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文档介绍
【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版7-6直接证明与间接证明学案
§7.6 直接证明与间接证明 最新考纲 考情考向分析 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点. 2.了解反证法的思考过程和特点. 常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何,不等式的证明为载体加以考查,注意提高分析问题、解决问题的能力;在高考中主要以解答题的形式考查,难度为中档. 1.直接证明 内容 综合法 分析法 定义 从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论的方法,是一种从原因推导到结果的思维方法 从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法,是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法 特点 从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的必要条件 从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件 步骤的符号表示 P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论) B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知) 2.间接证明 (1)反证法的定义: 一般地,由证明p⇒q转向证明 綈q⇒r⇒…⇒t t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定綈q为假,推出q为真的方法,叫做反证法. (2)应用反证法证明数学命题的一般步骤: ①分清命题的条件和结论; ②做出与命题结论相矛盾的假定; ③由假定出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果; ④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真. 概念方法微思考 1.直接证明中的综合法是演绎推理吗? 提示 是.用综合法证明时常省略大前提. 2.综合法与分析法的推理过程有何区别? 提示 综合法是执因索果,分析法是执果索因,推理方式是互逆的. 3.反证法是“要证原命题成立,只需证其逆否命题成立”的推理方法吗? 提示 不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( × ) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( × ) (3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“aQ B.P=Q C.PQ2,又∵P>0,Q>0,∴P>Q. 3.设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,则+等于( ) A.1 B.2 C.4 D.6 答案 B 解析 由题意,得x=,y=,b2=ac, ∴xy=, +== == == ==2. 题组三 易错自纠 4.若a,b,c为实数,且aab>b2 C.< D.> 答案 B 解析 a2-ab=a(a-b), ∵a0, ∴a2>ab.① 又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,② 由①②得a2>ab>b2. 5.用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要作的假设是( ) A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 答案 A 解析 方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根,故选A. 6.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为________. 答案 等边三角形 解析 由题意得2B=A+C, ∵A+B+C=π,∴B=,又b2=ac, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac, ∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c, ∴A=C,∴A=B=C=, ∴△ABC为等边三角形. 题型一 综合法的应用 例1 已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证: (1)++≤; (2)++≥. 证明 (1)∵(++)2=(a+b+c)+2+2+2≤(a+b+c)+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3, ∴++≤(当且仅当a=b=c时取等号). (2)∵a>0,∴3a+1>1, ∴+(3a+1)≥2=4, ∴≥3-3a, 同理得≥3-3b,≥3-3c, 以上三式相加得 4≥9-3(a+b+c)=6, ∴++≥(当且仅当a=b=c=时取等号). 思维升华 (1)从已知出发,逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法;(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程,也是使用的综合法. 跟踪训练1 设Tn是数列{an}的前n项之积,并满足:Tn=1-an. (1)证明:数列是等差数列; (2)令bn=,证明:{bn}的前n项和Sn<. 证明 (1)∵an+1== ⇒= ⇒-=1, ∴-=1, 又∵T1=1-a1=a1, ∴a1=,∴==2, ∴数列是以2为首项,公差为1的等差数列. (2)∵=+(n-1)×1, ∴=n+1⇒an=(n∈N+), ∴bn=== <=, ∴Sn=b1+b2+…+bn <× =×<×=. 题型二 分析法的应用 例2 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c. 求证:+=. 证明 要证+=, 即证+=3,也就是+=1, 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证c2+a2=ac+b2, 又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°, 由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60°, 即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立. 思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件. (2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法. 跟踪训练2 已知a>0,证明:-≥a+-2. 证明 要证-≥ a+-2, 只需证 ≥-(2-). 因为a>0,所以-(2-)>0, 所以只需证2≥2, 即2(2-)≥8-4, 只需证a+≥2. 因为a>0,a+≥2显然成立 , 所以要证的不等式成立. 题型三 反证法的应用 例3 设a>0,b>0,且a+b=+.证明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. 证明 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由均值不等式及ab=1, 有a+b≥2=2,即a+b≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立. (2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立, 则由a2+a<2及a>0,得00, 即cos(A+C)>0,所以A+C是锐角, 从而B>,故△ABC必是钝角三角形. 2.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是( ) A.x2>1 B.x2>4 C.x2>0 D.x2>1 答案 C 解析 因为x>0,所以要证<1+, 只需证()2<2, 即证0<,即证x2>0, 因为x>0,所以x2>0成立, 故原不等式成立. 3.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 答案 A 解析 由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是( ) A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤ 答案 C 解析 若a=,b=,则a+b>1, 但a<1,b<1,故①推不出; 若a=b=1,则a+b=2,故②推不出; 若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出; 若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出; 对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1, 下面用反证法证明: 假设a≤1且b≤1, 则a+b≤2与a+b>2矛盾, 因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1. 6.用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设________. 答案 x≠-1且x≠1 解析 “x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”. 7.如果a+b>a+b成立,则a,b应满足的条件是__________________________. 答案 a≥0,b≥0且a≠b 解析 ∵a+b-(a+b) =(a-b)+(b-a) =(-)(a-b) =(-)2(+). ∴当a≥0,b≥0且a≠b时,(-)2(+)>0. ∴a+b>a+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b. 8.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中n∈N+,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为____________. 答案 cn+1 0,b>0,如果不等式+≥恒成立,则m的最大值为________. 答案 9 解析 因为a>0,b>0,所以2a+b>0. 所以不等式可化为m≤(2a+b) =5+2. 因为5+2≥5+4=9,当且仅当a=b时,等号成立, 即其最小值为9,所以m≤9,即m的最大值等于9. 10.在不等边三角形ABC中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足________. 答案 a2>b2+c2 解析 由余弦定理cos A=<0, 得b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2. 11.若a,b,c是不全相等的正数,求证: lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c. 证明 ∵a,b,c∈(0,+∞), ∴≥ >0,≥ >0,≥ >0. 由于a,b,c是不全相等的正数, ∴上述三个不等式中等号不能同时成立, ∴··>abc>0成立. 上式两边同时取常用对数,得 lg>lg abc, ∴lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c. 12.若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由题设得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知, g(1)=1,g(b)=b,即b2-b+=b,解得b=1或b=3. 因为b>1,所以b=3. (2)假设存在常数a,b (a>-2),使函数h(x)=是区间[a,b] 上的“四维光军”函数, 因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减, 所以有即 解得a=b,这与已知矛盾.故不存在. 13.已知函数f(x)=x,a,b是正实数,A=f,B=f(),C=f,则A,B,C的大小关系为( ) A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 答案 A 解析 ∵≥≥, 又f(x)=x在R上是减函数. ∴f ≤f()≤f ,即A≤B≤C. 14.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是____________. 答案 解析 方法一 (补集法)若二次函数f(x)≤0在区间[-1,1]内恒成立, 则 解得p≤-3或p≥, 故满足题干条件的p的取值范围为. 方法二 (直接法)依题意有f(-1)>0或f(1)>0,即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,得- k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”. (1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”; (2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列. 证明 (1)因为{an}是等差数列,设其公差为d, 则an=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时, an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d =2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3, 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an, 因此等差数列{an}是“P(3)数列”. (2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此, 当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,① 当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3 =6an.② 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④ 将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4, 所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′. 在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4, 所以a2=a3-d′, 在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3, 所以a1=a3-2d′,所以数列{an}是等差数列.
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