2020年甘肃省天水市第一中学高考第二次模拟考试数学试题(含解析)

2020年甘肃省天水市第一中学高考第二次模拟考试数学试题(含解析)

2020 年甘肃省天水市第一中学高考第二次模拟考试数学试题 一、单选题 1．已知直线l 的倾斜角为 且过点 ( 3,1) ，其中 1sin( )2 2 pq- = ，则直线l 的方程为( ) A． 3 2 0x y   B． 3 4 0x y   C． 3 0x y  D． 3 3 6 0x y+ - = 2．设 ,A B 是椭圆 2 2 : 112 2 x yC   的两个焦点，点 P 是椭圆C 与圆 2 2: 10M x y  的一个交点， 则 PA PB  （ ） A． 2 2 B． 4 3 C． 4 2 D． 6 2 3．已知 2a  ， 2b  ，且 ( )b a b   ，则向量 a  在b  方向上的投影为（ ） A．1 B． 2 C． 2 D． 2 2 4．某人坚持跑步锻炼，根据他最近 20 周的跑步数据，制成如下条形图： 根据条形图判断，下列结论正确的是（ ） A．周跑步里程逐渐增加 B．这 20 周跑步里程平均数大于 30km C．这 20 周跑步里程中位数大于 30km D．前 10 周的周跑步里程的极差大于后 10 周的周跑步里程的极差 5．执行如图所示的程序框图，则输出的i  （ ） A．3 B． 4 C．5 D． 6 6．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M N， 分别是线段 1 1AB BC， 的中点，以下结论：① 1AA 丄 MN ； ② MN 与 AC 异面；③ MN 丄面 1 1BDD B ；其中正确的是（ ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 7．已知         sin cos 2 cos tanf a            ，则 31( )3f  的值为（ ） A． 1 2 B． 1 3  C． 1 2  D． 1 3 8．若函数 2( ) ( 2) ( 1) 3f x k x k x     是偶函数，则函数 32)( 2  xkxxg 的递减区间是（ ） A．  ,1 B．   ,1 C．  1, D．  1, 9．为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了 个成年人，结果其中有 个成年人 吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（ ） A．调查的方式是普查 B．本地区约有 %的成年人吸烟 C．样本是 个吸烟的成年人 D．本地区只有 个成年人不吸烟 10．已知集合 { |( 3)( 1) 0}A x x x    ， { 1| 1}B x x  ‖ ，则 RC A B  （ ） A．[ 1,0) (2,3]  B． (2,3] C． ( , 0) (2, )  D． ( 1,0) (2,3)  11．已知 1.50.5a  ， 6log 15b  ， 5log 16c  ，则 A． b c a  B． c b a  C． a b c  D． a c b  12．设 ( )f x 在定义域内可导， ( )y f x 的图像如图所示，则导函数 ( )y f x 的图像可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．复数 z 满足 0zz z z   ，则 z 对应点的轨迹是________. 14．中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造.算筹记数的方法是：个 位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如138 可用算筹表示为 1 9 这9个数字的纵式与横式表示数码如上图所示，则 23 3416 27 的运算结果可用算筹表示为 ___________. 15．在平面直角坐标系中，角α的终边经过点 P（﹣1， 3 ），则 sinα＝_____. 16．将底边长为 2 的等腰直角三角形 ABC 沿高线 AD 折起，使 60BDC   ，若折起后 A 、 B 、 C 、 D 四点都在球O 的表面上，则球O 的体积为__________． 三、解答题 17．已知：a，b， c R 且 2 3 1a b c   ，求证： 2 2 2 1 14a b c   ． 18．已知数列   ,n na b 满足： 1 11 2 , , 2n n n na a n b a n b       . （1）证明数列 nb 是等比数列，并求数列 nb 的通项； （2）求数列 na 的前 n 项和 nS . 19．(本小题满分 14 分) 四棱锥 P ABCD 中，PD PC ，底面 ABCD 为直角梯形，AB BC ，AB CD∥ ， 2CD AB ， 点 M 为 CD 的中点． （1）求证： AM ∥平面 PBC； （2）求证：CD PA ． 20．在直角坐标系 xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．圆 1C 和直线 2C 的 极坐标方程分别为 4sin  ， cos( ) 2 24     ． (1)求圆 1C 和直线 2C 的直角坐标方程． (2)求圆 1C 和直线 2C 交点的极坐标． 21． 如图，已知双曲线   2 2 2: 1 0xC y aa    的右焦点为 F ,点 ,A B 分别在C 的两条渐近线上， AF x 轴， AB OB , / /BF OA (O 为坐标原点）. （1）求双曲线C 的方程； （2）过C 上一点   0 0 0, 0P x y y  的直线 0 02: 1x xl y ya   与直线 AF 相交于点 M ，与直线 3 2x  相交于点 N ，证明：点 P 在C 上移动时， MF NF 恒为定值，并求此定值. 22．已知函数     f x x x m x n   ． （I）当 2n  时，若函数  f x 在 1,3 上单调递减，求实数 m 的取值范围； （II）若 0, 2 2m n m n    ，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线  f x 均相切，求 m 和 n 的值． 23．某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h )，随机选择了 n 名同学进行调查，下表是这 n 名同学的日睡眠时间的频率分布表： （1）求 n 的值，若 20a  ，将表中数据补全，并画出频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间 4,5 的中点值是 4.5 )作为代表， 若据此计算的上述数据的平均值为 6.52 ，求 ,a b 的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间 在 7 小时以上的概率. 【答案与解析】 1．B 先求出直线的斜率，代入点斜式方程，再转化为一般式，即可得到答案 1 2 2sin      ， 1cos 2    ， 2  3   则 tan 3   直线方程为：  1 3 3y x    ，即 3 4 0x y   故选 B 本题考查的知识点是直线的点斜式方程，直线的斜率，较为基础． 2．C 由题意知  22 2 2 4 3 2 40 PA PB a PA PB c        ，  2 2 2 2PA PB PA PB PA PB     ，解得 2 8PA PB  ，  2 2 2 2 32PA PB PA PB PA PB      ， 4 2PA PB  ，故选 C. 3．B 设 a  和b  的夹角为 ，根据已知得 2cos 2   ，再求出向量 a  在b  方向上的投影. 设 a  和b  的夹角为 ， 因为 ( )b a b   ， 所以 2 2( )= 2 2 cos 2 0, cos 2b a b a b b               . 所以向量 a  在b  方向上的投影为 2 cos 2  . 故选：B 本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量投影的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平. 4．D 由统计图表可知，周跑步里程的变化情况，也可判断平均和中位数，极差从而可选出答案. 解：从统计图表看，周跑步里程并不是逐渐增加，所以 A 不正确； 从表中看，20 周中，周跑步里程大于 30km 的有 6 周，所以平均数和中位数都不可能大于 30km，所 以 B,C 不正确； 由统计图表中的数据可得，前前 10 周的周跑步里程的极差为 10km，后 10 周的周跑步里程的极差 小 10km，所以 D 正确 故选：D 本小题主要考查统计图表等基础知识；考查数据处理能力和应用意识；考查统计思想. 5．C 分析：模拟执行程序框图即可. 详解：模拟执行程序框图，可得： 1, 1, 2 lg1 2, 2x i t i      ， 不满足 1t  ，执行循环体， 2, 3, 2 lg3, 3i x t i     ； 不满足 1t  ，执行循环体， 3, 9, 2 lg9, 4i x t i     ； 不满足 1t  ，执行循环体， 4, 27, 2 lg 27, 5i x t i     ； 满足 1t  ，退出循环，输出 i 的值为 5. 故选：C. 点睛：(1)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件 进行判断； (2)对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两 个分支． 6．C 连接 1 1 1, ,B C BD B D ，由中位线定理可判断②；由线面垂直的性质可判断①；由线面垂直的判断和 性质可判断③. 连接 1 1 1, ,B C BD B D ， 由 MN 为 1ACB 的中位线可得 / /MN AC ，故②错误； 由 1AA  平面 AC ，可得 1AA AC ，即有 1AA MN ，故①正确； 由 BD AC ， 1AC B B ，可得 AC  平面 1 1BDD B ， / /AC MN ， 即有 MN  面 1 1BDD B ，故③正确，故选 C. 本题主要考查异面直线的定义以及线面垂直的判定定理，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系 时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用 有关的定理，找出足够的条件进行推理. 7．C 分析：由已知得 f（a）=       sin cos 2 cos tan            =  sin cos cos tan       =﹣cosα，由此能求出 f（ 31 3  ） 的值． 详解： ∵f（a）=       sin cos 2 cos tan            =  sin cos cos tan       =﹣cosα， ∴f（ 31 3  ）=﹣cos（ 31 3  ） =﹣cos（10 + 3  ） =﹣cos 3  =﹣ 1 2 ． 故答案为 C. 点睛：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式的合理运用．一 般sin cos sin cos    ， ，sin *cos  ，这三者我们成为三姐妹，结合 2 2sin cos 1   ， 可以知一求三． 8．D 试 题 分 析 ： 若 函 数 是 偶 函 数 ， 需 满 足    xfxf  ， 则 01 k ， 所 以 1k ， 那 么   322  xxxg ，函数的对称轴是 1x ，所以函数的单调递减区间是  1, ，故选 D. 考点：函数的基本性质 9．B 试题分析：调查方式显然时抽样调查， A 错误．样本是这 个成年人． C 也错误，因为是样 本中只有 个成年人不吸烟，显然 D 不正确．故应选 B．. 考点：样本估计总体的应用. 10．A 解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合 A ， B 利用集合的交、补运算求得结果. 因为集合 { |( 3)( 1) 0}A x x x    ， { 1| 1}B x x  ‖ ， 所以 { | 3A x x  或 1}x   ， { | 2B x x  或 0}x  ， 所以 { | 1 3}RC A x x    ， 所以 RC A B  { | 2 3x x  或 1 0}x   ，故选 A. 本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算. 11．A 1.5 1.5 6 5 5log 15 log 15 log 16 2 2 0.5     b c a   故选 A 12．D 先从 f（x）的图象判断出 f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函 数的符号，判断出导函数的图象. 由 f（x）的图象判断出 f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增 ∴在区间（﹣∞，0）上 f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有 f′（x）＞0 再有 f′（x）＜0 再有 f′ （x）＞0 故选 D． 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增， 当导函数小于 0 时原函数单调递减，属于基础题. 13．圆 2 2 2 0x y x   设 z x yi  ，代入 0zz z z   整理化简即可. 解：设 z x yi  ， 则       0x yi x yi x yi x yi      ， 整理得 2 2 2 0x y x   ， 即 z 对应点的轨迹是圆 2 2 2 0x y x   . 故答案为：圆 2 2 2 0x y x   . 本题考查共轭复数的概念，复数的运算及复数的几何意义，是基础题. 14． 先算出 23 3416 27 72  ，再根据表示数码写出相应结果. 解： 23 3416 27 72  ， 从题中所给表示数码知 72 可用算筹 表示. 故答案为： . 本题主要考查指数运算，考查运算能力，属于基础题. 15． 3 2 根据正弦函数定义求结果. 因为角α的终边经过点 P（﹣1， 3 ）， 所以 2 2 3 3sin 2( 1) ( 3)      故答案为： 3 2 本题考查正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 16． 7 21 π54 如图所示，在长宽高分别为1,1, 3 的长方体中，球心 O 位于上下底面中心的连线上， 设球心坐标为点 O，由题意可得：  2 2 21 32 R R       ，解得： 7 2 3 R  ， 则球 O 的体积为： 34 7 21 3 54V R   . 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形， 明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内 切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正 方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 17．证明见解析. 构造柯西不等式，即可得出结果. 由柯西不等式，得      22 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1a b c a b c            ， ∴ 2 2 2 1 14a b c   ． 当且仅当 1 2 3 a b c  ， 即 1 14 a ， 2 14 b ， 3 14 c 时取等号． 本题考查了柯西不等式的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目. 18．（1）见证明；（2） nS 2 12 2 2 n n n    （1）由 1 2 1n na a n    变形得    1 1 2n na n a n     ，即 1 2n nb b  ，从而可证得结论成立， 进而可求出通项公式；（2）由（1）及条件可求出 2n na n  ，然后根据分组求和法可得 nS ． （1）证明：因为 n nb a n  ， 所以 n nb a n  ． 因为 1 2 1n na a n    所以    1 1 2n na n a n     所以 1 2n nb b  ． 又 1 2b  ， 所以 nb 是首项为 1 2b  ，公比为 2 的等比数列， 所以 12 2 2n n nb    ． （2）解：由（1）可得 2n n na b n n    ， 所以  1 2 32 2 2 2n nS       1 2 3 n        2 1 2 1 1 2 2 n n n   2 12 2 2 n n n    ． 证明数列 nb 为等比数列时，在得到 1 2n nb b  后，不要忘了说明数列中没有零项这一步骤．另外， 对于数列的求和问题，解题时要根据通项公式的特点选择合适的方法进行求解，属于基础题． 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 解：（1） , , 2AB CD MC MD CD AB  ∥ ， AB  CM 且 AB CM ， 四边形 ABCM 为平行四边形，………………………………………………3 分 AM BC ∥ ， 又 ,BC PBC AM PBC  面 面 AM PBC ∥面 ；………………………………………………………………7 分 （2） PC PD ，M 为 CD 的中点，  PM CD ………………………………………………………………………9 分 又 , ,BC AB AM BC CD AB ∥ ∥ CD AM  ……………………………………………………………… ……11 分 = , ,AM PM M AM PM PAM又 面 ，  CD PAM 面 ， PA PAM 面 ， CD PA  ．……………………………………………………14 分 （注：证明逻辑段若缺少条件，则该逻辑段及以下过程均不给分） 20．（1）  22 1 2: 2 4, : 4 0C x y C x y      ；（2） 4, , 2 2,2 4             试题分析：本题考查选修内容极坐标与参数方程，要学会极坐标与直角坐标的转化，包括点的坐标 转化与曲线方程的转化，利用公式 2 2 2cos , sin ,x y x y        ，把极坐标方程化为直角 坐标方程，联立方程组解方程组，得出方程组的解写出交点的坐标，再把直角坐标化为极坐标. 试题解析： (1)由 2 2 2cos , sin , , 4sinx y x y           ,即为 2 4 sin   ,即有 2 2 4x y y  ， cos( ) 2 24     ,即为 2 2( cos sin ) 2 22 2     ,即 4 0x y   ,即有 2 2 1 2: ( 2) 4, : 4 0C x y C x y      ； (2)将直线和圆的方程联立后,即 2 2 4 0 4 0 x y x y y        ，计算得出直角坐标为 (0,4) , (2,2) ,则交点 的极坐标为 (4, )2  , (2 2, )4  . 【点睛】本题考查选修内容极坐标与参数方程，要学会极坐标与直角坐标的转化，包括点的坐标转 化与曲线方程的转化，不论是点的坐标转化与曲线方程的转化，都是利用公式 2 2 2cos , sin ,x y x y        进行转化，求两条直线或曲线的交点坐标，需要联立方程组 解方程组，得出方程组的解写出交点的坐标. 21．（1） 2 2 1.3 x y  （2） 2 3 3 MF NF  （1）确定 a 的值即可求出双曲线C 的方程，由直线OB 和 BF 方程联立求出点 B 的坐标，再根据 AB OB ，即 1AB OBk k   ，即可求出 a 的值； （2）联立直线l 和直线 AF 的方程求出点 M ，联立直线l 和直线 3 2x  的方程求出点 N ，即可得 到 2 2 MF NF 的表达式，再根据点  0 0,P x y 在双曲线 C 上，化简即可得到 2 2 4 3 MF NF  ，即命题得证． （1）设 (c,0)F ，因为 1b  ，所以 2 1c a  ． 由题意可得，直线 OB 方程为 1y xa   ，直线 BF 的方程为 1 ( )y x ca   ，联立解得 ( , )2 2 c cB a  ， 而直线 OA 的方程为 1y xa  ，则 ( , ),cA c a ∴ 3 .ABk a  又因为 AB  OB，所以 3 1( ) 1a a     ，解得 2 3a  ，故双曲线 C 的方程为 2 2 1.3 x y  （2）由（1）知 3a  ，则直线l 的方程为 0 0 01( 0)3 x x y y y   ，即 0 0 3 3 x xy y  因为直线 AF 的方程为 2x  ，所以直线l 与 AF 的交点 0 0 2 3(2, )3 xM y  ， 直线l 与直线 3 2x  的交点为 0 0 3 33 2( , )2 3 x N y  ，则 2 2 0 2 2 2 0 0 4(2 3) 9[ ( 2) ] MF x y xNF    ． 因为  0 0,P x y 是 C 上一点，则 2 20 0 1.3 x y  ，代入上式得 2 2 2 0 0 2 22 2 200 0 0 4(2 3) 4(2 3) 4 9[ ( 2) ] 39[ 1 ( 2) ]3 MF x x xy xNF x         ，故所求定值为 2 3 3 MF NF  ． 本题主要考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单几何性质的应用，直线与直线的位置关系的应用， 以及双曲线中的定值问题的解法应用，意在考查数学的数学运算能力，属于中档题． 22．(I) 15[ , )4  ，（II） 2 1, 2 1m n    （I）先求得函数的导数，根据函数  f x 在区间 1,3 上为减函数，列不等式组，解不等式组求得 m 的取值范围.（II）设切点的坐标，利用导数求得切线方程，并将原点坐标代入切线方程，求得切点 的横坐标，由此求得两条切线的斜率，利用斜率乘积为 1 求得 mn 的值，结合 m n 的值解方程求 出 ,m n 的值. （I）当 2n  时， 3 2( ) ( 2) 2f x x m x mx    ，则 2( ) 3 2( 2) 2f x x m x m    ，函数 ( )f x 在 [1,3]上单调递减，则有： (1) 3 2( 2) 2 0,{ (3) 27 6( 2) 2 0, f m m f m m             解得 15 4m  ，故实数 m 的取值范围是 15[ , )4  ； （II）设切点 0 0( , )Q x y ， 3 2 0 0 0 02 2y x x mnx   则切线的斜率  ' 2 0 0 03 4 2k f x x x mn    ，所以切线的方程是  3 2 2 2 0 0 0 0 0 02 2 3 4 2y x x mnx x x mn x x         又切线过原点，则 3 2 2 3 2 0 0 0 0 0 02 2 3 4 2x x mnx x x mnx       ，所以 3 2 0 02 2 2 0x x  ，解得 0 0x  ，或 0 2x  ． 两条切线的斜率为 1 (0)k f mn  ，  ' 2 2 2k f mn   ，所以 1 2 1k k   ，所以  2 2 1mn mn   ，所以 1mn  ， 由 0, 2 2m n m n    得 2 1, 2 1m n    . 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查有关切线方程的问题，考查方程的思想，属于中 档题. 23．（1） 50n  ，图形见解析；（2） 15a  ， 15b  ． 0.38 （1）由题意可得 6 500.12n   ，当 20a  时，对应的频率为 20 0.450  ，故b 对应的频率为 1 0.12 0.2 0.4 0.08 0.8     ，故频率 0.2 对应的频数为50 0.2 10  ，0.08 对应的频率为 50 0.08 4  ，故可得到完整的频率分步表，由此画出频率分步直方图． （2）由题意可得 50 6 10 4 30a b      ，且 4.5 0.12 5.5 0.2 6.5 7.5 8.5 0.08 6.5250 50 a b          ，由此求得 a 和b 的值，从而求得学生的睡 眠时间在 7 小时以上的频率． 解：（1）由题意可得 6 500.12n   ，当 20a  时，对应的频率为 20 0.450  ，故b 对应的频率为 1 0.12 0.2 0.4 0.08 0.8     ， 故频率 0.2 对应的频数为50 0.2 10  ，0.08 对应的频率为50 0.08 4  ． 故表格中的数据分别为： 序号i 分组（睡眠时间） 频数（人数） 频率 1 [4 ，5) 6 0.12 2 [5 ， 6) 10 0.20 3 [6 ， 7) 20a  0.4 4 [7 ，8) 10b  0.2 5 [8 ，9) 4 0.08 频率分步直方图为： （2）由题意可得 50 6 10 4 30a b      ， 且 4.5 0.12 5.5 0.2 6.5 7.5 8.5 0.08 6.5250 50 a b          ， 即 30a b  ，且13 15 420a b  ，解得 15a  ， 15b  ． 故学生的睡眠时间在 7 小时以上的频率等于 15 0.08 0.3850   ． 本题主要考查频率分布表和频率分布直方图，用样本的频率估计总体的频率，体现了数形结合的数 学思想，属于基础题．