 小时. 24 考点突破 • 互动探究 (1) (2017 · 全国卷 Ⅲ ) 某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量 ( 单位:万人 ) 的数据,绘制了下面的折线图. 考点 函数模型及应用 考向 1  利用函数图象刻画实际问题的变化过程 —— 自主练透 例 1 根据该折线图,下列结论错误的是 (    ) A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D .各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳 A (2) 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 ℃ , B 点表示四月的平均最低气温约为 5 ℃. 下面叙述不正确的是 (    ) A .各月的平均最低气温都在 0 ℃ 以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均最高气温高于 20 ℃ 的月份有 5 个 D (3) 如图,圆 O 的半径为 1 , A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M . 将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在 [0 , π] 的图象大致为 (    ) B [ 解析 ]   (1) 通过题图可知 A 不正确,并不是逐月增加,但是每一年是递增的,所以 B 正确.从图观察 C 是正确的, D 也正确, 1 月至 6 月比较平稳, 7 月至 12 月波动比较大.故选 A . (2) 由图形可得各月的平均最低气温都在 0 ℃ 以上, A 正确;七月的平均温差约为 10 ℃ ,而一月的平均温差约为 5 ℃ ,故 B 正确;三月和十一月的平均最高气温都在 10 ℃ 左右,基本相同, C 正确;平均最高气温高于 20 ℃ 的月份只有 2 个, D 错误.故选 D . 1 . 用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律 ( 如增长的快慢、最大、最小等 ) 与函数的性质 ( 如单调性、最值等 ) 、图象 ( 增加、减少的缓急等 ) 相吻合即可. 2 . 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1) 构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2) 验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. (2020 · 北京十一中月考 ) 已知 14 C 的半衰期为 5 730 年 ( 是指经过 5 730 年后, 14 C 的残余量占原始量的一半 ) .设 14 C 的原始量为 a ,经过 x 年后的残余量为 b ,残余量 b 与原始量 a 的关系为 b = a e - kx ,其中 x 表示经过的时间, k 为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时 14 C 的残余量约占原始量的 76.7 % . 请你推断一下马王堆汉墓修建距今约 _____________ 年. ( 参考数据: log 2 0.767≈ - 0.4) . 2 292 例 2 考向 2  已知函数模型解决实际问题 —— 师生共研 〔 变式训练 1〕 (2020 · 山西太原模拟 ) 某公司为了业务发展,制定了一项激励销售人员的奖励方案:销售额为 8 万元时,奖励 1 万元;销售额为 64 万元时,奖励 4 万元,若公司拟定的奖励模型为 y = a log 4 x + b ( 其中 x 为销售额, y 为相应的奖金 ) .某业务员要得到 8 万元奖励,则他的销售额应为 _____________ 万元. 1 024 季节性商品的销售当旺季来临时,价格呈上升趋势,设某商品开始时定价为 10 元,并且每周 (7 天 ) 涨价 2 元, 5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售, 10 周后旺季过去,平均每周减价 2 元,直到 16 周后,该商品不再销售. (1) 试建立价格 p 与周次 t 之间的函数关系式; (2) 若此商品每周进货一次,每件进价 Q 与周次之间的关系式为 Q =- 0.125( t - 8) 2 + 12 , t ∈[0,16] , t ∈ N ,试问该商品第几周每件销售利润最大?最大值是多少? 考向 3  构建函数模型解决实际问题 —— 多维探究 角度 1  一次函数、二次函数分段函数模型 例 3 当 t ∈ [0,5] , t ∈ N 时, L ( t ) max = L (5) = 9.125 ; 当 t ∈ (5,10] , t ∈ N 时, L ( t ) max = L (6) = L (10) = 8.5 ; 当 t ∈ (10,16] , t ∈ N 时, L ( t ) 单调递减, L ( t ) max = L (11) = 7.125. 由 9.125>8.5>7.125 ,知 L ( t ) max = 9.125. 从而第 5 周每件销售利润最大,最大值为 9.125 元. (1) 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值. (2) 构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理,不重不漏. (3) 分段函数的最大 ( 小 ) 值是各段最大 ( 小 ) 值中的最大 ( 小 ) 值. 例 4 角度 2  指数函数与对数函数模型 指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1) 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在两类模型中,指数函数模型是增长速度越来越快 ( 底数大于 1) 的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型. (2) 在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题. 〔 变式训练 2〕 (1) ( 角度 1) (2020 · 四川绵阳诊断性测试 ) 某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过 10 立方米的,按每立方米 3 元收费;用水超过 10 立方米的,超过的部分按每立方米 5 元收费.某职工某月的水费为 55 元,则该职工这个月实际用水为 (    ) A . 13 立方米 B . 14 立方米 C . 15 立方米 D . 16 立方米 C ① 从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y ( 毫克 ) 与时间 t ( 小时 ) 之间的函数 关系式为 _________ __ _____ __ __ __ __ ; ②据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么,药物释放开始,至少需要经过 __________ 小时后,学生才能回到教室. 0.6 名师讲坛 • 素养提升 例 5 (1) 写出年利润 L ( x )( 万元 ) 关于年产量 x ( 万件 ) 的函数解析式; ( 注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本 ) (2) 年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? 〔 变式训练 3〕 某村计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室、在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为 ____________ 时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是 __________. 40 m,20 m 648 m 2
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