高考数学一轮复习讲义—10空间中的平行关系

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高考数学一轮复习讲义—10空间中的平行关系

一.【课标要求】 1.平面的基本性质与推论 借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出 空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理: ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内; ◆公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面; ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线; ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行; ◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 2.空间中的平行关系 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论 证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认, 归纳出以下判定定理: ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行; ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; 通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明: ◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行; ◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行; ◆垂直于同一个平面的两条直线平行 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 二.【命题走向】 立体几何在高考中占据重要的地位,通过近几年的高考情况分析,考察的重点及难 点稳定,高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察 重点。在难度上也始终以中等偏难为主,在新课标教材中将立体几何要求进行了降低, 重点在对图形及几何体的认识上,实现平面到空间的转化,示知识深化和拓展的重点, 因而在这部分知识点上命题,将是重中之重。 预测 2019 年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系: (1)考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题; (2)在考题上的特点为:热点问题为平面的基本性质,考察线线、线面和面面关系 的论证,此类题目将以客观题和解答题的第一步为主 三.【要点精讲】 1.平面概述 (1)平面的两个特征:①无限延展 ②平的(没有厚度) (2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面 (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母、、等表示,如平面、平面;用表示平行 四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面 AC。 2.三公理三推论: 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内: A,B,A,B 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点 的集合是一条过这个公共点的直线。 公理 3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面 3.空间直线: (1)空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点; 平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和平行直线也称为共 面直线。 异面直线的画法常用的有下列三种: (2)平 行直线: 在平面 几 何 中 , 平行于同一 条 直 线 的 两条直线互 相 平 行 , 这个结论在空间也是成立的。即公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (3)异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点 的直线是异面直线。推理模式: 与 a 是异面直线。 4.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点); (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点); (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类。 它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为 , , 。 线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行。推理模式: . 线面平行的性 α⊂l , , ,A B a B aα α α∉ ∈ ⊂ ∉ ⇒ AB a α⊂ a Aα = //a α a α a Aα a α , , // //a b a b aα α α⊄ ⊂ ⇒ a b a b a bβ α α α b a b a αα PP a b β α 质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行 推理模式: . 5.两个平面的位置关系有两种:两平面相交(有一条公共直线)、两平面平行(没 有公共点) (1)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面, 那么这两个平面平行。 定理的模式: 推论:如果一个平面内有两条相交直线分 别平行 于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行。 推论模式: (2)两个平面平行的性质(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平 行于另一个平面;(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 四.【典例解析】 题型 1:共线、共点和共面问题 例 1.(1)如图所示,平面 ABD 平面 BCD =直线 BD ,M 、N 、P 、Q 分别为线 段 AB 、BC 、CD 、DA 上的点,四边形 MNPQ 是以 PN 、QM 为腰的梯形。 试证明三直线 BD 、MQ 、NP 共点。 证明:∵ 四边形 MNPQ 是梯形,且 MQ 、NP 是腰, ∴直线 MQ 、NP 必相交于某一点 O 。 ∵ O 直线 MQ ;直线 MQ 平面 ABD , ∴O 平面 ABD。 // , , //a a b a bα β α β⊂ = ⇒ // // // a b a b P a b β β α β α α ⊂  ⊂ = ⇒     , , , , , , // , // //a b P a b a b P a b a a b bα α β β α β′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⊂ ⊂ = ⊂ ⊂ ⇒  c baβ α 同理,O 平面 BCD ,又两平面 ABD 、BCD 的交线为 BD , 故由公理二知,O 直线 BD ,从而三直线 BD 、MQ 、NP 共点。 点评:由已知条件,直线 MQ 、NP 必相交于一点 O ,因此,问题转化为求证点 O 在直线 BD 上,由公理二,就是要寻找两个平面,使直线 BD 是这两个平面的交线,同时 点 O 是这两个平面的公共点即可.“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证 明“点在直线上”的问题。 (2)如图所示,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,直线 AB,BC,AD,DC 分别与平 面α相交于点 E,G,H,F.求证:E,F,G,H 四点必定共线 证明:∵AB∥CD, ∴AB,CD 确定一个平面β. 又∵ABα=E,ABβ,∴E∈α,E∈β, 即 E 为平面α与β的一个公共点。 同理可证 F,G,H 均为平面α与β的公共点. ∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴E,F,G,H 四点必定共线。 点评:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,常运用公理 2,即先证明这些点都 是某二平面的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。 例 2.已知:a,b,c,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d 共面。 证明:1o 若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设 a,b,c 相交于一点 A, 但 A∉d,如图 1 所示: ∴直线 d 和 A 确定一个平面α。 又设直线 d 与 a,b,c 分别相交于 E,F,G, 则 A,E,F,G∈α。 ∵A,E∈α,A,E∈a,∴aα。 同理可证 bα,cα。 ∴a,b,c,d 在同一平面α内。 2o 当四条直线中任何三条都不共点时, 如图 2 所示: α D C B A E F H G α ba d cGFE A a b c d α H K 图 1 图 2 ∵这四条直线两两相交,则设相交直线 a,b 确定一个平面α。 设直线 c 与 a,b 分别交于点 H,K,则 H,K∈α。 又 H,K∈c,∴cα。 同理可证 dα。 ∴a,b,c,d 四条直线在同一平面α内. 点评:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先根据公理 3 或推论,由题 给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再根据公理 1 证明其余的线(或点)均在这个 平面内。本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。因此,在分析题意时,应仔细推敲 问题中每一句话的含义。 题型 2:异面直线的判定与应用 例 3.已知:如图所示,αβ =a ,bβ ,ab =A ,cα ,c∥a 。求证直线 b 、c 为 异面直线 证法一:假设 b 、c 共面于γ .由 Aa ,a∥c 知,Ac ,而 ab =A,αβ =a , ∴Aγ ,Aα。 又 cα ,∴γ 、α 都经过直线 c 及其外的一点 A, ∴γ 与α 重合,于是 aγ ,又 bβ。 又γ 、β 都经过两相交直线 a 、b ,从而γ 、β 重合。 ∴α 、β 、γ 为同一平面,这与αβ =a 矛盾 ∴b 、c 为异面直线. 证法二:假设 b 、c 共面,则 b ,c 相交或平行。 (1)若 b∥c ,又 a∥c ,则由公理 4 知 a∥b ,这与 ab =A 矛盾。 (2)若 bc =P ,已知 bβ ,cα ,则 P 是α 、β 的公共点,由公理 2,Pa ,又 bc =P ,即 Pc ,故 ac =P ,这与 a∥c 矛盾 综合(1)、(2)可知,b 、c 为异面直线。 证法三:∵αβ =a ,ab =A ,∴Aa 。 ∵a∥c ,∴Ac , 在直线 b 上任取一点 P(P 异于 A),则 Pα(否则 bα ,又 aα ,则α 、β 都经过两 相交直线 a 、b ,则α 、β 重合,与αβ =a 矛盾)。 又 cα ,于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异 面直线”知,b 、c 为异面直线。 点评:证明两直线为异面直线的思路主要有两条:一是利用反证法;二是利用结论 “过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.。异面直 线又有两条途径:其一是直接假设 b 、c 共面而产生矛盾;其二是假设 b 、c 平行与相 交;分别产生矛盾。判定直线异面,若为解答题,则用得最多的是证法一、二的思路; 若为选择或填空题,则往往都是用证法三的思路。用反证法证题,一般可归纳为四个步 骤:(1)否定结论;(2)进行推理;(3)导出矛盾;(4)肯定结论. 宜用反证法证明的命题往往是(1)基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题(如 立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等);(2)肯定或否定型的命题(如结 论中出现“必有”、“必不存在”等一类命题);(3)唯一型的命题(如“图形唯一”、“方 程解唯一”等一类命题);(4)正面情况较为繁多,而结论的反面却只有一两种情况的 一类命题;(5)结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。 例 4.(1)已知异面直线 a,b 所成的角为 70,则过空间一定点 O,与两条异面直线 a,b 都成 60 角的直线有( )条 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)异面直线 a,b 所成的角为,空间中有一定点 O,过点 O 有 3 条直线与 a,b 所成角 都是 60,则的取值可能是( ) A.30 B.50C.60 D.90 解析:(1)过空间一点 O 分别作∥a,∥b。 将两对对顶角的平分线绕 O 点分别在竖直平面内转动,总能得到与 都成 60 角 的直线。故过点 O 与 a,b 都成 60 角的直线有 4 条,从而选 D。 (2)过点 O 分别作∥a、∥b,则过点 O 有三条直线与 a,b 所成角都为 60,等价于 过点 O 有三条直线与 所成角都为 60,其中一条正是角的平分线。从而可得选项为 C。 点评:该题以学生对异面直线所成的角会适当转化,较好的考察了空间想象能力 题型 3:线线平行的判定与性质 例 5.(2009 江苏卷)设和为不重合的两个平面,给出下列命题: ba ′′, ba ′′, (1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于; (2)若外一条直线与内的一条直线平行,则和平行; (3)设和相交于直线,若内有一条直线垂直于,则和垂直; (4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题的序号(写出所有真命题的序号). 【解析】考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。 真命题的序号是(1)(2) 例 6.两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN,求证:MN∥平面 BCE。 证法一:作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足,则 MP∥AB,NQ∥AB。 ∴MP∥NQ,又 AM=NF,AC=BF, ∴MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形 ∴MN∥PQ ∵PQ 平面 BCE,MN 在平面 BCE 外, ∴MN∥平面 BCE。 证法二:如图过 M 作 MH⊥AB 于 H,则 MH∥BC, ∴ 连结 NH,由 BF=AC,FN=AM,得 ∴ NH//AF//BE 由 MH//BC, NH//BE 得:平面 MNH//平面 BCE ∴MN∥平面 BCE。 题型 4:线面平行的判定与性质 例 7.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-ABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯 形,AB//CD ,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F 分别是棱 AD、 AA、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE//平面 FCC; (2) 求二面角 B-FC-C 的余弦值。 解法一:(1)在直四棱柱 ABCD-ABCD 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, 所以 CDA1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 分别是棱 AD、AA 的中点,所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1,又因为 平面 FCC, 平面 FCC, AB AH AC AM = AB AH BF FN = 1EE ⊄ 1CF ⊂ Q PM N F E D C BA H M N F E D C BA E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 所以直线 EE//平面 FCC. (2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的 中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-ABCD 中,CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥BO,所以 OB ⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中, ,在 Rt△CC 1F 中, △OPF∽△CC 1F,∵ ∴ , 在 Rt△OPF 中, , ,所 以二面角 B-FC-C 的余弦值为 . 解法二:(1)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD, 以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, ,则 D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0), C1 ( 0,2,2 ) ,E ( , ,0 ) ,E1 ( ,-1,1 ) , 所 以 , , 设平面 CC1F 的法向量为 则 所 以 取 ,则 ,所以 , 所以直线 EE//平面 FCC. ( 2 ) , 设 平 面 BFC1 的 法 向 量 为 , 则 所 以 ,取 ,则 , 3OB = 1 1 OP OF CC C F = 2 2 1 22 22 2 OP = × = + 2 2 1 1432 2BP OP OB= + = + = 2 72cos 714 2 OPOPB BP ∠ = = = 7 7 3 2 1 2 − 1 3 1( , ,1)2 2EE = − ( 3, 1,0)CF = − 1 (0,0,2)CC = 1 ( 3,1,2)FC = − ( , , )n x y z= 1 0 0 n CF n CC  ⋅ = ⋅ =     3 0 0 x y z  − = = (1, 3,0)n = 1 3 11 3 1 0 02 2n EE⋅ = × − × + × =  1n EE⊥  (0,2,0)FB = 1 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 1 0 0 n FB n FC  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 0 3 2 0 y x y z =− + + = 1 (2,0, 3)n = 1 2 1 3 0 0 3 2n n⋅ = × − × + × =  E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M B A C D E F , , 所以 ,由图可知二面角 B-FC-C 为锐角,所以二面角 B-FC-C 的余弦值为 . 【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空 间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. 例 8.(2008 四川 19,理 21) (本小题满分 12 分) 如 图 , 平 面 平 面 , 四 边 形 与 都 是 直 角 梯 形 , , ∥ ,∥ . (Ⅰ)证明:、、、四点共面; (Ⅱ)设 ,求二面角 的大小. 解析:不是会不会的问题,而是熟不熟的问题,答题时间是最大问题. (Ⅰ)∵面 面 , ∴ 面 . ∴以为原点,以,,所在直线为轴,轴,轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 . 不妨设 , , ,则 , , , , , . ∴ , , ∴ , ∴ , ∵ ,∴ ,∴C、D、E、F 四点共面. (Ⅱ)设 ,则 , ∴ , , . 设平面 的法向量为 , 由 ,得 , 设平面 的法向量为 由 ,得 , 2| | 1 ( 3) 2n = + = 2 2 1| | 2 0 ( 3) 7n = + + = 1 1 1 2 7cos , 7| || | 2 7 n nn n n n ⋅〈 〉 = = = ×      7 7 ABEF ⊥ ABCD ABEF ABCD 90BAD FAB∠ =∠ = ° BC 1 2 AD 1 2 AF AB BC BE= = A ED B− − ABEF ⊥ ABCD 90AF AB⊥ = ° AF ⊥ ABCD A xyz− AB a= 2AD b= 2AF c= (0,0,0)A ( ,0,0)B a ( , ,0)C a b (0,2 ,0)D b ( ,0, )E a c (0,0,2 )F c (0, 2 ,2 )DF b c= − (0, , )CE b c= − 2DF CE=  //DF CE  E DF∉ //DF CE 1AB = 1BC BE= = (1,0,0)B (0,2,0)D (1,0,1)E AED 1 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 0 0 n AE n AD  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 0 2 0 x z y + =  = 1 (1,0, 1)n = − BED 2 2 2 2( , , )n x y z= 2 1 0 0 n BE n BD  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 0 2 0 z x y = − + = 2 (2,1,0)n = 由图知,二面角 为锐角, ∴其大小为 . 点评:证共面就是证平行,求二面角转为求法向量夹角,时间问题是本题的困惑处.心 浮气燥会在计算、书写、时间上丢分.因建系容易,提倡用向量法.本时耗时要超过 17 题与 18 题用时之和. 题型 5:面面平行的判定与性质 例 9.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a。证明:平面 ACD1∥平面 A1C1B 。 证明:如图,∵A1BCD1 是矩形,A1B∥D1C 。 又 D1C 平面 D1CA ,A1B 平面 D1CA , ∴A1B∥平面 D1CA。 同理 A1C1∥平面 D1CA ,又 A1C1A1B =A1 ,∴ 平面 D1CA∥平面 BA1C1 . 点评:证明面面平行,关键在于证明 A1C1 与 A1B 两相交直线分别与平面 ACD1 平行。 例 10.P 是△ABC 所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB 的重 心。 (1)求证:平面 A′B′C′∥平面 ABC; (2)S△A′B′C′∶S△ABC 的值。 解析:(1)取 AB、BC 的中点 M、N, 则 ∴A′C′∥MNA′C′∥平面 ABC。 同理 A′B′∥面 ABC, ∴△A′B′C′∥面 ABC. (2) A′C′= MN= · AC= AC , 同理 ∴ 五.【思维总结】 在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置 关系)的基础上,研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的 应用;在有关问题的解决过程中,进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能,并 1 2cos ,n n< >  1 2 1 2 n n n n ⋅= ⋅     2 2 5 = ⋅ 10 5 = A ED B− − 10arccos 5 3 2=′=′ PN AP PM CP 3 2=′=′′ PN AP MN CA 3 2 3 2 2 1 3 1 3 1=′′ AC CA BC CB AC BA ′′==′′ 3 1 9 1)( 2 =′′= ∆ ′′′∆ AC CA S S ABC CBA 探索立体几何中论证问题的规律;在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、 空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用. 1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系,注意垂直与平行间的联系。 2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化,即立几问题平面化 3.注意下面的转化关系: 4.直线和平面相互平行 证明方法:○1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;○2 证明这条直线的方 向量和这个平面内的一个向量相互平行;○3 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量 相互垂直。 5.证明两平面平行的方法: (1)利用定义证明。利用反证法,假设两平面不平行,则它们必相交,再导出矛盾。 (2)判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行,这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是:a∩b,a α,b α,a∥ β,b∥β,则α∥β。 (3)垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是:a⊥α,a⊥β则α∥β。 (4)平行于同一个平面的两个平面平行。 两个平面平行的性质有五条: (1)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定理可 简记为:“面面平行,则线面平行”。用符号表示是:α∥β,a α,则 a∥β。 (2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,这个定理可 简记为:“面面平行,则线线平行”。用符号表示是:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a∥b。 (3)一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可 用于证线面垂直。用符号表示是:α∥β,a⊥α,则 a⊥β。 (4)夹在两个平行平面间的平行线段相等 (5)过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。 // , // //α β α γ β γ⇒
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